2017-2018学年人教B版高中数学选修2-2全册学案

2017-2018学年人教A版高中数学

选修2-2全册学案

目录

i.i.i函数的平均变化率

1.1.2瞬时速度与导数

1.1.3导数的几何意义

1.2.1常数函数与基函数的导数-122导数公式表及数学软件的应用

1.2.3导数的四则运算法则（一）

1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.3.2利用导数研究函数的极值（一）

1.3.2利用导数研究函数的极值（二）

1.3.3导数的实际应用

1.4.1曲边梯形面积与定积分（一）

1.4.1曲边梯形面积与定积分（二）

1.4.2微积分基本定理（一）

1.4.2微积分基本定理（二）

1章末复习课

2.1.1合情推理（一）

2.1.1合情推理（二）

2.1.2演绎推理

2.2.1综合法与分析法

2.2.2反证法

2.3.1数学归纳法

2习题课综合法和分析法

2章末复习课

3.1.1实数系-3.1.2复数的概念

3.1.3复数的几何意义

3.2.1复数的加法与减法

3.2.2复数的乘法-3.2.3复数的除法

3习题课复数

3章末复习课

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第一章导数及其应用

1.1导数

1.1.1函数的平均变化率

【明目标、知重点】1.理解并掌握平均变化率的概念2会求函数在指定区间上的平均变化率3

能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.

填要点•记疑点

1.函数的平均变化率

己知函数y=/(x),x0,xi是其定义域内不同的两点，记Ax=a二与=力一yo=/(xi)—/(xo)

="x°+Ax)—RxQ,则当AxWO时，商黑好叫做函数y=/(x)在工。到xo+Ax(或

［xo+Jx,xol)之间的平均变化率.

2.函数y=/(x)的平均变化率的几何意义

三空12表示函数y=/(X)图象上过两点⑴，/■)),(X2,黄川的割线的斜率.

%21

探要点•究所然

［情境导学］

某市2013年5月30日最高气温是33.4C,而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分

别是24.4℃和18.6℃,短短两天时间，气温“陡增”14.8℃,闷热中的人们无不感叹：“天

气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高

气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.TC,甚至超过了14.8℃,而人们却不会发出

上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那

么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？

探究点一函数的平均变化率

思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

1

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答如图，表示/、8之间的曲线和5、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜

率来量化.

如用比值空陛近似量化8、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在［打，xc］上的平

Xc-XB

均变化率.

思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

答如果问题中的函数关系用y=/(x)表示，那么问题中的变化率可用式子空2Ps表示，

X2~X\

我们把这个式子称为函数y=/(x)从不到检的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在

某个范围内变化的快慢.

思考3平均变化率有什么几何意义？

答设48，人xi)),8(必，7(X2))是曲线y=/(x)上任意不同的两点，函数y=/(x)的平均变化率

尧=曲2*1+?)-心)为割线羔的斜率.

△xX2-X\Ax

X|，X2是定义域内不同的两点，因此Ar#o,但Ax可正也可负；»=加2)一/|)是相应Ax

=M—R的改变量，的值可正可负，也可为零.因此，平均变化率可正可负，也可为零.

例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6

个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为

6.5—3.5..„

-3—0—］(千克/月)•

从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为

11-8.62.4―，口

12—6=%~=。4(千克/月)•

2

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反思与感悟求平均变化率的主要步骤：

(1)先计算函数值的改变量Aj,=/(X2)~/Cvi).

(2)再计算自变量的改变量Ax=x2-xi.

(3)得平均变化率先="匚等.

X2X|

跟踪训练1如图是函数夕=兀0的图象，则：

(1)函数外)在区间［-1,1］上的平均变化率为

(2)函数兀0在区间［0,2］上的平均变化率为.

答案(1)|(2)1

/fl)——1)2—11

解析⑴函数/(X)在区间［一1,1］上的平均变化率畤二台"=苛■苫

*+3

一1«1

(2)由函数,/(X)的图象知，/(x)="2'

x+1,l<rW3

所以函数;(x)在区间［0,2］上的平均变化率为4会叽三］

探究点二求函数的平均变化率

例2已知函数人幻=》2,分别计算Hx)在下列区间上的平均变化率：

⑴［1,3］；⑵［1,2］：(3)［1,1.1］;(4)［1,1,001］.

解(1)函数人x)在［1,3］上的平均变化率为

,/(3)-/(1)32-12.

3-124

(2)函数/(x)在［1,2］上的平均变化率为

,A2)-AD22-12

27=3;

(3)函数/(x)在［1,1.1］上的平均变化率为

1.1-1—0.1―2」；

(4)函数外)在［1,1.001］上的平均变化率为虫黑三丝=耳而1-=2.001.

1.W11u.uu1

反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量加■取值越小,

越能准确体现函数的变化情况.

跟踪训练2求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大？

解在x=l附近的平均变化率为

3

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/(1+^-)-/(1)(1+AX)*2-1

k

'-M-==2+AX

在x=2附近的平均变化率为

人2+盘)一/(2)(2+最)2-22

=4+Ax；

后一展Ax

在x=3附近的平均变化率为

,义3+Ax)-/(3)(3+AX)2-32，一

自=^=6+Ax；

对任意Ax有,Ajv左2<自，

.•.在x=3附近的平均变化率最大.

思考一次函数卜=6+6伏W0)在区间［加，上的平均变化率有什么特点？

答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值&,即一

次函数的平均变化率是定值.

探究点三平均变化率的应用

例3甲、乙两人走过的路程si(f),S2⑺与时间f的关系如图，试比较『

两人的平均速度哪个大？匕恣

解由图象可知S|«o)=S2(fo),S1(O)>S2(O),

川SWO)—SI(O)7S2(M)—S2(0)M

川toto，

所以在从0到fo这段时间内乙的平均速度大.

反思与感悟平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值

越大，函数在区间上的变化越快：平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.

跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、

乙两人的经营成果？

解甲赚钱的平均速度为彳枭=普=/(万元/月)，乙赚钱的平均速度为万元/月).

因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数,

所以乙的经营成果比甲的好.

当堂测•查疑缺

1.如果质点M按规律s=3+P运动，则在一小段时间［2,2.1］中相应的平均速度是()

A.4B.4.1C.0.41D.3

答案B

解析v=------而-------=4.1.

2.一物体的运动方程是s=3+2f,则在［2,2.1］这段时间内的平均速度为.

4

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答案2

3.已知函数〃(X)=-4.9X2+6.5X+10.

⑴计算从x=l到x=l+Ar的平均变化率，其中Ar的值为①2；②1；③0.1；@0.01.

(2)根据(1)中的计算，当|Ar|越来越小时，函数〃(x)在区间［1,1+Ax］上的平均变化率有怎样的

变化趋势？

解(l)；®=〃(l+Ax)-〃(l)

=-4.9(AX)2-3.3AX,

—4.9Ax—3.3.

Ax

①当Ax=2时，^=—4.9Ax—3.3=-13.1；

②当Ax=l时，言=—4.9Ax—3.3=—8.2；

③当Ax=0.1时，凫=一4.9以-3.3=—3.79；

④当Ax=0.01时，芸=-4.9Ax—3.3=—3.349.

(2)当|Ax|越来越小时，函数人》)在区间［1,1+Ar］上的平均变化率逐渐变大，并接近于一33

［呈重点、现规律］

1.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是

曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢.

2.求函数/(x)的平均变化率的主要步骤：

(1)先计算函数值的改变量与=/2)—/(阳)；

(2)再计算自变量的改变量Ax=x2—xi；

(3)得平均变化率非=丘妙.

X2-Xj

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1.1.2瞬时速度与导数

【明目标、知重点】1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义

求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率3理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处

的导数的方法4理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数.

填要点•记疑点

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度二设物体运动路程与时间的关系是s=s(f),物体

在to时刻的瞬时速度。就是运动物体在to到而+加这段时间内的平均变化率>°十*r(fo),

A.vs"o+A/)-s(/o)

当AZ->0时的极限,即°=胆瓦=妈

At,

2.瞬时变化率

Ayy(x0+Ax)—y(x0)

一般地,函数y=/(x)在X。处的瞬时变化率是!眄)1=蚂屐'

3.导数的概念

一般地，函数y=/(x)在X。处的瞬时变化率是!!叫黑―/0°)，我们称它为函数y^Ax)

,/(.ro+A.r)—/fa)

在x=xo处的导数,记为广(xQ,即，(x)=Hmhm

0Ax,

4.导函数

如果兀r)在开区间(a,6)内每一点x都是可导的，则称

/(X)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,6)内每个值x,都对应一个确定的导数/(x),于

是在区间(a2)内/(x)构成一个新的函数,把这个函数称为函数y=/(x)的导函数.记为/，(x)

或V(或VJ导函数通常简称为导数.

探要点•究所然

探究点一瞬时速度

思考1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度网单位：m)与起跳后的时间(单位：

s)存在函数关系僦。=-4.9/2+6勺+10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均

速度能否精确反映它的运动状态？

答用0W/W0.5和1的平均速度方来粗略地描述其运动状态.

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在0W/W0.5这段时间里，v=Q=4.05(m/s)；

在这段时间里，。=~8.2（m/s）.

平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间/的

函数关系⑺=-4.9/+6.5f+10,

65—〃篇）一碗）

易知〃（而）=人（0），。=-记-----=0，

而一0

而运动员依然是运动状态.

思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态？

答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.

如求f=2时的瞬时速度，可考察在f=2附近的一个间隔加，当&趋近于0时，看平均速

度石的变化趋势，用式子

lim〃（2+,；一例2）表示,这就是物体在,=2时的瞬时速度.

例1火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到100m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度

为0?

解火箭的运动方程为人（。=100/-金-，

火箭向上位移是初速度引起的位移（100。与重力引起的位移（一笈的合成.

在f附近的平均变化率为

100（/+Ar）-|g（r+A?）2-（100.-虾）

100A/—g7-A/—2g(A0

当AZ-0时，上式趋近于100—gf.

可见，时刻的瞬时速度〃'⑺=100—gr.

令〃'（0=100—gr=O,

解得f=詈打黑七l°,2（s）・

所以火箭熄火后约10.2s向上速度变为0.

反思与感悟瞬时速度是平均速度在加一0时的极限值.要求瞬时速度，可以先求平均速度.

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思考3火箭向上速度变为0,意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？

答火箭向上速度变为0,意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，

由例1知火箭熄火后上升的时间为/=手，所以火箭熄火后上升的最大高度人=100X?一

OO

X(詈)2=端弋510.2(m).

跟踪训练1质点M按规律s(/)=a』+l做直线运动(位移单位：m,时间单位：s).若质点

M在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.

解；As=s(2+Af)-s(2)

=a(2+A/)2+1—a'22—1=4a^t+tz(Az)2,

••今=4a+aAf.在f=2时,瞬时速度为lim震=4a,

LAIALOZA<

即4<2=8,.\a=2.

探究点二导数的定义

思考1从平均速度当4-0时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结

论？

答对函数y=/(x)来说，人幻在点x=x0附近改变At时，平均变化率为皿普迹.

当A.r-0时，如果平均变化率趋于一个常数I,则/称为函数/(x)在点xo的瞬时变化率.

思考2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？

答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化

的快慢程度.

思考3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？

答若函数兀0在区间(a,6)内可导，对伍")内每个值x,都对应一个确定的导数(X),/(x)

就叫函数y=/G)的导函数.

函数/(X)在点X=x0处的导数是导函数y=/(X)在X=x0处的函数值.

例2利用导数的定义求函数4)=一关2+3%在工=2处的导数.

解由导数的定义知，函数在x=2处的导数

H2+Ax)-A2)

(2)二［四)一亚一

而寅2+Ax)—X2)

=-(2+A,v)2+3(2+Ar)-(-22+3X2)

=—(Ax)2—Ax,于是

,—(Ar)2-Ax

/(2)=I蚂―晟—=点邛一.一D=-L

反思与感悟求一个函数y=/(x)在x=刈处的导数的步骤如下:

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(1)求函数值的变化量Ay=/(xo+Ax)—/(x0);

(2)求平均变化率那©管及明

(3)取极限，得导数，(劭)=蚂黑

跟踪训练2利用导数的定义求下列函数的导数:

(l)y=x2+ax+b在x=0处的导数;

(2»=5+2在x=2处的导数.

解⑴：Ay=/(O+AY)—/(0)=(0+Ax)2+a(0+Ax)+b—02—at)—b=(Ax)2+a(Ax),

.包3)2+g)

,ArAx—Ax+tz,

•••/叫%=!德(&+。)=以

(2)VAy=d(2+Ax)+2-^2+2=^4+Ax-2,

.Ay_14+Ax-2_C\/4+Ax—2)(44+Ax+2)

・&_Ax-Ar(V4+Ax+2)

____]_

14+Ax+2

“⑵"感=蚂,+1+2公

探究点三导数的实际应用

例3—正方形铁板在0℃时，边长为10cm,加热后铁板会膨胀.当温度为rC时，边长变

为10(l+af)cm,。为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率.

解设温度的增量为加，则铁板面积S的增量为

AS=102[1+a(z+A0]2-102(1+”产

=200(。+冏A/+100a2(A/)2,

因此等=200(。+。％)+100tz2A/.

令加-0,得S'=200(a+a2?).

所以铁板对温度的膨胀率为200(“+/。.

反思与感悟函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：

平均变化率%=©+受―心。),当故趋于o时，它所趋于的一个常数就是函数在向处的

瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外，它

们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快.

跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加

热.如果在第xh时，原油的温度(单位：℃)为y=/(x)=x2—7x+15(0Wx<8).计算第2h

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和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是，（2）和，（6）.

加提电物切＞▽Av/（2+AK）一/（2）

根据导数的7^.义，八丫―卜丫

（2+心）2—7（2+心）+15-（22-7X2+15）

=Ax

4AX+（AX）12-7AX

=£=Ax—3,

所以，/⑵=蚂景=蚂（AX-3）=-3,

同理可得，/（6）=5.在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3与5.它说明在

第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的

速率上升.

当堂测•查疑缺

1.一物体的运动方程是S=%/仅为常数），则该物体在，=历时的瞬时速度是（）

A.atoB.~atoC.^atoD.2%

答案A

as,LAi-S（，o+△。-S（fo）1,,.A5

斛析©=Kt=呼加+%，•/】蚂，发二函

2.函数於）在刈处可导，则做加。+?一/。）（）

A.与刈、h都有关

B.仅与刈有关，而与6无关

C.仅与〃有关，而与X。无关

D.与X。、h均无关

答案B

3.已知/（幻=一/+］（）,则人的在x=］处的瞬时变化率是（）

A.3B.-3C.2D.-2

答案B

••包

解析Ax—3,

・Ax

H即。烂-3.

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4.已知函数y(x)=古，则，(1)=

答案-2

1

叔加“八一.3+一)—-)「W+一

解析f(I)-hm及一蚂Ax

_,_______211________J.

/Vv,°yj1+Ax(1+［1+Ax)2

［呈重点、现规律］

1.瞬时速度是平均速度当加->0时的极限值：瞬时变化率是平均变化率当Ar—0时的极限

值.

2.利用导数定义求导数的步骤:

⑴求函数的增量\y=f(Xo+Ax)—/(Xo)；

(2)求平均变化率却；

(3)取极限得导数，(xo)=lim%

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1.1.3导数的几何意义

【明目标、知重点】1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切

线方程.

填要点•记疑点

1.割线斜率与切线斜率

设函数y=/（x）的图象如图所示，48是过点/（xo,八咐）与点8（.w+Ax，用6

+心））的一条割线，此割线的斜率是.变°+黑一刎.

当点5沿曲线趋近于点N时，割线绕点/转动，它的极限位置为直线ZO,这条直线

叫做此曲线在点A处的切线.于是,当Ax-0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线

/(xo+Ar)—/(xo)

AD的斜率k,即A=广(x)=Hm

0Ax

2.导数的几何意义

函数尸危）在点x=xo处的导数的几何意义是曲线y=/（x）在点尸（即,.危0））处的切线的魁些也

就是说,曲线y=/（x）在点P（xo，./（xo））处的切线的斜率是£_色上相应地，切线方程为匚施。

=rUo）（x—xo）.

探要点•究所然

［情境导学］

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的

实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这

就是本节我们要研究的主要内容.

探究点一导数的几何意义

思考1如图，当点尸“（%”外“））（〃=1,2,3,4）沿着曲线及）趋近于点尸（如於0））时，割线PP“

的变化趋势是什么？

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答当点P”趋近于点P时，割线PP”趋近于确定的位置，这个确定位置的直线尸7称为点P

处的切线.

思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

答不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个

交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线

趋于确定位置的直线.

例I如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数力⑺=-4.9』+6.5/+10的图象.根

据图象,请描述、比较曲线人⑺在小小「2附近的变化情况.

解我们用曲线力⑺在击，公玄处的切线，刻画曲线例。在上述三个时刻附近的变化情况.

（1）当f=fo时，曲线〃⑺在历处的切线/o平行于f轴.所以，在f=fo附近曲线比较平坦，几

乎没有升降.

（2）当/="时，曲线⑺在八处的切线。的斜率/?'（/|）＜0.所以，在/=4附近曲线下降，即函

数〃⑺在附近单调递减.

（3）当，=女时，曲线人⑺在，2处的切线，2的斜率""2）＜0.所以，在/=，2附近曲线下降，即函

数〃⑺在f=f2附近也单调递减.

从图中可以看出，直线的倾斜程度小于直线/2的倾斜程度，这说明曲线〃⑺在“附近比在

打附近下降得缓慢.

反思与感悟导数与函数图象升降的关系：

若函数y=/（x）在x=xo处的导数存在且，（x（））＞0（即切线的斜率大于零），则函数y=/（x）在x

=x（）附近的图象是上升的；若，（M）＜0（即切线的斜率小于零），则函数y=y（x）在x=x（）附近

的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.

跟踪训练1⑴根据例1的图象，描述函数⑺在4和〃附近增（减）以及增（减）快慢的情况.

解函数僦/）在f3、「4处的切线的斜率〃'⑺＞0,所以，在/=，3,，=，4附近单调递增，且曲

线幽。在“附近比在以附近递增得快.

（2）若函数y=/（x）的导函数在区间［〃，0上是增函数，则函数y=/（x）在区间口，句上的图象可

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能是（

Oabx

D

答案A

解析依题意，（x）在［〃，可上是增函数，则在函数兀0的图象上，各点的切线的斜率

随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.

探究点二求切线的方程

思考1怎样求曲线火X）在点（X0,.人吟）处的切线方程？

答根据导数的儿何意义，求出函数y=*x）在点（xo,兀⑹）处的导数，即曲线在该点处的切

线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.

思考2曲线/（x）在点（xo,/（xo））处的切线与曲线过某点（xo,竹）的切线有何不同？

答曲线次x）在点（xo,火沏））处的切线，点（必，4刖））一定是切点，只要求出k=f（xo）,利用

点斜式写出切线即可；而曲线;（X）过某点（xo,则）的切线，给出的点（xo,泗）不一定在曲线上,

即使在曲线上也不一定是切点.

例2已知曲线y=x2,求：

⑴曲线在点处的切线方程；

（2）曲线过点P（3,5）的切线方程.

解（1）设切点为（xo,则），

0O+AA)’——o

'：y'|x=x0=lim

x20+2x(rAx+(Ax)2—x2()

=2xo,.•.斜率G=2.

.,.曲线在点P（l,l）处的切线方程为

y—1=2（x—1）,即2x—y—1=0.

（2）点尸（3,5）不在曲线上，

设切点为（xo，y（））

由（1）知，k=2x0,

,切线方程为y—yo—2xo（x-xo）,

由尸（3,5）在所求直线上得5—泗=功（3—3①

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再由A(XQ,泗)在曲线y—^上得②

联立①，②得，x0=l或x()=5.

从而切点力的坐标为(1,1)或(5,25)

当切点为(1,1)时，切线的斜率为上i=2x0=2,

此时切线方程为y—1=2(x—1),即2x—y—1=0,

当切点为(5,25)时，切线的斜率为％2=合0=10,

此时切线方程为y—25=10(x—5),

即10x-y-25=0.

综上所述，过点尸(3,5)且与曲线^=》2相切的直线方程为左一7一1=0或10x-y-25=0.

反思与感悟求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然

后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标.

跟踪训练2已知直线/：y=4x+a和曲线C：y=f(x)=xi-2x2+3相切，求a的值及切点坐

标.

解设直线/与曲线C相切于点尸(xo,则)，

/(x+Ax)—/(x)

Ax

33

(x+Ax)—2(X+AX)2+3—(x—2X2+3)

=蚂屐

2

=3X—4X9

==

・・k'f(x())3xo—4XQ.

由题意可知k=4,即3岩一4xo=4,

2、

解得XQ——，或x()=2,

J切点的坐标为(一本招)或(2,3).

当切点为(一|,骂)时，有骂=4X(一|)+a,

解得。=岩1211.

当切点为(2,3)时，有3=4X2+〃，解得〃=一5.

；・当。=%时,切点坐标为(一全骂)；

当。=—5时，切点坐标为(2,3).

当堂测•查疑缺

1.已知曲线4)=2/上一点4(2,8),则点力处的切线斜率为()

A.4B.16C.8D.2

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答案c

物法m1.负2+©)一火2)

解析f(2)=l.m—直一

2(2+Ax)*2—*8

=lim-----7------=lim(8+2Ax)=8,即左=8.

Ax-oAxALO'7

2.若曲线在点(0,b)处的切线方程是x—y+l=O,则()

A.Q=1,b=\B.a=­1,b=\

C.〃=1,b=—\D.a=~\,b=—\

答案A

解析由题意，

(O+Ax)2+a(O+Ax)+Z?—6

知蚂----------a----------=1,

又（0,力在切线上，：.b=\,故选A.

3.已知曲线y=/（x）=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为

答案(3,30)

解析设点P(xo,2君+4xo),

人xo+Ax)~/(xo)

则了

（加=蚂Ar

2(Ax/+4xo.Ax+4Ax

^=4X0+4,

令4x（）+4=16得x＜）=3,

；.P（3,30）.

［呈重点、现规律］

1.导数，（xo）的几何意义是曲线y=/U）在点（xo,«xo））处的切线的斜率，即A:=Hm

*x°）=/（Xo）,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度・

2.“函数兀0在点X。处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有

本质的区别，但又有密切关系，，（Xo）是其导数^=/（X）在X=Xo处的一个函数值.

3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以

该点为切点的切线方程为y~f（XO）=f（Xo）（x一工0）；若已知点不在切线上，则设出切点（Xo,

1/（Xo））,表示出切线方程，然后求出切点.

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I导数及其应用

导数的运算

1.2.1常数函数与幕函数的导数

1.2.2导数公式表及数学软件的应用

【明目标、知重点】1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=%^=也的导数2能利用

给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

填要点•记疑点

1.儿个常用函数的导数

原函数导函数

f«=0

/(x)=xf(x)=l

f(x)=2x

川)=:fa)=T

段）=也

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

y=cV=0

y=x"(〃GN+)y'=4

y=xfl(x>0,且蚱Q)V=上

y=sinxyf=cos_x

y=cosxyr="sinx

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x*1x

y=a(a>0fQWI)y=aln_a

y=eYy'=E

y=log/(a>0,QWI,X>0)y'=y~

Jxlna

y=\nxy1--

JX

探要点卜究所然

［情境导学］

在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导致，那么能不能利用导数的定义求

出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题.

探究点一几个常用函数的导数

思考1类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y=/(x)的导函

数？利用定义求下列常用函数的导数：

®y=c,®y=x,®y=^,④尸⑤尸也.

答⑴计算光，并化简；

⑵观察当/x趋近于0时，光趋近于哪个定值；

(3)%趋近于的定值就是函数产向的导函数.

Q/=0,②=1,③J?—2x,@y'=!蚂瞪=

11

x+Axx—11

Ax=二后面=—7(其它类同)，

⑤一去

思考2在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象，并根据导数定

义，求它们的导数.

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

(3)函数y=日%#0)增(减)的快慢与什么有关？

答函数y=2x,y-3x,y=4x的图象如图所示，导数分别为—2,y'=3,y'—4.

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(1)从图象上看，函数y=2x,y=3x,y=4x的导数分别表示这三条直线的斜率.

(2)在这三个函数中，y=4x增加得最快，y=2x增加得最慢.

(3)函数y=Ax/>0)增加的快慢与《有关系，即与函数的导数有关系，在越大，函数增加得越

快，女越小，函数增加得越慢.

函数y=h/<0)减少的快慢与阂有关系，即与函数导数的绝对值有关系，阂越大，函数减少

得越快，因越小，函数减少得越慢.

思考3画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切

线方程.

答函数的图象如图所示，结合函数图象及其导数V=-点发。产J

现，当x<0时，随着x的增加，函数减少得越来越快；当x>0-4-2

*2*4i

时，随着冗的增加，函数减少得越来越慢.、卜2

点(1,1)处切线的斜率为-1,过点(1,1)的切线方程为y=—x+2.

探究点二基本初等函数的导数公式

思考利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无

法变形，怎样解决这个问题？

答可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度.

例1求下列函数的导数：

14

(l»=sin亨(2»=5*；(3)尸?；(4»=迎；

(5>=logjx.

解(1»'=0；

(2»'=(5)=5xIn5；

(3)》'=(5)'=@7)'=-3x~4；

4-3--

(4»’=(后'=(》4y=-x4--；

44

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(5犷=(隆力=焉—

反思与感悟对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必

须做到以下两点：一是正确理解，如sin^=坐是常数，而常数的导数一定为零，就不会出

现卜靖)'=cos；这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可转化为指数

式，然后利用公式求导.

跟踪训练1求下列函数的导数：

⑴y=f；(2»=(品(3)尸他；(4)y=log|x.

解(1»'=8/；

(2»'=(1)vln|=-(1)'ln2；

33-

(3)Vy=x\/x=X2，••y'=—x2；

例2判断下列计算是否正确.

7T

求^=85%在X=］处的导数，过程如下：

“煮=(cosf)=-sin安一坐

解错误.应为_/=—sinx,

.,,n•几近

••yh=；=-sin§=一亍

反思与感悟函数/(x)在点X。处的导数等于/(x)在点x=x()处的函数值.在求函数在某点

处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将刖代入导函数求解，不能先代入后求导.

跟踪训练2求函数Mc)=lnx在x=l处的导数.

解f(x)=(ln»=p：.f(1)=1,

...函数/(x)在X=1处的导数为1.

探究点三导数公式的综合应用

例3已知直线/.•Zx—y+dnO与抛物线y=x2相交于/、B两点,O是坐标原点，试求与直

线/平行的抛物线的切线方程，并在弧「06上求一点尸，使尸的面积最大.

解设P®),泗)为切点，过点P与48平行的直线斜率〃=/=2xo，『

••k=2XQ=2,

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/•xo=1,yo=1-

故可得尸(1,1),

切线方程为2x-y-l=0.

由于直线/:2%一夕+4=0与抛物线＞=/相交于/、8两点，所以|月8|为定值，要使△48P的

面积最大，只要P到的距离最大，故P(l,l)点即为所求弧上的点，使的面

积最大.

反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x°,则)处的切线方程,

可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时

可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.

跟踪训练3曲线y=f+3x2+6x-l()的切线中，求斜率最小的切线方程.

解由题意知：

y'=3x?+6x+6=3(x+1)?+3,

...当x=-l时，，取最小值为3,即最小的斜率为3.此时切点坐标为(-1,-14).

斜率最小的切线方程为y+14=3(x+1),

即3x-y-ll=0.

当堂测•查疑缺

1.给出下列结论：

13

①若y=F，则y'=一丁；

②若y=/,贝!

③若y=土，则，——2x\

④若/(x)=3x,则4(1)=3.

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析①y=$=x,3,

则=-3x-4=-

®y=yfx=,贝=|-x

®y=p=x-2,则y，=—2x-3；

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④由y(x)=3x,知/(x)=3,

:(1)=3.

①@④正确.

2.函数/*)=/,则/(3)等于()

A亚

6B.0

D坐

答案A

解析"'f=2r>

川⑶-2厅6•

3.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线/,则直线/的倾斜角的范围

是()

A.[0，加/,兀)

B.[0,it)

C京祟D.[0,。呢,普]

答案A

解