北京市朝阳区19-20九年级上册期末数学试卷

北京市朝阳区19-20九上期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.下列事件中，是随机事件的是（）

A.任意抛一枚图钉，钉尖着地

B.任意画一个三角形，其内角和是180。

C.通常加热到io（rc时，水沸腾

D.太阳从东方升起

2.抛物线y=（%+2）2+1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

3.数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动,

则第3个小组被抽到的概率是（）

DW

A-7C藤

4.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角4的余弦值（）

A.不变B.缩小为原来的?

C.扩大为原来的3倍D.无法确定

5.如图，△ABC中，DE//BC,AD：DB=2：3,贝ADE与△ABC的周长之比

为（）

A.2：3B,4：9C.2：5D,4：25

如图4x4的正方形网格中，APM/V绕某点旋转一定的角度，得到△

PiM/i，其旋转中心是（）

A.A点B.B点C.C点D.。点

7.如图，△ABC为。。的内接三角形，AB为直径，UCB的平分线

CQ交。。于点。，且CB=CD,则NCB4的度数是（）

A.15°

B.22.5°

C.30°

D.62.5°

8.已知抛物线y=-。0+4）（%-4）与犬轴交于4、B两点,与），轴交

16

于C点，0c的半径为2.G为OC上一动点，P为AG的中点，贝I]OP

的最大值为（）

A

-1B.手C.与D.2V3

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.点（1,-2）关于原点对称点的坐标为.

10.已知点A在反比例函数y=3的图象上，4B_Ly轴，点C在x轴上,

SAABC=2,则反比例函数的解析式为.

11.若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30aw,则宽为cm.（结果保留根号）

12.如图，以长为18的线段AB为直径的。。交AABC的边8c于点。，点E

在AC上，直线QE与。0相切于点O.已知NCOE=20。，则端的长为

13.如图，A、B、C、。都是正方形网格中的格点，圆心。在格点上，E

为圆上一点，则tan/DEB=.

14.若抛物线y=/-2%-3与x轴分别交于4,B两点,则AB的长为

15.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示:

抽取瓷砖数n100300400600100020003000

合格品数m9628238257094919062850

合格品频率0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是.(精确到0.01)

16.如图，点P为函数y=：(x>0)图象上一点，过点P作x轴、y

轴的平行线，分别与函数旷=/(％>0)的图象交于点4、B,则

△AOB的面积为.

三、解答题(本大题共12小题，共68.0分)

17.计算：2cos600+4sm60°♦tan300—cos45°

18.已知：如图，在△48C中，4c=90。，点。在AC上，/.BDC=45°,BD=S&，AB=10.

(1)求BC的长;

(2)求AC的长；

(3)求乙4的大小.

19.如图，点0是等边三角形ABC内的一点，NBOC=150。，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△

ADC,连接00，OA.

⑴求NODC的度数；

(2)若OB=2,0c=3,求A。的长.

20.已知二次函数y=a/+bx+c的图象过4(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点

(1)求二次函数的解析式;

(2)直接写出不等式a/+bx+c<x+1的解集.

21.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度4B=60米，拱高PC=18米.

(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；

(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时,

是否要采取紧急措施？

22.已知P是。。外一点，尸。交。。于点C,OC=CP=2,弦4B_L0C,乙4OC的度数为60。，连

接尸B.

(1)求8c的长；

(2)求证：PB是。。的切线.

23.如图，A/IBC中，AB=AC,/-BAC=120°,401AC交BC于点力,

求证：BC=3AD.

24.反比例函数y=等的图象如图所示.

(1)TH的取值范围是.

(2)若4(—2,a),B(—3,b)是该函数图象上的两点，试说明a与。的

大小关系.

25.如图，在回ABC中，力B=8cm,点。是4C边的中点，点尸是边AB上的一个动点，过点尸作

射线BC的垂线，垂足为点E,连接DE.设P4=xcm,E。=ycm.小石根据学习函数的经验，

对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探

下面是小石的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与)，的几组值，如下表:

x/cm012345678

y/cm3.02.41.91.82.13.44.25.0

(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)

(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

(3)结合画出的函数图象，解决问题：点E是BC边的中点时，月4的长度约为,

26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数丫=/+771%+«的图象经过点4(-1,£1),8(3,a),且顶点

的纵坐标为-4.

(1)求m，"和a的值；

(2)记二次函数图象在点A,8间的部分为G(含点A和点B),若直线y=kx+2与图象G有公共

点，结合函数图象，求上的取值范围.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

I1IIII1II1〉

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

27.如图，点0是等边△ABC内一点，Z.BOC=a,乙40c=100。，将△80C绕点B按逆时针方向旋

转60°得△BD4,连接。。.

(1)求证：△B。。是等边二角形；

(2)当a=150。时，试判断△40。的形状，并说明理由;

(3)若AaOD是等腰三角形，请你直接写出a的度数.

28.如图1,直线/垂直于x轴，垂足的坐标为(1,0),点A的坐标为(2,1),其关于直线/对称点为点

B.若此时分别以点A,B为圆心，1cm为半径画圆，则此时这两个圆外切.我们称。4与。B关

于直线/“对称外切”.

(1)如图2若直线/是函数y=gx的图象,O4是以点A为圆心，1切?为半径的圆.判断函数y=|x

图象与。4的位置关系，并证明你的结论；

(2)请直接写出与。4关于函数丫=(》图象的“对称外切”的08的圆心坐标.

-------答案与解析---------

1.答案：A

解析：解：A、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件；

8、任意画一个三角形，其内角和是180。是必然事件；

C、通常加热到io(rc时，水沸腾是必然事件；

。、太阳从东方升起是必然事件；

故选：A.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

2.答案：C

解析：解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=(x+27+1的顶点坐标是(—2,1).

故选C.

已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标.

本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线、=(>+<1)2+/1中，其顶点坐标为(-2八).

3.答案：A

解析：解：第3个小组被抽到的概率是:，

故选:A.

根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案.

本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4.答案：A

解析:

本题主要考查了余弦的定义，关键是熟练掌握余弦函数的定义.

由于△4BC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改

变，根据余弦的定义得到锐角A的余弦函数值也不变.

解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，但是44的大小不变，所以锐角A的余弦值不变.

故选A.

5.答案：C

解析：解：vDE//BC,

ADE^^ABC,

・C&ADE_竺_ID_2

"C^ABC~AB~AD+DB-5*

故选：c.

由£»E〃BC可得出AADEs△力BC,根据相似三角形的性质结合AO：DB=2：3,即可求出AADE与

△4BC的周长之比，此题得解.

本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.

6.答案：B

解析：解：如图，连接NN】，PPi，可得其垂直平分线相交于点B,

D

\/

\B

A>c

P

N

故旋转中心是5点.

故选：B.

根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中

心.

本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定

方法是解题的关键.

7.答案：B

解析：

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的

内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

首先根据圆周角定理得到乙4cB=90°,接着根据角平分线的定义得到乙4CD=乙BCD=45。，然后根

据等腰三角形的性质得到乙。=ACBD=67.5°,最后由圆周角定理得到乙1=NO=67.5°,于是得到

结论.

解：•••4B是。。的直径，

•••4ACB=90°,

v44cB的平分线CD交Q。于点D,

•••"CD=乙BCD=45°,

vCB=CD,

乙D=乙CBD=67.5°,

Z.A=Z.D=67.5°,

•••/.CBA=90。一乙4=22.5°,

故选：B.

8.答案：A

解析：解：如图，连接8G,31

令％=0,则丫=一亮(0+4)(0—4)=3,贝UC(0,3).Q<p\

由丫=一卷(x+4)(x—4)得到：A(-4,0),B(4,0).------>

尸为AG中点，。为AB中点，所以OP是AABG的中位线，则。尸=^BG,

当8G最大时，则OP最大.

由圆的性质可知，当G、C、8三点共线时，8G最大.

vC(0,3),B(4,0),

BC=V32+42=5，

・••BG的最大值为2+5=7,

•••OP的最大值为£

故选：A.

P为AG中点，。为AB中点，所以OP是AABG的中位线，则OP=1BG,当8G最大时，则OP最

大.由圆的性质可知，当G、C、8三点共线时，BG最大.

本题主要考查了抛物线的交点式和顶点式、三角形的中位线定理、中点坐标公式、两点间的距离公

式、等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题.

9.答案:(-1,2)

解析：

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是结合平

面直角坐标系和中心对称的性质对知识点的正确记忆.坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称

点是即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.

解：根据中心对称的性质，得点(1,-2)关于原点的对称点的坐标为(-1,2).

故答案为(一1,2).

10.答案：y—

解析：解：•.•反比例函数的图象在第二象限，

••k<0.

S—BC=2,

彳8。8=2，

・•・AB-OB=4,

k=-4,即反比例函数的解析式为y=-1.

故答案为：y=—

先根据反比例函数的图象在第二象限判断出k的符号，再由S-BC=2得出4B-0B的值，进而可得出

结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数

的解析式是解答此题的关键.

11.答案：15有一15

解析：解：根据题意得：

这本书的宽=30x与i=(15V5-15)cm.

故答案为：15遥-15.

根据黄金分割的定义得到这本书的宽=长义正二，然后进行计算即可.

2

本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(4C>BC),且使AC是AB和BC的比例中

项(即AB：AC=AC：FC),叫做把线段A8黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

老二4B«0.6184B，并且线段AB的黄金分割点有两个.

2

12.答案：7n

解析：解：连接。。，

・・•直线。6与O。相切于点。，

・•・乙EDO=90°,

•・•(CDE=20°,

・•・Z,ODB=180°-90°-20°=70°,

vOD=OB,

・・・乙ODB=Z.OBD=70°,

・•・^AOD=140°,

•••松的长=篝芦=7兀，

故答案为：7兀.

连接。。，由切线的性质和已知条件可求出4ao。的度数，再根据弧长公式即可求出筋的长.

本题考查了切线的性质、等腰三角形的判断和性质以及弧长公式的运用，求出乙4。。的度数是解题的

关键.

13.答案：1

解析：解：•:乙DEB=三乙DOB,乙DOB=90°,

乙DEB=45°,

・•・tanz.DEB=1,

故答案为1.

根据圆周角定理即可解决问题.

本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

14.答案：4

解析：

本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握一元二次方程与二次函数的关系是解决问题的关键.

先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出两点之间的距离.

解：二次函数y=/-2x-3与x轴交点A,8的横坐标，

即为一元二次方程/一2x-3=0的两个根，

求得——1,x2=3,

则4B=|x2-^il=4.

故答案为4.

15.答案：0.95

解析：

本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解

决问题.根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率.

解：由合格品的频率都在0.95上下波动，

所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95,

故答案为0.95.

16.答案：24

解析:

本题考查反比例函数中比例系数4的几何意义，证得S-OB=

S版阴BED是解题的关键•作，X轴于。，设PB，》轴于区设尸（皿$，

则4（5犯2）,B（m,—）,然后根据SfOB=S四边形AB。。—SAO.D=

S四边形ABOD~S〉OBE-S梯形ABED，求得即可.

解：作ZD_Lx轴于O,设PBJLx轴于E,

,・•点P为函数y=j(x>0)图象上一点，过点尸作x轴、y轴的平行线,

•••设P（m,$,贝必

•••点A、B在函数y=?(x>0)的图象上,

••・S^AOB=S四边形ABOD-S^OAD=S四边形ABOD~S£^OBE=S梯形ABED，

7n

•••SAAOB=X蓝+5）（5-a）=24,

故答案为24.

17.答案：解：2cos600+4s讥60°-tan300—cos450

1V3V3\/2

=2x-+4x—x------

2232

V2

=1+2--

yf2

=3o---

2

解析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

18.答案：解：(1)•••在直角三角形BOC中，ABDC=45°,BD=5五,

：.BC=BD-sinzSDC=52x立=5，

2

••・线段BC的长为5；

(2)在直角三角形BOC中，由(1)可知：BC=5,

vAB=10,

AC=>JAB2-BC2=V102-52=5百，

线段AC的长为58;

(3)由(1)可知：BC=10,

vzC=90°,AB=10

.BC51

・•・smZ-A=—=—=

AB102

又〈44为锐角，

•••LA=30°,

乙4的大小为30。.

解析：本题考查了等腰直角三角形和含30。角的直角三角形的知识，属于基础题，比较简单.

(1)在直角三角形BOC中，利用的长和NBDC=45。即可求得线段8c的长；

(2)由(1)可知8c的长，利用勾股定理即可求得线段AC的长；

(3)由(1)可知8c的长，在直角三角形48c中，解直角三角形，即可求得44的度数.

19.答案：解：(1)由旋转的性质得，CD=CO,乙ACD=谢0,

VAACB=60°,

Z.DCO=60°,

.♦.△OCD为等边三角形，

“DC=60°；

(2)由旋转的性质得，AD=OB=2,ABOC=150°,

・••△OCD为等边三角形，

.・.OD=OC=3,

•・•乙BOC=150°,Z-ODC=60°,

・•・Z-ADO=90°,

在RtAA。。中，由勾股定理得：

AO=\!AD2+OD2=V22+32=V13.

解析：本题主要考查了等边三角形的性质与判定和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解

决问题的关键.

(1)根据旋转前后图形不发生变化，易证△C。。是等边三角形；

(2)根据条件可以得到△4。。是直角三角形，进而根据勾股定理即可求出A0的长.

(4a+2b+c=0

20.答案：解：(1)根据题意得c=-l,

116a+4b+c=5

所以二次函数的解析式为y=；x2-；x-l；

(2)解方程—[x-i=%+1得=-1,x2=4,

即抛物线丫=a/+加；+c与直线y=%+1的交点的横坐标分别为一1,4；如图,

Ax

所以当-1<x<4时，a/+bx+c<x+1,

即不等式ax?+bx+c<x+1的解集为-1<x<4.

解析：本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y=a/+bx+c(a、氏c是常数，aRO)与

不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利

用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

(1)利用待定系数法求抛物线解析式；

(2)先解方程-i%-1=x+1得抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+1的交点的横坐标分别

为-1,4；如图，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可.

21.答案：解：(1)连接0A,则。D=(r-18)米.

P

-\P

-0

根据垂径定理，得4D=：AB=30米，

在直角三角形A。。中，

,:AO=r米，

根据勾股定理，得：厂2=。-18)2+900,

解得：r=34；

(2)连接。4,

••OE=OP-PE=30,

在直角三角形&OE中，根据勾股定理得4E=y/A'O2-OE2=V342-302=16米.

根据垂径定理,得：A'B'=2A'E=32>30.

•••不用采取紧急措施.

解析：本题主要考查垂径定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程

思想的应用.

(1)连接OA,则。。=r-18.根据垂径定理求得的长，在直角三角形40。中，根据勾股定理求

得，•的值;

(2)连接04,在直角三角形A0E中，根据勾股定理求得4E的值，再根据垂径定理求得AB'的长，从

而作出判断.

22.答案：(1)解：如图，连接。艮

"AB1OC,Z-AOC=60°,

Z.BOC=60°,

•••OB=OC,

.••△0BC的等边三角形，

・•・BC=OC.

又。C=2,

:*BC=2；

(2)证明：由(1)知，AOBC的等边三角形，则NCOB=60。，BC=0C.

V0C=CP,

：.BC=PC,

■■乙P="BP.

又Z.OCB=60°,Z.OCB=2zP,

乙P=30°,

^OBP=90°,即。81PB.

又OB是半径，

PB是。。的切线.

解析：本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上

某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

(1)连接OB,根据已知条件判定△OBC的等边三角形，则BC=OC=2；

(2)欲证明PB是O。的切线，只需证得OBJ.PB即可.

23.答案：证明：在△ABC中，

AB=AC,Z.BAC=120°,

4B=Z.C=30°,

又•••力。14C,

Z.DAC=90°,

•••4c=30°

CD=2AD,/.BAD=NB=30°,

:.AD=DB,

：.BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD.

解析：已知NB4C=120°,AB=AC,Z.B=Z.C=30°,由401AC,有,CO=240,AD=BD,即

可得证.

本题考查了直角三角形的有关知识和等腰三角形的性质定理.

24.答案：(l)m<|

(2)•.•反比例函数图象分布在第二、四象限，

:.2m—3<0,

每个象限内y随x的增大而增大，

B(-3,b)是该函数图象上的两点,

-2>—3,

・•・Q>b.

解析：

解：(1)•.•反比例函数图象分布在第二、四象限，

•••2m-3<0,

解得：m<|；

故答案为：Tn<|；

(2)见答案

(1)直接利用反比函数图象的分布得出2nl-3<0,进而得出答案；

(2)利用反比例函数的增减性得出答案.

此题主要考查了反比例函数图象上的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键.

25.答案：解：(1)补充统计图如下：

x/cm12345678

y/cm3.02.41.91.82.12.73.44.25.0

(2)利用描点法，图象如图所不:

(3)6.8.

解析：

本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量

法、图象法解决实际问题.

(1)利用取点，测量的方法，即可解决问题；

(2)利用描点法，画出函数图象即可；

(3)依据E是BC的中点，。为AC的中点，可得出DE为三角形4BC的中位线，进一步求得DE=4,

利用(2)看图可得知PA的值.

解：(1)通过取点、画图、测量可得x=5cm时，y=2.7cm.

故答案为2.7；

(2)见答案；

(3)•；E是BC的中点，。为AC的中点，

0E为三角形A8C的中位线，

vAB=8,

DE=-AB=-x8=4,

22

由(2)可知：当y=4时，

x的值为x=6.8,

P4的长度为6.8cm.

故答案为6.8.

26.答案：解：(1)抛物线y=/+nix+ri过点力(-1,a),B(3,a),

•,・抛物线的对称轴x=1.

••・抛物线最低点的纵坐标为-4,

•••抛物线的顶点是(1,-4).

••・抛物线的表达式是y=(x-I)2-4,

即y=/-2尤一3.

m=—2,n=—3,

把4(一1,a)代入抛物线表达式y=%2-2%-3,

求得Q=0.

(2)如图，

当丁=入+2经过点8(3,0)时，0=3k+2,k=-|,

当丫=kx+2经过点4(一1,0)时，0=-1+2,k=2,

综上所述，当/£4一|或左22时，直线y=kx+2与G有公共点.

解析：本题考查用待定系数法求二次函数的解析式.利用数形结合的方法确定直线与抛物线交点，

准确找到两个特殊点是解决本题的关键.

(1)由已知判断出抛物线顶点坐标，求出抛物线解析式，对比系数确定机，〃的值；

(2)画出图象，分两种情况：当y=kx+2经过点B(3,0)时，求k=-|,当、=依+2经过点4(-1,0)

时,求k=2.

27.答案：⑴证明：由旋转变换的性质可知，BO=BD,Z.OBD=60%

BOD是等边三角形;

(2)解：当a=150。时，△4。。是直角三角形.

理由是：•・,将△BOC绕点3按逆时针方向旋转60。得△BZM,将ABOC绕点。按顺时针方向旋转60。得

△ADC,

・•・△BOC三ABDA,

:.Z-ADB=Z-BOC=150°,

又,・・△B。。是等边三角形，

:.Z-ODB=60°,

・•・Z.ADO=LADB-Z.ODB=90°,

•・・4a=150°,Z.AOC=100°,乙BOD=60°,

:./.AOD=360°一4a一4AOC-乙BOD=360°-150°-100°-60°=50°,

不是等腰直