专题05 二项式定理（选填题7种考法）（老师版）

专题05二项式定理（选填题7种考法）考法一二项式指定项系数【例1-1】（2023·山西临汾·统考一模）2-6的展开式中x3的系数为()A．-160B．-64C．64D．160【答案】C(2-)6的展开式的通项公式为Tr+1=C(2)6-r(-)r=C26-r.(-1)r.x3-r，令3-r=3，则r=0，故展开式中x3的系数为C26.(-1)0=64.故选：C.【例1-2】（2022·天津·统考高考真题）+5的展开式中的常数项为.【答案】155-5rr令=0即r=1，则C.3r=C.3=15，所以+5的展开式中的常数项为15.故答案为：15.【例1-3】（2023·贵州毕节·统考一模）(x-y)5展开式中x2y3的系数为（用数字作答）【答案】-20【解析】(x-y)5的展开式的通项为Tr+1=C(x)5-r.(-y)r=C()5-r.(-1)r.-ryr，23.x2y3=-20x2y3.故答案为：-20【例1-4】（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）+8的展开式中,有理项是.（用关于x的式子表示）【答案】28x和x-416-5r616-10T=C2=x816=x8=C8.x6,故有理项是28x和x-4.故答案为:28x和x-4考法二两个二项式指定项系数【例2-1】（2023·全国·模拟预测）+2x2-6的展开式中的常数项为()【答案】D【解析】因为+2x2-6=x2-6+2x2-6x2-6的展开式的通项公式为Tr+1=C(x2)6-r-r=(-1)rCx12-3r,令12-3r=3,得r=3;令12-3r=0,得r=4,所以+2x2-6的展开式中的常数项为:【例2-2】（2023·四川成都·统考二模）二项式(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数为()【答案】B【解析】(1-x)10的展开式通项公式为Tr+1=C0(-x)r=C0(-1)rxr，其中T3=C0x2=45x2，T4=-C0x3=-120x3，故二项式(1+x+x2)(1-x)10中x的四次方项为45x2.x2-120x3.x+210x4.1=135x4，即展开式中x4的系数为135.故选：B【例2-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）x-+xy25的展开式中x2y6的系数为()【答案】A【解析】因为x-+xy25的展开式中含x2y6的项为xC(xy2)3()2+(-)C(xy2)4，所以x2y6的系数为4C-2C=30.故选：A.【例2-4】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）x-(a+y)6的展开式中，含x-1y4项的系数为-15，【答案】C【解析】(a+y)6的展开式的通项公式为Ca6-ryr，令r=4，可得Ca6-ryr=15a2y4；所以含x-1y4项的系数为-15a2，即-15a2=-15，解得a=士1.故选：C.考法三三项式指定项系数【例3-1】（2023·全国·模拟预【答案】D210，其中含有常数项的有C(x+)6，C(x+)3，C(x+)0，5的展开式中含x2y2的项的系数为()【答案】A5的展开式中含y2的项为C(x1)3(2y)2，(x1)3的展开式中含x2的项为C.:(x一2y1)5的展开式中含x2y2的项的系数为C(故选：A.【答案】A2x6r展开式的通项为：Cr.(2x)6rk.k=k6rkCrx6r2考法四（二项式）系数之和1(x2(x210(x2910171092392【答案】BCD9，所以选项B和选项C正确；)220292选项D正确；故：BCD.【例4-2】（2023·全国·高三专题练习多选）对任意实数x，有022 99【答案】CD【解析】对任意实数x有0223399．则下列结论成立的是()9233999，1，故B不正确；299，故D正确.22列结论正确的有()0246810【答案】ABD2210a01(x2(x1)202469468109=512，故D正确.故选：ABD.考法五（二项式）系数的性质【例5-1】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）若(1一2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为()A．-960B．960【答案】D【例5-2】（2023秋·浙江宁波·高三期末）若二项式(1+2x)n(nEN*)的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是()A．448x3B．1120x4C．1792x5D．1792x6【答案】B【例5-3】（2023·全国·模拟预测）已知二项式(x+a)6，aEN*的展开式中第四项的系数最大，则a的值为【答案】A【解析】二项式(x+a)6展开式的通项公式为C.x6一r.ar,ar.C.x6一r，其中aEN*，考法六二项式定理的应用【答案】D2316507的计算结果精确到个位的近似值为【答案】B352019被12整除的余数为.【答案】0201910100102410100102410090102410090102410092019被12整除的余数为0.故答案为：0.【例6-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）写出一个可以使得992023+a被100整除的正整数a=.【答案】1（答案不唯一）20232023利用二项式定理展开得20232022202022能被100整除，故答案为：1考法七二项式定理与其他知识的综合【例7-1】（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若+bx6的展开式中x2的系数【答案】C所以Ca2b4=60，∴a2b4=4，a2222乙成立的条件A．充分但不必要B．充要C．必要但不充分D．既不充分也不必要【答案】A当k=4时，该项为常数项，常数项为C.a4=a4.4所以，甲是乙成立的充分但不必要条件.故选：A.【例7-3】（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数f【答案】A【解析】f,(x)=8cosx+x2，由已知可得则可知，k=4，所以二项式(1一x)n展开式中x4的系数为C84==70.故选：A.【例7-4】（2023·全国·高三专题练习）定义函数f(x,n)=(1+x)n(n则n的展开式中常数项是()【答案】A242810所以-10的展开式的通项为Tr+1=C0.x10-r.(-2x-2)r=C0(-2)rx.nn+1n23456【答案】Dn23456-(C)234560234555A．40B．41C．-40D．-41【答案】B0故a42022023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知多项式(x-2)5+(x-1)6=a0【答案】B【解析】对于(x-2)5，其展开通项公式为Tr+1=Cx5-r(-2)r，对于(x-1)6，其展开通项公式为Tk+1=Cx6-k(-1)k，所以a1(-2)nn-5r（)32023·上海静安·统考一模）在|3x+x3|的二项展开式中，C3n-rx3称为二项展开式的第r+1项，（)中r=0，1，2，3，ⅆⅆ,n．下列关于(|3x+x-（)A．若n=8，则二项展开式中系数最大的项是C36x3.3B．已知x>0，若“=,，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是0<x<5.C．若n=10，则二项展开式中的常数项是C034.D．若n=27，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项.B选项：DlC3-r>C-3-r522175C38x3<C37x3，整理可得x333故B正确；故选：D.6，所以常数项为C0310-6=C034，故C正确；，所以r可取17,18…,27，共11项，故D错.【答案】D7所以52023秋·辽宁营口·高三统考期末）二项式2x2+n的展开式所有项的系数和为243，则展开式中的【答案】A【解析】展开式所有项的系数和为243，所以展开式通项公式为Tr+1=C(2x2)5一rr=25一rCx10一r，故选:A62023春·河南新乡·高三校联考开学考试）若二项式2x一n(ne**)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x2项的系数为()【答案】D【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n=8.令8r=2，得r=4，所以展开式中x2项的系数为C24(1)4=1120.72023春·江苏常州·高三校联考开学考试）设nCn1x2n1A．2n12B．2n11C．2n2【答案】CnCnn，0xn+a1xn1n1xn，0nnn由等式左右两边xn系数相等可得a0=C=1，所以a12n1n2，6，则下列结论中错误的是.6C．a1，a2，a3，ⅆ,a6中最大的是a2D．当x=999时，(2x+1)6除以2000的余数是1【答案】C22a34a56，故A正确；6662(x+1)2C.23(x323456所以a2由以上可知，a1，a2，a3，ⅆ,a6中最大的是a4，故C不正确；的余数是1，故D正确.92023·高三课时练习）在(x+1)(2x+1)…(nx+1)（n为正整数）的展开式中，x的一次项的系数为.【答案】B【解析】从x+1中取x，其它取1相乘，得一次项为x，从2x+1中取2x，其它取1相乘，得一次项为2x，L，从nx+1中取nx，其它取1相乘，得一次项为nx，.32023的值为.A．122023B．1+22023【答案】A02023.32023，2023.112023秋·江苏泰州·高三统考期末）若(x+y)6=a0y6+a1xy5+a2462【答案】A0-a12-a34-a560234562462-(a120-a12-a34-a560246故选：A.122023·全国·高三专题练习）已知ax+的最小值为()【答案】B【解析】ax+6的展开式中x，所以Tr+1=C(ax)6-rr=a6-rbrCx6-r，∴a+b的最小值为2，132023秋·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）(x2+)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则a的值为()【答案】D【解析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，:n=8,令x=1,得所有项的系数和为(1+a)8=256,:a=1或-3.2a34【答案】Cx44【答案】A2所以(a0023(22(x2n，则2n【答案】D292299290290故选：D.172023·全国·高三专题练习）(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=()【答案】Dxx，24故选：D.(1)8182023·全国·高三专题练习）将二项式（|+24x(1)8排法种数为()A．AB．AAC．AAD．AA【答案】C(1)84x)|展开式一共有9个项，有(1)8先对6个无理式进行排列，共有A种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有A种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有AA种方法.19（2023·全国·高三专题练习）在(x+1)n（neN*）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是()【答案】D即第四项和第五项的二项式系数最大；8的展开式有9项，(a+b)8的展开式中二项式系数C最大，即第五项的二项式系数最大；当“=9时，(a+b)9的展开式有10项，(a+b)9的展开式中二项式系数C，C最大，即第五项和第六项的二项式系数最大.10的展开式有11项，(a+b)10的展开式中二项式系数C0最大，即第六项的二项式系数最大.故选：D.2(x2n，则【答案】C【解析】因为C=C，所以由组合数的性质得n=7，2277，027，27212023·全国·高三专题练习）二项式x5一n(neN*)的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()【答案】B【解析】二项式x5-n(ne**)的展开式为T(x5)n-r-r=(-2)rCx5n-r，则n=r，因为neN*所以当r=2时，n取得最小值3，故选：B222023·上海·高三专题练习）已知函数f(x)=C+Cx+Cx3+Cx5+…+Cxk+…+Cxn（k，n为正奇数f,(x)是f(x)的导函数，则f,(1)+f(0)=()A．2nB．2n-1C．2n+1D．2n-1+1【答案】D【解析】因为f(x)=C+Cx+Cx3+Cx5+…+Cxk+…+Cxn，所以f(0)=C=1，所以f,(1)=2n-1，所以f,(1)+f(0)=2n-1+1；23（2023·云南·统考模拟预测多选）在-x7的展开式中，下列说法正确的是()A．不存在常数项B．二项式系数和为1C．第4项和第5项二项式系数最大D．所有项的系数和为128【答案】AC7272(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；对B，二项式系数和为27=128，故B错误；对C，展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；故选：AC.(1)n24（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模多选）已知（|x-2x)|的展开式中共有7项，则((1)nA．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共4项【答案】ACD(1)n(1)n对于A，所有项的二项式系数和为26=64，所以A正确，对于B，令x=1，则所有项的系数和为1-6=，所以B错误，对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，对于D，x-6的展开式的通项公式为Tr+1=Cx6-r-r=C-rx6-r，当r=0,2,4,6时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，故选：ACD252023广西桂林多选）在-x6的展开式中，下列说法错误的是()A．常数项是20B．第4项的二项式系数最大C．第3项是15x2D．所有项的系数的和为0【答案】AC第r+1项的二项式系数为C，由组合数的性质可知当r=3时，C取到最大值，B正确；2Cx2=15x2，所以第三项为15x2，C错误；令x=1可得所有项的系数的和为0，D正确.故选：AC.26（2023·全国·高三专题练习多选）已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则()＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5＋a3＋a5的值为120【答案】ABC【解析】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；故B正确；对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6①,即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a63－a0=-3－25，故C正确；对于D，令x1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6②,由①故D不正确.故选：ABC272023·全国·高三专题练习多选）已知二项式ax一6，则下列说法正确的是()A．若a＝1，则展开式中的常数项为15B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1C．若展开式中的常数项为60，则a＝2D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝2【答案】AB(1)6(1)6对于A，若a＝1，则x-6展开式的通项Tr+1=C(-1)rx6-r，3令6-2r=0，得r＝4，故所求常数项为C=15，故A正确；3对于B，若a＝2，令x=1，则2x-6展开式中各项系数之和为(2-1)6，故B正确；3令6-2r=0，得r＝4，对于D，令x=1，则展开式中各项系数之和为(a-1)6，故选：AB.282022·全国·统考高考真题）1-(x+y)8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）.【答案】-28【解析】因为1-(x+y)8=(x+y)8-x+y)8，所以1-(x+y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6-Cx3y5=-28x2y6，1-(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28故答案为：-28292022·浙江·统考高考真题）已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a2345【答案】8-22345，故答案为：8；2.30（2021·天津·统考高考真题）在2x3+6的展开式中，x6的系数是.312023·湖南·模拟预测）(2x+1)x一5的展开式中含x4项的系数为.rCx52r，1)31)332（2023·全国·模拟预测）x一(y一x)7的展开式中x4y4的系数为用数字作答）【答案】77(yx)7(yx7，(yx)7的展开式的通项公式为Tr+1=Cy7一r(x)r=(1)rCy7一rxr，在Tr+1rCy7一rxr中，令r=3，得x(yx)7的展开式中x4y4的系数为C=35，令r=2，得(yx)7的展开式中x4y4的系数为2C=42，故x(yx)7的展开式中x4y4的系数为3542=77.故答案为：77.332023·全国·模拟预测）已知ax+3一x的展开式中所有项的系数和为8，则展开式中x2的系数为.______3xx+3，3展开式的通项Tr+1=Cx3一rxr=Cx3一2r.所以x+3的展开式中x2的系数为2C=2；xx+3的展开式中x2的系数为C=3.所以ax+3x的展开式中x2的系数为23=1.342023·云南红河·统考一模）1+(x一y)7的展开式中x2y5的系数为用数字作答）.Cx3(y4y5两部分，所以1+(xy)7的展开式中的x2y5的系数21+35=14.352023·浙江·校联考模拟预测）(1+x)一x5展开式中x2项的系数为.【答案】4053x5)所以展开式中x2项的系数为1x(40)=40.故答案为：40362023·全国·模拟预测）若3x一n展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含x4的项的系数为.rx6一2r，则T251x4372023·山西·统考一模）已知随机变量X~N(3,O2)，且P(X<a)=P常数项为.【答案】60【解析】由正态分布易得a=2，则常数项为当k=4时，值为60.故答案为：60.382023·湖南永州·统考二模）x一+25的展开式中x2的系数是.【答案】405展开式通项为Cx5r.2r；又x5r展开式通项为Crx5rk.k=(1)k当r=3，k=0时，对应的项为CxCx23x2=80x2；故答案为：40.392023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）x一+y8的展开式含x4y2的系数是（用常【解析】由含y2的项中对应(x一),y的指数分别为6,2，所以T3=C(x)6y2，【答案】4故展开式中含x3的项为：或者：有三个因式取2x，其余的3个因式都取一1；333故答案为：4412023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）已知二项式2x-n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为.【解析】二项式2x-n的展开式的二项式的系数和为256，可得2n=256，解得n=8(1)n(1)8(1)n(1)8通项Tr+1=C2x8-r-r=(-1)rC28-r.x8-r)可得常数项为C22=112.故答案为：112.422023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若展开式+n中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为.【答案】7故答案为：7.43（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）x2-+26中常数项是写出数字）【答案】559【解析】(x2-+2)6的展开式的通项公式是Tr+1=C(x2-)6-r.2r=2rC(-1)sC-rx12-2r-3s，令12-2r-3s=0，所以(x2x6的展开式中常数项为：23xCx(-1)2xC+26xC+20xCx(-1)4xC=480+64+15=559，故答案为：559.442023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）在1-5(1+x)6的展开式中，x2y2的系数为.两个二项式展开式的通项之积为kk.C.C.xr.yk，0≤k≤5,0≤r≤6,k挝N,rN，(r-k=2(r=4(r-k=2(r=4故展开式中x2y2的系数为(-1)2.C.C=150.故答案为：150.452023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若(x-)2+n的展开式中存在常数项，则n的一个值可以是.【答案】4(答案不唯一)x2-2xn-7r+62n-14r+9若-2xTr+1=-2Cx6是常数项，则2n-14r+9=0，-1x-)2展开式的常数项为x.=4，所以n的一个值可以是4.故答案为：4（答案不唯一）462023·辽宁·校联考模拟预测）x2-7的展开式中除常数项外的各项系数和为