圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析）

1交于H1(1)求动点H的轨迹Γ的方程；(2)经过点F和T(7,0(的圆与直线l：x=4交于P，Q，已知点A(2,0(，且AP、AQ分(1)+=1(1)利用椭圆的定义即可求出动点H的轨迹Γ的方程；x2(1)如图所示，∴点H的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，2-c2=3.(2)设直线MN的方程为：x=my+n，!x=my+n+4(y2+6mny+3n!x=my+n设M(x1,y1(，N(x2,y2(，则y1+y2=-34，y1y2=.+x2=m(y1+y2(+2n=，x1x2=(my1+n((my2+n(=x1-211以PQ为直径的圆的方程为：x-42+y-y-=0，即x-42+y2-+y+2x2-2x2-2得9+ x1x2-2x1+x2+4所以直线MN经过定点1,0，22(1)求椭圆M的方程；(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于A,B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点P,Q，(1)+y2=12y=kx+m+y2=1消去y得(4k2+1(x2+8kmx+4m2y=kx+m则Δ=64k2m2-16(m2-1((4k2+1(=16(4k2-m2+1(>0，2+1>m21+x2=，x1x2=,2=y1+--⋅y22+x2y-22=，即(kx1+m((x2-2(+(kx2+m((x1-2(=[x1x2-2(x1+x2(+4[，即(1-4k)x1x2+(4k-2m-2)(x1+x2(+4+8m=0，得m=-2k-2或m=-2k，当m=-2k-2，此时由Δ>0，得k<-所以l的方程为y=kx-2k-2，即y=k(x-2)-2，33合BH⊥PQ于H确定H轨迹，进而可得定点使得|TH|为定值.32=4(2)若直线BQ斜率为k，则直线AP斜率为2k，而A(-2,0),B(2,0)，所以BQ:y=k(x-2)，AP:y=2k(x+2)，Q=-1k2，Q-xP=-=，yQ-yP=-1k2-1k2=-(12(32k2(，4-4≠02，x+k2)，4-4=0Q=-且yQ=-，xP=-且yP=，故直线PQ过定点（-,0(;若k=-，则xQ=-且yQ=，xP=-且yP=-，故直线PQ过定点（-,0(;综上，直线PQ过定点M（-,0又BH⊥PQ于H，判断其过定点是关键.444422my1y2-3y1+y2直径的圆过定点.(1)+=1；(2)证明见解析.(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设Dx1,y1,Ex2,y2，直线DE:x=my-1，代入+=1，整理1+y2=,y1y2=，-4,,从而中点P-4,-3+,令y=0得，x+4x-x1 y1x1-2+ x2-2= my1-3-18m18m-3y1+=0， my2-3m2y1y2-3my1+y2+9=-+-41+9=-m=-m，3m2+43m2+4所以x+4x-x1+3my1=0，即x2+4-x1x-4x1+3my1=0，因为x1=my1-1，所以x2+5-my1x-my1+4=0，即x+1x-my1+4=0，52(； 5已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3.t)(x1+x2)+2x1x2=0，结2=b2+c2,=a+c=3∴a=2,b=3,c=1;y=k(x-t)+=1，消去y得(4k2+3(x2-8k2tx+4(k2t2-3(=0，则Δ=48(k2+3-k2t2(>0,x1+x2=,x1x2=①6(1-x1((t-x2(=(1+k2((t-x1((x2-1(1已知点P(4,3(为双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为1得直线y=kx+t过定点(-2,3).2+b2=c2得b=3，所以双曲线E的标准方程为-=1.(y=kx+t-=1，消去y并整理得(3-4k2(x2-8ktx-4t2-12=0，2t2+4(3-4k2)(4t2+12)>0，即t2+3>4k2，27则x1+x2=，x1x2=-，则kPA+kPB=y1-3x1-4+y2-3x2-4=kx1+t-3x1-4+kx2+t-3x2-4= kx1+t-3x2-4+kx2+t-3x1-4=x1-4x2-4=2kx1x2+t-4k-3x1+x2-8t+24x1x2-4(x1+x2)+16=1，所以2kx1x2+t-4k-3x1+x2-8t+24=x1x2-4(x1+x2)+16，所以2k-1x1x2+t-4k+1x1+x2-8t+8=0，所以(t-3)2+2k(t-3)-8k2=0，所以t-3-2kt-3+4k=0，所以t-3-2k=0，即t=2k+3，所以直线y=kx+t=kx+2k+3，即y-3=k(x+2)过定点(-2,3).222-=12+y2=1-182+2a=22-a2，2=c2-a2=4-1=3，故双曲线C的方程为x2-=1；(2)设Mx1,y1,Nx2,y2,MN的中点为Qx0,y0因为M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2.x-=1,①x-y=x0==2,③y0=,④①-②得x1+x2x1-x2-=0，因为MN的中垂线为直线l，所以y-y0=-x-2，即l:y=-x-8，所以存在以8,0为圆心的定圆E:(x-8)2+y2=1，使得l被圆E截得的弦长为定值2.9332-=1 a=3，所以双曲线C的方程为x2-=1.（x=ky+2k2-1(y2+12ky+9=0，3k2-1≠0，Δ=36k（x=ky+2所以y1+y2=-，y1y2=，+kEQ=0，有+=0，即+=0，得2ky1y2+(2-t((y1+y2(=0，所以2k+(2-t(.44于是λ=-=，双曲线C的方程为-=，即-y2=1，所以双曲线C的标准方程为-y2=1.-1(x2+8kmx+4(m2+1(=0，2-16(m2+1)(4k2-1)>0，即4k2-1≠0且4k2-m2-1<0，有x1+x2=km-1y2=(kx1+m((kx2+m(=k2x1x2+km(x1+x2(+m2，-2((x2-2(+y1y2=0，1x2+(km-2)⋅(x1+x2(+m2+4=0，2+4=0，化简得3m2+16km+20k2=0，即(3m+10k)(m+2k)=0，解得m=-2k或m=-k，均满足条件，综上得直线EF过定点M,0(,韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.552-=1；2=c2-a2=4-1=3，故C的标准方程为x2-=1.故设其方程为x=my+2m≠±,联立双曲线方程x2-=1可得：(3m2-1(y2+12my+9=0，则y1+y2=-,y1y2=，x1+x2=m(y1+y2(+4=-，x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2(+4=；=9+9⋅y1y2=9+9⋅3m2-144x1x2+x1+x2+144-+1=+⋅=0A=2∠PAF2成立；当直线PQ斜率存在时，α,直线PA的倾斜角为β, 2kPA 2kPAα(=-tanα=tan2β=,也即-kPF=1-kA1-tan2β (x+ (x+1(2-y2又-kPF=-；=1-kA1-又点P的坐标满足x2-=1，则y2=3x2-3， 2kPA1-kA= x+12-y2= x+12-3x2+3=2y(x+1)=2y(x+1)=-y-2x2+2x+4-2(x-2)(x+1)x-2=-kPF；A=2∠PAF2成立；A=2∠PAF2恒成立.1已知动圆M恒过定点F（0,，圆心M到直线y=-的距离为d,d=MF+.1(1)求M点的轨迹C的方程；(1)x2=y(1)设Mx,y，由题意可得y+=x2+y-2(2)设Ax1,2x,Bx2,x,Qt,t-1，结合导数的几何意义分析可得x1,x2为方程2x2-4tx+t-1=0的两y-2+，2=y,=设Ax1,2x,Bx2,x,Qt,t-1，则t-1-2x=4x1t-x1，整理得2x-4tx1+t-1=0，同理由切线QB可得：2x-4tx2+t,x2为方程2x2-4tx+t-1=0的两根，则x1+x2=2t,x1x2=，可得直线AB的斜率kAB==2x1+x2=4t，设AB的中点为N(x0,y0(，则x0==t,y0==(x1+x2(2-2x1x2=4t2-t+1，即N(t,4t2-t+1(，所以直线AB：y-(4t2-t+1(=4t(x-t(，整理得y-1=4t（x-,mk+n，得y=k(x+m(+n，故动直线过定点(-m,n(； C2相切.(1)x2=12y；(2)依题意设M(m,-3)，求出切线l2的方程和B点坐标，求出=(x1-2m,6(，=(x1-m,3(即可求解作答.2=12y的准线为y=-3，设M(m,-3)， x6 x6由y= x2于是切线l2的方程为y=x1(x-x1(+y1，令x=0，得y=-x+y1=-×12y1+y1=-y1，即l2交y轴于点B(0,-y1)，因此=(x1-m，y1+3),=(-m,-y1+3(，=+=(x1-2m,6(，所以点N在定直线y=3上. :x-y+1=0过椭圆C:+=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.说明理由.2=4x2=1=02+(2-2p(x+1=0，因为直线x-y+1=0与抛物线M只有1个公共点，所以Δ=(2-2p(2-4=0，解得p=2，故抛物线C的方程为y2=4x.由直线x-y+1=0过椭圆C的左焦点得得c=1，2=3，所以椭圆C的方程为+=1.22-1(得k2x2-(2k2+4(x+k2=0，所以Δ=(2k2+4(2-4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k4，x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1((x2-1(=k2[x1x2-(x1+x2(+1[=-4，x2y1+x1y2=kx2(x1-1(+kx1(x2-1(=k[2x1x2-(x1+x2([=-，2N假设椭圆C上存在点P(x0,y0(，恒有PM⊥PN.0，-y0=0即(2-x0(2+-y0-y0（=0，即(2-x0(2+y-2x2x1y2y0+2=0，即(2-x0(2+y+y0-16=0，令y0=0，可得x0=6或x0=-2.所以椭圆C上存在点P(-2，0(，使PM所以当斜率不存在时候也满足以MN为直径的圆恒过定点(-2,0(.44(1)x2=4y(2)设直线AP的方程y-y1=kx-x1，对抛物线方程求导化简也可得直线AP的方程，由恒等思想可得y0+y1=PH⊥AB得x=-y-y0-2，PH恒过点0,y0+2，从而可得结论.。设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，直线AP的方程为y-y1=kx-x1，所以AP的方程为y-y1=(x-x1)，把Px0,y0代入AP的方程得y0+y1=.所以直线AB的方程为y+y0=，故AB恒过点0,-y0.因为PH⊥AB，所以可设PH方程为x-x0=-y-y0，化简得x=-y-y0-2，所以PH恒过点0,y0+2当-y0=y0+2，即y0=-1时，AB与PH均恒过(0,1)，55(2)若直线y=k(1)y2=4x(2)过定点-1,0和3,0，理由见解析出y1y22y1+x1y2，根据M写出以MN为直径的圆，韦达公式代入得(x-1(2+y2+y-22+2(1-p)x+1=0，因为直线x+y+1=0与抛物线C只有1个公共点，所以Δ=4(1-p)2-4=0，解得p=2x2-(2k2+4(x+k2=0，所以Δ=(2k2+4(2-4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k4，x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1((x2-1(=k2[x1x2-(x1+x2(+1[=-4，x2y1+x1y2=kx2(x1-1(+kx1(x2-1(=k[2x1x2-(x1+x2([=-，直线OA的方程为y=x，直线OB的方程为y=x，.即(x-1(2+y2-x21y2y+=0，即(x-1(2+y2+y-4=0，令y=0，可得(x-1(2=4，解得x=3或x=-1.所以以MN为直径的圆经过定点(-1,01已知椭圆C：+=1(a>b>0(的离心率e=，短1量的线性坐标表示可求.b=a2=b2+c2，2=3，+y23+y23则=此时=，=，λ+μ=+=；x2+(8k-8k2(x+4k2-8k-8=0，则x1+x2=，x1x2=，所以λ+μ====，22圆为椭圆的蒙日圆.椭圆圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过PON为定值.【答案】(1)+y2=1(2)根据题意求出蒙日圆方程为：x2+y2=3，当直线MN斜率不存在时，易求出kOM⋅kON代入到+=1，+=12+=1所以椭圆C的方程为：+y2=1.2+y2=3.=1=2，kON=-1=-2，OMON=-.y=kx+t+y2=1，化简整理得：(2k2+1(x2+4ktx+2y=kx+t据题意有Δ=16k2t2-4(4k2t2-4k2+2t2-2(=0，于是有：t2=2k2+1.(x21(x2+2ktx+t2-3=0，Δ1=4k2t2-4(k2+1)(t2-3)=4(3k2-t2+3)=4(3k2+3-2k2-1)=4(k2+2)>0，x1+x2=-，x1x2=.则kOM⋅kON==(kx1+x2+t(=k2x1x2+k+x2(+t2=k2+=k2+==，2=2k2+1，所以kOM⋅kON===-.33段F2M为直径的圆O1内切.【答案】(1)+y2=1+根据椭圆的定义可知动点M是以F1(-1,0(，F2(1,0(为焦点的椭圆，2-c2=1，所以动点M的轨迹方程为+y2=1.联立直线l和椭圆E的方程得+y2=+1(x2+4kmx+2m2-2=0，因为NF2与直线l垂直，所以NF2的方程为y=-(x-1(，所以|ON|2=2+2====2，所以|ON|=2，1,0(作直线l的垂线，则垂线方程为x=1，此时N(1,1(或N(1,-1(，则|ON|=2，1,0作直线l的垂线，则垂线方程为y=0，此时N-2,0或N2,0，则ON综上可得ON=2为定值.分别求出ON的值.4设椭圆E：+=1a>b>0过点M2,1，且左焦点为F1-2,0.4(1)求椭圆E的方程；(2)△ABC内接于椭圆E，过点P4,1和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满(1)+=1积公式求△PBC的面积.2=a2-b22=2(2)设点Q,A,D的坐标分别为x,y，x1,y1，x2,y2.APAPAQ PDQD从而=4x①,=y②,又点A,D在椭圆C上，即x+2y=4③,x+2y=4④,即点O(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.∴BC所在直线为2x+y-2=0上.(2x+y-2=03+x4=,x3x4=，2+223-x4|=53+x4)2-4x3x4=5⋅2-=，又P到BC的距离d==，△△PBC=形的面积等问题.55斜率成等差数列.解得a=2，b=c2-a2=3，则椭圆C的方程为+=1；0由题意可得直线MN的方程为y=x-1，7x2-8x-8=0，x1+x2=，x1⋅x2=-,kPM+kPN=0--+0--=(y0-x1+1)(4--xy-0+1)(4-x1)=8y0+8+2x1x2-(y0+5)(x1+x2)=8y0+8--y0+5)=2y016+x1x2-4x1+x216--3,又kPF=，则kPM+kPN=2kPF，则直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.1直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C.1证：为定值.2-=1；连结MF2=4，设双曲线方程为-=1(a>0,b>0)，2=c2-a2=4-1=3，故所求C的方程为x2-=1.y=k(x-2(x2-=1，(3-k2(x2+4k2x-4k2y=k(x-2(所以x1+x2=,x1x2=，则y1+y2=k(x1+x2(-4k=-4k=，==1;2-=，又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2⋅2-4=，= =|k2-3| |k2-3|=1;2(；22).21k2是定值吗？证明你的结论.2=1+k2，)x2-2mkx-(m2+1)=0，22+4(1-k2((m2+1(=4(m2+1-k2(=8>0，x12=<02<1,∴-1<k<1，2-)==k2x1x2+mk(x1+x2)+m2x1x2+(x2-x1)-1=⋅-mk⋅+m2--1==m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2m2+1-22-k2+1= k2-m2m2-k2+2-22,又因为m2=1+k2，所以m2-k2=1，2==-(3+22)为定值.33 2 【答案】(1)-y2=1【分析】(1)题意可得TP=TM，即可得到TM-TC=23<CM，根据双曲线的定义得到点T的2+y2=12可知，C-2,0,r=23，因为线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，∴TP=TM，所以TM=TC+23或TC=TM+23，所以TM-TC=23<CM，所以2a=23,c=2，所以a=3,c=2,b=c2-a2=1，所以点C的方程为-y2=1.y=kx+m,联立方程组-y2=1,得1-3k2x2-6mkx-3m2-3y=kx+m,由Δ=36m2k2+41-3k23m2+3=0，得3k2=m2+1，y=kx+m,得xy=kx+m,得x=-3m√3k-1.不直线l与y=x的交点为A，则xA=-.同理可求xB=-，所以AB=1+k2×xP-xQ=.所以S△OAB=ABd=，又因为3k2=m2+1，所以S△OAB=3， 2此时AB=2 244点.设Qx0直线MN：y-y0=x-x0，即MN：y=x+.9-16k2x2-32kmx-16m2+9=0.所以x1+x2=，x1x2=-.又因为直线A1M：y=x+4、直线A2N：y=x-4联立得：-=⋅=⋅=⋅.2+3x1x2+44km+3x1+x2+16m2+3=0.⇒m2+916k2+3-8km4km+3+m2+316k2-9=0.⇒-24km-6m2+16×12k22-4km-m2=0⇒m=-8k或m=4k(舍).所以⋅8=⇒x0-62+y=4.5:-C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切.2-=1(1)由题意点P(2,26(在双曲线C上，可得-=1，故双曲线方程为x2-=1；「y=k(x-3(x2-=1-k2(x2+6k2x-「y=k(x-3(设A(x1,y1(,B(x2,y2(，则x1+x2=,x1x2=(k2>8(，即A,B的中点坐标为,,AB的垂直平分线的方程为：y-=-x-,,又|AB|=1+k22-=，+|BF1|-4=|AB|， AF1+BF1-4QF2 AF1+BF1-4QF2 16k2+1=AB=k2-8=2QFk2-81已知抛物线C:x2=2py(p>0的直线交抛物线于点M1=π(2)直线PQ的方程为y=kx+mk≠0以及离公式即可求出点F到直线PQ与到直线l1的距离之比.因为O是FB的中点，所以DF=DN,MD⊥DF，故FM==8，所以MN=8，AN=4，所以OF=AN=2，所以=2，即p=4.2=8y，设直线PQ的方程为y=kx+mk≠0，Px1x2x0即x1+x0x2+x0=-64，即x1x2+x0x1+x2+x=-64.0=4k:y=x-x0+=kx-2k2.则x1+x2=8k,x1x2=-8m，设点F到直线PQ和直线l1的距离分别为d1,d2，2已知抛物线C1:y2=2pxp>0上一点Q1,a到焦点的距离为3.2(2)设P为直线x=-1上除-1,-3，-1,3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-22+y2=3的两条(1)根据抛物线的定义，Q1,a到准线x=-的距离为3，(2)设P-1,y0，过点P的直线方程设为l:y-y0=kx+1，2-8y+8y0+8k=0，3y4=，2+6y0k+y-3=0，∴k1+k2=-y0，k1k2=，∴y1y2y3y4=64[k1k2+k2y0+y[33(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求kNA+kNB的值.(1)y2=4x(1)根据焦半径公式和圆的弦长公式可解；-4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象4中p>0为一给定的实数.(1)0,，x=-(1)直接根据抛物线方程写出焦点及准线方程即可；(3)设A(xA,yA(,B(xB,yB(,C(xC,yC(,D(xD,yD(,E(xE,yE(,F(xF,yF(，设抛物线x2=2py在A点处的切线方(1)焦点为(2)将y=kx-2pk+2p代入x2=2py，化简得x2+2pkx+4p2(k-1)=0(*)，方程(*)的判别式Δ=4p2k2-4(4p2k-4p2(=0，(3)设A(xA,yA(,B(xB,yB(,C(xC,yC(,D(xD,yD(,E(xE,yE(,F(xF,yF(，设抛物线x2=2py在A点处的切线方程为y-yA=kA(x-xA(，A(x-xA(，消去y并化简得x2-2pkAx+2pkAxA-2pyA=0，Δ=4p2k-4(2pkAxA-2pyA(=4p2k-8pkAxA+8pyA=0，pk-2xAkA+2yA=0，pk-2xAkA+2=pk-2xAkA+=0，解得kA=，故切线方程为y-yA=(x-xA(=x-，py-pyA=xAx-x，py-p×=xAx-x,py-=xAx-x，即2py=2xAx2py=2xBx-x，2py=2xCx-x，-x，AxBD=xAxB，C，， 5已知点A为直线l:x+1=0上的动点，过点A作射线AP(点P位于直线l的右侧)使得AP⊥l,F(1,0(，设线段AF的中点为B，设直线PB与x轴的交点为T,PF=TF.(2)设过点Q(0,2(的两条射线分别与曲线C交于点M,N，设直线QM,QN的斜率分别为k1,k2，若+算出定点.(1)y2=4x(x≠0((1)设点P的坐标为(x0,y0(，点A(-1,y0(，可得点T的坐标为(-x0,0(，再结合PF=TF可得(x0-1)2+y=|x0+1|，(2)设直线MN的方程为x=ty+m，联立直线MN与C的方程可得：y2-4ty-4m=0，设点M,N的坐标为x1,y1,x2,y2，根据韦达定理可得y1+y2=其中k1=,k2=，结合条件可得：+=+=2，整理可得x1y2+x2y1-2x1+x2=2y1⋅y2-4y1+y2+8，结合直线MN的方程可化简为：2t-2y1y2+m-2t+4y1+y2=4m+8，代入韦达定理可得2t2+mt-4t-m+2=0，通过分解因式可得t-12t+m-2=0即可得t=1或m=2-2t，11D，则+=1①,x+y0-yD2=4②,由①②可得=y0-yD2，∵=|y0-rx=my-1+1(y2-4my-6=0，2+24(2m2+1(>0，直线AP的方程为y=(x+2(，直线BQ的方程为y=(x-2(，y1(x+y1(x+2((x-2(x1+2 y2x2-2x2-20=2y1x2-4y1+2x1y2+4y2(x1+2(y2-(x2-2(y1,因为(x1+2(y2-(x2-2(y1=x1y2+2y2-x2y1+2y1=(my1-1(y2+2y2-(my2-1(y1+2y1=3y1+y2，2y1x2-4y1+2x1y2+4y2=2y1(my2-1(-4y1+2(my1-1(y2+4y2=4my1y2-6y1+2y2，∴x0=4my1y2-6y1+2y21y2=1y2=-3(y1+y2(.所以x0=4my1+2y2=-6(y1+y1+2y2=-y2=-4.故点M在定直线x=-4上.(5)代入韦达定理求解.2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).2(5-mm-2L5-mN+24=0，>0Δ=(16k(2-4×24(1+2k2(>0⇒k2>，且x1+x2=-,x1⋅x2=，所以x1+x2=-kx1⋅x2AN:y-2=x,lBM:y+2=x，两式作商得===--=-⇒y=1是定值，故G在定直线y=1上.33证明kMA+kMB=0，进而即可得出结论.(2)设A(x1,y1(，B(x2,y2(，（y=x+m2+4mx+2（y=x+m所以x1y2+x2y1=x1(x2+m(+x2(x1+m(=2x1x2+m(x1+x2(=-，所以kMA+kMB=y1-+y2-=x1y2+x2y1-1+x2(-y1+y2(+x1-x2-(x1-2-(又x1y2+x2y1-(x1+x2(-(y1+y2(+=-+-m+=0，所以△MAB的内心在定直线x=上.在定直线x=上.4已知椭圆C:+=1(a>b>0(过点Q1,且离心率为.4点M总在某定直线上.(1)+=1e=c=1a2a=22=b2+c22=b2+c2所以，1-x1,2-y1=λ1-x2,2-y2，x-x1,y-y1=λx2-x,y2-y，+=1-λ2，1=故点M总在定直线3x+8y-12=0上. E上.(2)点M在定直线x=-4上(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1m>0,n>0.，x=my-12+1y2-4my-6=0，直线AP的方程为y=x+2，直线BQ的方程为y=x-2，y1y1x-2x1+2 y2x2-2yx2-20==2y1x2-4y1+2x1y2+4y2x1+2y2-x2-2y1=4my1y2-6y1+2y23y1+y21y2=-3y1+y2.所以x0=4my1+2y2=-6y1+y1+2y2=-y2=-4.故点M在定直线x=-4上.11(1)求双曲线E的方程；(1)-=1延长CA与DB交于F1，因为AB⊥AD，tan∠CAB=-，则tan∠F1AB=tanπ-∠ACB=-tan∠ACB=，即=，=BF1-4=3t-4，2-a2=10-4=6，设直线l的方程为x=my+4，设点M(x1,y-2(y2+24my+36=0，易知点A1(-2,0(、A2(2,0(，则kAM直线A1M的方程为y=(x+2(，直线A2N的方程为y=(x-2(，联立直线A1M、A2N的方程并消去y可得(x+2(=(x-2(，=x-2==y2(my1+6(y1(my2+2(==my1y2+6y2=my1y2+2y1+6(--y1(113m2-2(5)代入韦达定理求解.22①直线AB经过定点M(4,0(；②点P,在定直线x=上.== 4x2=my2+4证明点P在定直线 4y2-x2y1=4y2-4y1=4(y2-y1)，再由直线AB的方程证明直线AB经过定点M4,0.|=2<4=F1F2，2=3，所以曲线C的方程为x2-=1(x≥1).因为x2-=1,(x≥1)，所以y=3x-3，且所以过点A的直线方程为y-y1=(x-x1)，化简为y⋅y1=3x1x-3①,同理y⋅y2=3x2x-3②,因为A、B点在直线AB上，所以x1=my1+4,x2=my2+4，所以x1y2=my1y2+4y2,x2y1=my1y2+4y1，所以P的横坐标即点P在定直线y2-y1x1y2-x2y1x=上.y1-y21 =y1-y21 =若选择②证明①成立.因为x2-=1,(x≥1)，所以y=3x-3，且y=3x2-3，求导得y= 3x√求导得y= 3x√3x2-3(x-x1)，化简为y⋅y1=3x1x-3①,同理y⋅y2=3x2x-3②由题意，x1-1=，即x1y2-x2y1=4y2-4y1=4(y2-y1)③.2xx1yy1x2-x1，所以过直线AB的方程为-=xx1yy1x2-x1，化简(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，整理得x1y2-x2y1=y2-y1x+x1-x2y由③式可得y2-y1x-4+x1-x2y=0,33(2)已知点P,1过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N2-=1过点Qm,n的切线方程为mx-=1，联立,Nx22-=1，解得a2=1，故双曲线方程为x2-y=下面证明-=1a>0,b>0上一点x0,y0的切线方程为-=1，设过点x0,y0的切线方程为y-y0=kx-x0，与-=1a>0,b>0联立得，-x2+x+2kx0y0--y-b2=0，由Δ=2-42-0y0--y-b2=0化简得y0-kx02=a2k2-b2，2=a22-b2，整理得xy0-x0y2=a2y-2得，xy0y2y02-b2x-x02，=-y-y02x-x0=-x++02xax40a2y2x2b0x=0y42yxxa+2-0222y+yx210=2x+2=1，综上：-=1a>0,b>0上一点x0,y0的切线方程为-=1，2-=1过点Qm,n的切线方程为mx-=1，故mx-=1为x2-=1过点Qm,n的切线方程，联立mx-=1与y=-3x，解得3,直线AB方程为--=--，即y-y1x2-x1-y2-y1x-x1=0，故点O到直线AB的距离为 =-y1x2-x1-y2-y1-x1x1y2-x2y1 =x2-x12+y2-y1x2-x12+y2-y1，且AB=x2-x12+y2-y1，故AOB⋅212+y2-y1=x1y2-x2y1=⋅-⋅23m-3n3m+3n3m+3n3m-3n== 2-3n2= 与x2-=1联立得(3-k2(x2+(k2-2k(x-k2-k+4（=0，2-3>2-3>0因为k2-k+4=(k-2(2+3>0恒成立，所以k2-3>0，故k2-2k>0，解得-2-213<k<-设M(x1,y1(,N(x2,y2(，则x1+x2=,x1x2=，设点H的坐标为(xH,yH(，，变形得到2x1x2-xH+(x1+x2(+xH=0，H=，则3xH-2yH=-=6，故点H恒在一条定直线3x-2y-6=0上.-a(2+(y-b(2=r2上一点(x0,y0(的切线方程为：(x0-a((x-a(+(y-b((y0-b(=r2，过圆(x-a(2+(y-b(2=r2外一点(x0,y0(的切点弦方程为：(x0-a((x-a(+(y-b((y0-b(=r2.过椭圆+=1上一点P(x0,y0(的切线方程为+=1，过双曲线-=1上一点P(x0,y0(的切线方程为-=144与A2Q相交于点G22-9a2=a2b2，不妨设直线l1的方程为y=x，则直线l的方程为y-3=(x-4(，=4-3+==ab=23，-=1.2(，直线PQ的方程为x=my+7，-4(y2+67my+9=0，1+y2=2-7，y1y2=3-4，直线A1P的方程为y=(直线A1P的方程为y=联立直线A1P与A2Q的方程，可得(x+2(=(x-2(，所以，-+=-+=2-=2-==+(7+2((--y1(= 9m3m2-4+ 9m3m2-4-、、+2(y1+(7-2(y1，=x+2x-2=-33m+127m 3m2-41 9m3m2-4=-37,解得7,1(2(；y25=1(y25=1(a>0,b>0(的离心率为2，过点E(1,0(的直线l与C左右两支分别x22交于M，N两个不同的点(异于顶点).设M(x1,y1(0yy=1=1 -2作差得--=又MN的斜率kMN=0y01+x20y0y1+y2a2x0y0kOP= y1-y2x0y0kOP=x1-x2a2 y0x0，所以kMNkOP==1.设M(x1,y1(2=2(t≠0(得(t2-1(y2+2ty-3=0，y+y(y1y2=2设直线AN：y=(x+2(，BM：y=(x-2(，=t+2-1==3，所以x=4．故存在定直线x=4，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上.1过抛物线x2=2py(p>0)内部一点P(m,n(作任意两条直线AB,CD，如图所示，连接AC,BD延长12=4yk2++2结合基本不等式，即可求解；x2+4=x1+x2，x3x4+4=x3+x4，又由A,C,Q和B,D,Q共线，得到x1x3+4y0=x0(x1+x3(和x2x4+4y0=x0(x2+x4(，进而得到x0-2y0-2=0，即可求解.x1x2x3x4设直线AB:y=kx+，联立方程组2-2pkx-p2=0，可得x1+x2=2pk,x1x2=-p2，所以|AB|=1+k2⋅(x1+x2(2-4x1x2=2p(k2+1(，,所以SABCD=|AB||CD|=2p2所以p=2，所以抛物线的方程为x2=4y.x2+4=x1+x2①,同理由C,P,D共线x3x4+4=x3+x4②