利用eviews实现时间序列的平稳性检验与协整检验以及GARCH模型

在对时间序列丫、X1进行回归分析时需要考虑Y与X1之间是否存在某种切实的关系，所以需

要进行协整检验。

1.1利用eviews创建时间序列Y、X1：

打开eviews软件点击file-new-workfile,见对话框又三块空白处workfilestructure

type处又三项选择，分别是非时间序列unstructured/undate,时间序列dated-regular

frequency,和不明英语balancepanel。选择时间序歹ijdated-regularfrequency。在date

specification中选择年度，半年度或者季度等，和起始时间。右下角为工作间取名字和页数。

点击ok。

在所创建的workfile中点击object-newobject,选择series,以及填写名字如丫，点击OK。

将数据填写入内。

1.2对序列Y进行平稳性检验：

此时应对序列数据取对数，取对数的好处在于可将间距很大的数据转换为间距较小的数据。

具体做法是在workfiley的窗口中点击Genr,输入logy=log(y),则生成y的对数序列logy。

再对logy序列进行平稳性检验。

点击view-Unitedroottest,testtype选择ADF检验，滞后阶数中laglength选择SIC

检验，点击ok得结果如下：

NullHypothesis:LOGYhasaunitroot

Exogenous:Constant

LagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=1)

t-StatisticProb.*

AugmentedDickey-Fullertest

statistic-2.750946017166370.0995139988900359

Testcriticalvalues:1%level-4.29707275602226

5%level-3.21269639026225

10%level-2.74767611540013

当检验值AugmentedDickey-Fullerteststatistic的绝对值大于临界值绝对值时，序列

为平稳序列。

若非平稳序列，则对logy取一阶差分，再进行平稳性检验。直到出现平稳序列。假设Dlogy

和DlogXI为平稳序列。

1.3对Dlogy和DlogXI进行协整检验

点击窗口quick-equationestimation,输入DLOGYCDLOGX1,点击ok,得到运行结

果，再点击proc-makeresidualseries进行残差提取得到残差序列，再对残差序列进行平稳

性检验，若残差为平稳序列，则Dlogy与DlogxI存在协整关系。

GARCH模型与应用简介

(2006,5)

0.前言.......................................2

1.GARCH模型...............................7

2.模型的参数估计............................16

3.模型检验..................................27

4.模型的应用................................32

5.实例.......................................42

6.某些新进展................................46

参考文献....................................50

0.前言(随机序列的条件均值与条件方差简介)

考察严平稳随机序列{%},且E|yt|<oo.记其均值Eyt=H,

协方差函数Yk=E{(yt-R(yt+k-R}.其条件期望(或条件均值)：

E(ytlyt」,yt-2,…片(p(yt-i,ytz…)，(0.1)

依条件期望的性质有

E(p(yt/,yt.2,…)=E{E(*|yt-i,yt-如••)}=Eyt=g.(0.2)

记误差(或残差)：

et=yt-(p(yt-byt-2v).(0.3)

由(0.1)(0.2)式必有：

Eet=Eyt-E(p(yt.1,yt.2,..-)

=Eyt-Eyt=0,(0-均值性)(0.4)

及

Eef2=E[yt-(p(yt”,yt.2,…)]之

2

=E{(yt-|i)-[(p(yt-Byt-2v-)-H]}仲心化)

22

=E(yt-(i)+E[(p(yt-i,yt-2v.•)-g]

・2E(yt叩)[<p(yt”,yt.2,…)叩]

=Yo+Var{(p(yt.i,yt.2v-)}

-2EE{(yt-p)[(p(yt-byt-2,...)-g]Iyt-i,yt-2,…}

(根据Ex=E{E[x|yt.byt.2,...]})

=Yo+Var{(p(yt.i,yt.2,...)}

-2E{[(p(yt.byt.2,...)-|Li]E[(yt-|Li)|丫.济2…]}

(再用E[xx\|/(yt.i,yt-2,—)Iyt-i,yt.2,.-]

=v(yt-i,yt-2,…)E[xIyt-i,yt-2,…];

并取x=(yt-p),v(yt-i?yt-2v•)=[(p(yt-i,yt-2v•)-p];

由(0.1)(0.2)可得)

2

=Yo+Var{(p(yt.i,yt.2,...)}-2E[(p(yt.i,yt-2v)-p]

=Yo-Var{(p(yt.i,yt.2,...)}.(0.5)

即有：

y0=Var(yt)=Var((p(yt.i,yt.2,...))+Var(et).(0.6)

此式表明，yt的方差(=YO)可表示为：回归函数的方差

(Var((p(yt.i,yt-2v•)),与残差的方差(Var(e与之和.

下边讨论et的条件均值与条件方差.

为了符号简便，以下记Ft.]={ytJ,yt2…}.

首先考虑et的条件均值:

E(et|Ft.i)=E{yt-(p(yt-byt-2,—)IFt-i)

=E(ytIFt.i)-E{(p(yt-byt-2v)I%}

=<p(yt“，yt-2,…)-(p(yt-i,yt-2,-)

=0.(0.7)

再看条件方差:

2

Var(et|Ft.1)=E{[et-E(et|F^)]1Ft4}

2

=E{et1FQ(用(0.7)式)

2

=S(yt-i5yt-2v)«(0・8)

此处出(—&…)为条件方差函数.注意,et的条件均值是零,

2

条件方差是非负的函数S(yt-i,yt.2,...),它不一定是常数！

依(0.3)式，平稳随机序列｛yj总有如下表达式：

yt=<p(yt/,yt-2,…)(0.9)

其中q(V川V⑶…)被称为自回归函数,不一定是线性的•｛生｝

可称为新息序列，与线性模型的新息序列不同，除非｛yj是

正态序列.顺便指出，满足(0.4)式的为鞅差序列,因为对

它的求和是离散的鞅序列.由于｛yj是严平稳随机序列，且

E|yt|<oo,上述推演是严格的，从而｛生｝是严平稳的鞅差序歹!].

当｛yj有遍历性时，它也是遍历的.此处所涉及的抽象概念

可不必深究.

现在将由标准化，即令

仇三e/S(yt-i,yt-2,…)•

则有，

E(st|Ft.i)=E[et/S(yt.i,yt.2v•­)IFt-il

=｛l/S(yt.i,yt.2,...)｝E[et|Ft.1]

=0.(依(0.7)式)(0.10)

以及

222

E(st1Ft.1)=E[et/S(yt.i,yt-2,...)IFt.d

22

=｛l/S(yt-i,yt.2,...)｝E[et1FM](用(0.8))

22

=｛S(yt.i,yt-2v.-)｝/｛S(yt-byt-2v.))

=1.(a.s.)(0.11)

由此可见，佃｝也是平稳鞅差序列，与｛.｝相比，｛3的条件方

差为常数1.于是(0.9)式可写为：

yt=(p(yt-i,yt-2,...)+5(丫b1品.如・・)5，(0.12)

此式可称为条件异方差自回归模型,所谓条件异方差就是指:

条件方差S2(ym,yt.2,…)不为常数.请注意，条件异方差自回

归模型与下文中的自回归条件异方差模型是不同的概念！

*还有一点很重要，如果(0.9)模型具有可逆性，那么，

Var(etIFt.i)=Var(et|丫仁即方…)

=Var(etlet.i,et.2,...)

=h(et.i,et-2v-)-(0.13)

因此，模型(0.12)式又可些成

yt=^p(yt-i,yt-2>,e,)+h(。」4)

请注意，模型(0.12)(0.14)式是

普遍适用(或称万用)的模型!

但是，为便于研究建模理论，在(0.12)式中还附加假定：

我与｛yt」,yt-2,…｝相互独立！

此假定是实质性的，人为的.

它对仇｝的概率分布有实质性的限制.

还须指出：若在(0.9)式中直接假定生与｛yt」,yt-2,…｝独立,

此假定除了上述的人为性含义外，还增多了如下假定：

2

Var(et1丫口品⑵…):Var(et?)=常数.(0.15)

这里用了条件期望的一条性质，即当X与Y独立时，

E(X|Y)=EX.

大家要问，为什么加这些人为的假定呢？

让我们回顾一下这些假定演变的历程吧.

在文献中(0.9)式生先后被假定为：

且N(0,O2)”，(1943-)

且0-均值-方差有穷”，(I960-)

“鞅差序列，且条件方差S2(...)=常数”，(1970-)

"et=S(yt4,yt.2,...)et,但｛仇｝为i.i.d.N(0,。与序列，

而且S(y』yt.2,…)为有限参模型”，(1982・・)

w

et=S(yt.i,yt.2,…)£t，但｛7｝为i.i.d.序列

而且S(yu,ytz…)为有限参模型”。(2000-)

究其根源，主要是受时间序列统计理论知识的限制.

以上专门讨论了的定义,性质,和人为限制的历程.

但是，这里也顺便提一下自回归函数…)的发展史,

大致如下(不细论)：

线性一非线性参数一半参数f非参数。

在以上的讨论中，使用记号9(y.Rz…)，是为了突出普适性.

在文献中和实际应用中，所考虑的①(yt」,yt.2,…)的形式很简

单.半个多世纪来，虽说有了很大的改进，但是，与最一般

的＜P(yt」,yt-2,…)还有很大差距.

类似的讨论也适用S(yt.byt.2,...).也是为了突出普适

性，才引入了记号S(y』yt.2,…)和模型(012)(0.14).在文献中

和实际应用中，直到近二十来年才考虑了不为常数的

§@“怎一2,...)的简单情况--小区d1模型.近几年来，也在向着

半参数，非参数方面发展.但是，与最一般的S(ytj,yt.2,...)也

还相差甚远.

1.ARCH与GARCH模型

1.1.概述

在条件异方差模型问世以前，时间序列分析主要讨论自

回归结构，或者说，主要讨论中国.1怎.2,…)的有关内容.当条

件异方差模型问世后，在时间序列分析中，特别是建模分析

中，就包含了两个内容,一个与(p(yt-i,yt-2,…)有关；另一个与

有关.如何统计分析它们，是摆在我们面前的主

要问题.对此问题，通常作法是：分两步完成，先按平稳序

列建模方法，对①…)建立适当的模型，比如AR模型；

由此获得弥合的残差序列，把它当做新息序列｛臣｝的样本值,

再对它进行条件异方差建模分析.分两步完成有方便之处,

其一，做第一步时，由于｛ej是鞅差序列，其建模有理论根据.

其二，在介绍条件异方差建模时，可以只讨论中心.1怎.2,...)=0

的情况.这并无损失，还便于理解条件异方差概念.其实,

还有一言，在金融统计中，专门考虑条件异方差建模问题,

也有一定的实际背景.

综上所说，我们将专门讨论如下的鞅差平稳序列，即,

E(ytlyt-i，yt-2，・「)m(p(yt-i，yt-2，・・・)=0・(11)

2

Var(yt|yt”,yt.2,…>S(yM,yt.2,...)>0.(1.2)

换句话说，考虑如下的(0.9)模型

yt=et,(1.3)

它的标准化的模型(0.12)为

yt=S(yt”,yt.2,…而(1-4)

请注意，这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型.我们

不可能泛泛地讨论它.再请回看对鞅差序列佃｝的限制的历

程，以下我们要讲的恰好是：

"et=S(yt.byt.2,...)st,但｛仇｝为i.i.d.N(0,。序列，

而且S(yt.bytz…)为有限参模型“，(1982-).

再新的内容，我们也将提到.至此，大家完全明白我们将要

讨论什么样的序列.

为说明该序列的某些特征，先看一看序列佃｝的自协方

差函数序列：

Ye(k)=Eet+ket=E[E(et+ket|et+k-i,et+k-2,・・・)]

=E[etE(et+k|et+k-i,et+k-2,・・J]

=E｛etx0｝=0,k>l.

可见，平稳鞅差序列也是白噪声.根据自协方差序列做平稳

序列的建模和谱分析时，除了判断(p(yt」,yt.2,...)=0夕卜，几乎

无话可说.换句话说，相关性分析和谱分析不能对(L4)式的

序列作出更深刻的分析.为了进一步获得它的深入的结构特

征，必须引入新的概念和新的方法.

1.2.ARCH(p)模型.

(ARCH—AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity)

在金融界，大量的数据序列呈现不可预报性，相当于前

面的(0.9)或(0.12)式中的中仇.1/.2,…)=0,于是有兴趣研究

(1.4)模型.Engle(1982)首先提出并使用了如下的有限参数模

型：

yt=S(yt_],yt-2，…)£t三%%,(L5)

222

ht=ao+aiyt.i+«2yt-2+...+apyt-P,(L6)

ao>O,ai>0,i=l,2,...,p.

其中｛幻为i.i.d.的序歹!],£t~N(0,1),且力与｛yt/，八2,…｝独立,

2

为了简化记号，记ht=S(yt.i,yt-2,…)•

此模型被称为自回归条件异方差模型,简记ARCH(p),

其中P表示模型的阶数.

很明显，此模型只是普遍适用的(1.4)式模型的子类，因

为，在ARCH模型中对模型(1.4)添加了很多的人为限制.

为了增进对ARCH模型的了解，我们将作几点明，以代

替严格的推理论述.

其一，限定｛臣｝为i.i.d.序列！这是很强的限制，这是由于

现有理论的基楚所限.

其二，限定条件方差有(1.6)式的简单形式，即

2

ht=S(yt.i,ytz…)=ao+aiyt/+a2yt.2?+…+apyt.p2,

是为了统计分析方便.

其三，限定仇服从正态分布，是为了求极大似然估计方

2

便.限制£t~N(O,1),而不用Et-N(O,Q),是因为｛q｝满足标

准化的模型(0.11)式.

其四，限制a0>0,30,i=l,2,...,p,是为了保证条件

2

方差函数ht=S(yt.1,yt.2,—)>0-限制«o>O,而不是出现这

是为了保证模型(L5X1.6)有平稳解，否则，当a0=0时它没有

平稳解！这可从以下简单例子看出.考查如下ARCH(l)模

型：

2

ht=aiyt.i,

将它代入(1.5)式得

1/221/2

yt=ht£t=(aiyt-i)仇，

将它两边平方得

222

yt=aiyt.i£t,

将它两边取对数得

222

log(yt)=log(a1)+log(yt.i)+log(£t),(1.7)

2

记xt=log(yt),c=log(ai),币=1。8(为2)(仍为i.i.d.序列)，上式为

Xt=C+Xtj+T|t,

这不是熟知的一元AR(1)模型吗？而且不满足平稳性条件!

所以，没有平稳解.从而模型(L5)也没有平稳解.

其五，为使ARCH模型有平稳解，对系数ai(i=l,2,...,p)

还要加限制.较早的限制(也是较强)是

ai+a2+・・・+apVl.(1.8)

在此条件下，不仅有平稳解，还有有穷二阶矩.后来，也有

人放宽条件，只保证有平稳解，不保证有有穷二阶矩.所有

这些结果的推理，都要用到非线性时间序列分析的新成果.

其六，Engle(1982)首次先提出ARCH模型时，使用了

如下叙述：

ytlyt-i,yt-2,...,yi-N(o,ht),(1.5)'

222

ht=ao+aiyt.i+ot2yt.2+«»«+otpyt.p,

a0>0,aj>0,i=l,2,...,p.

易见,(1.5)，式与(1.5)式是等价的.

其七，ARCH模型有不同的变形形式.仿(1.7)式的做

法，即将(1.5)式两边平方，再将(1.6)式代入其中可得

222222

yt=ht8t=(ao+aiyt.i+ct2yt-2+«••+a，pyt-p)St

2222

=(a()+aiyt.i+012X1-2+...+apyt-P)(1+7-1)

222

=a0+aiyt.i+a2yt.2+...+apyt.p

+(£t2-i)(oto+otiyt-i2+oi2yt-22+««*+cipyt-p2)

222

=ao+aiyt-i+a2yt-2+.••+(xpyt-p+

222

=a0+aiyt.i+a2yt.2+...+apyt.p+wt,(1.9)

对序列旧2｝而言，此式很像线性AR(p)模型，其中Wt=ht®2-1)

是一个平稳的鞅差序列，因为

E{wtlyt.i,yt-2?…}二

2

=E{ht（8t-l）lyt.i>yt-2>•••}

2

=E{ht£tlyt.byt-2,…卜E{htlyr,yt-2,…}

2

=htE{8tlyt.i,yt.2,...}-E{htlyt.byt.2,・・・}(依(1.6))

=ht-ht=0.(1.10)

用(1.9)式和线性AR(p)模型的求解方法，可得{y12}的平稳解.

但是，从原理上说，得到了{寸}的解，还不能说就得到了原

序列'}的解.好在当我们只关心人的条件方差时，有了旧2}

的解也足够用了.(L9)式的变形方式是严格的，可放心地使

2

用它.所谓使用它，就是将原数据平方后得到y?,y2，…，

YT2,对它们建立AR(p)模型，便得到参数的一种

估计.

如果对y,2=i1t1两边取对数可得

22

log(yt)=log(ht)+log(£t)

2222

=log(ao+aiyt.i+a2yt.2+•••+apyt.p)+log(£t)

222

记x(t)=log(yt),c=Elog(et),T|t=log(8t)-c,于是上式可写成

x(t4)x(t2)x(tp)

x(t)=c+log(ao+a1e+a2e'+...+ape-)+r|t.

于是又得到ARCH模型的另一种变形.此式是关于序列{x(t)}

的非线性自回归模型，注意，上式中的序列{m}是i.i.d.的.此

外,ARCH模型还有别的表示方法，不再一一介绍了.

其八，根据数据yi,y2,...,yT,要作自回归条件异方差模

型的统计分析，包含两项内容，首先是用假设检验方法，判

别这些数据是否有条件异方差条件性，即,S(yt.bytz…片常

数?如果是否定回答，第二项内容就是对ARCH模型未知

参数的估计.在第2节中，我们将介绍参数的估计方法，在

第3节中，介绍检验方法.

1.3.GARCH(GeneralizedARCH)模型：

在Engle(1982)提出ARCH模型后，受到应用者的关注,

特别是金融界.稍后几年，也被时间序列分析理论研究所重

视.从前面对新息序列｛ej限制条件的放宽过程可见，提出

ARCH模型，无疑是对时间序列分析理论和应用研究有开拓

性的意义.在对ARCH模型的理论研究和应用中，人们自然

会发问：在(1.6)式中,人的条件方差

2222

S(yt-i>Yt-2>•••)=ht=ao+aiyt.i+oc2yt-2+«-+ctpyt.p>

只依赖于p个历史值，能否考虑依赖全部历史值的情况?

Bollerslev(1986)给出了回答，他提出了如下的更广的模型,

即GARCH模型：

1/2

yt=S(yt.byt-2,…)a三ht%,(ill)

222

ht=a()+aiyt4+a2yt.2+•••+apyt.p

+Blht/+…+”11卬(1.12)

a0>0,aj>0,i=l,2,...,p;Pj>0,j=l,2,...,q.(1.13)

其中｛仇｝为i.i.d.的N(0,7)分布，且&与｛yt4,yt.2,...｝独立.

对此GARCH模型作如下说明：

2

其一,利用(1.12)式反复迭代可得知，ht=S(yt.i,yt.2,...)

确实依赖序列的全部历史值，但是,％仅依赖有限个参数.

其二，在1997年诺贝尔经济学奖，被两位研究期权定价

理论的Black-Scholes方程的学者获得.从理论上人们发现,

Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程，对它进

行等间隔离散化采样，所得到的序列，恰好满足GARCH模

型.于是，GARCH模型更被认可，而且，金融界特别偏爱

GARCH模型.

其三，如前所述,(L13)式的条件a0>0,仍不能放宽为

a0>0.而且，(1.13)式中的条件。心0,i=l,2,...,p,还应附加一

个限制：ai+a2+...+ap>0,否则如果全部叫=0(i=l,2,...,p)将

导致(1.12)式的瓦为常数(仍用迭代法可证明).这一点未在文

献中指出，一个潜在原因是：应用者默认pNl,且ap>0.

其四，与对ARCH模型的说明中的其五很类似，为使

GARCH模型有平稳解，对系数ai(i=l,2,...,p)和除0,

j=l,2,...,q.还要加限制.较早的限制(也是较强)是

ai+・・・+ap+Bi+.・・+PqvL(1014)

在此条件下，不仅有平稳解，还有有穷二阶矩.其余的叙述

与ARCH情况相同，从略.

其五，统计问题.与对ARCH模型的说明中的其七很类

似.但是，它比ARCH模型要复杂些，具体如下：

22-

y，=htst=htht+ht(8tl)

222

=ao+aiyt-i+a2yt-2+•••+ocpyt-p+Piht.i4-...+pqht.q+Wt

222

=a0+a1yt.1+a2yt-2+...+apyt.p

2-2+2-2

+Plht.l(CMSt-l+l)«»«+Pqht-q(£t-lEt-q+l)+Wt

222

=Oo+aiyt.i+。2丫卜2+...+apyt.p

22

+Piht.1£t.1+...+pqht.q£t,q

-Plht-l(St-l2-l)-««•"Pqht-q(£t-q2-1)+Wt

222

=a<)+aiyt.i+0^-2+...+apyt.p

+Piyt-l2+«.«+Pqyt-q2_PlWt-l->»«_PqWt-q+Wt

22+2

=ao+(ai+pi)yt.i+(a24-P2)yt-2«»«+(^m+Pm)yt-p

-PlWt4-...-pqWt.q+Wt,(1.15)

其中m=max｛p,q｝,而且，当k>p时ak=O；当k>q时限=0,

2

Wt=ht(£t-1).如前所述｛Wj是平稳鞅差序列，所以，以上表

达式说明，｛1｝是由｛wj驱动的平稳ARMA序列.以上模型

不仅表达了GARCH模型的结构特性，而且，依此可借助于

平稳ARMA序列建模方法，得到GARCH模型参数的一种

简单的估计方法.关于GARCH模型的参数估计和检验方

法，分别在第2节和第3节中介绍.

2.GARCH模型的参数估计

2.1.概述

在实际应用中，人们拥有序列观测值yi,y2,...,yn,如果

要为它们建立GARCH模型，将面对着下列问题：为什么要

建立GARCH模型？用多少阶数的模型？怎样获得模型的

参数值？回答了这些问题，就解决了为GARCH模型建模的

问题.前两个问题将在下一节中讨论，这一节只讨论模型的

参数估计问题，换言之，讨论在模型阶数已知时，如何根据

观测值勤超,…,yn,估计出GARCH(或者ARCH)模型的参

数.在统计学中有多种方法可以用来解决这一问题，这里只

介绍两种估计方法.一种是比较简单的方法，另一种是熟知

的极大似然估计方法.前一种估计可能不如后者精细，但是

它可作为用迭代法求取后者时的初始值.另外，对ARCH和

GARCH模型而言，它们的参数估计方法的难易程度有明显

差异，所以，我们将分别予以介绍.

2.2.ARCH模型的参数估计

2.2.1.最小二乘法估计

最小二乘法是非常熟悉的方法，此方法是基于最小二

乘原理。我们先指出在此可以使用此原理的依据，为此不

妨以ARCH(l)模型为例说明之。依(1.9)式知，满足ARCH(l)

模型的序列{yj必满足以下模型

22

yt=a0+aiyt.i+wt,(2.1)

其中{W#是鞅差序列，而且以=%(蜡.1),于是有

22

E{wtlyt4}=E{ht(£t-l)Iy/}

22

=htE{(8t-1)Iyt4)

2

=htE{8tIyt/}.ht

2

=htE{£t}-E

=ht-ht=0.(a.s.)(2.2)

利用此式可得知,

2-22222

E{ytao-aiyt-i}=E{ao+aiyt.i+wt-ao-aiyt.i}

22

=E{(a0-a0)+(ai-ai)yt-i+wt}

222

=E{(a()-ao)+(arai)yt-i}+E{wt}

2

+2E{[(a0-a0)+(arai)yt.i]wt}

222

=E{(a()-ao)+(arai)yt.i}+E{wt}

22

+2EE{[(a()-ao)+(arai)yt.i]wtlyt.i)

222

=E{(a()-ao)+(a「ai)yt.i}+E{wt}

22

+2EE{[(a()-ao)+(aj-ai)yt-i]E{wtlyt.i)

2

=E{(ao-a0)+(ar}(by(2.2))

2222

=E{(ao-ao)+(ai-ai)yt.i}+E{ht(st-1)}

22222

=E{(ao-ao)+(ai-ai)yt.i}+EhtE(st-l)

>Eht2E®2-l)2=c.(依平稳性)

易见,上式中的二号成立，当且仅当(Oo-ao)=(ai-ai)=0.此事

实表明，

222222

min{E(yt-a0-aiyt.i)：ao,a1}=E{yt-ao-a1yt.i}.(2.3)

此式表明，用所有可能的系数拟合(2.1)模型时，只有以其真

系数拟合，才使拟合参差的方差最小！

在实际应用时，我们没有(2.1)式中的确切的概率分布，

但是，我们有序歹弘力}的观测数据y1,y如根据统计学

的基楚性原理一大数定律，(2.3)式的最小化特征，用样本平

均代替之，随着样本个数的增加将近似成立。换言之，求

解以下最小化问题之解，即

1n222

min{(n-l)Zt=2(yt-ao-aiyt.i)：a0,ai)

1n222

=(n-l)-Zt=2(yt-a0*-a1*yt.1),

显然，此问题等价于如下的最小化问题

n222

min{Lt=2(yt-ao-aiyt.i)：ao,aj

WtMZPtZaJaKt』?(2.4)

以其解(a。*,%*)作为真参数Mg)的估计，称它们为最小二乘

估计。这就是使用最小二乘原理的依据。

以上论述不难推广到一般的ARCH(p)模型，除了符号

的繁琐外，并无本质差异。这里只强调一点：对ARCH(l)

使用最小二乘原理时，残差项wt与yt.i相互独立且Ewt=O是

常见的条件，至少也要满足条件E{Wtlyt/}=O(a.s.)。这一点

对一般情况也适用。

现在介绍ARCH(p)模型参数最小二乘估计方法。首先重

新写出(1.9)式

2222

yt=a0+aiyt.i+a2yt-2+...+apyt.p+wt,

t=p+l,p+2,...,n.(2.5)

在此特别强调足标t的取值范围，只是为了模型中的yt子都

落在我们的数据序列中。依前所述，未知参数

Ct—9Otj9•••,Otp)

的最小二乘估计a*,就是如下的最小值问题的解，即

n22222

min{Zt=2(yt-ao-aiyt.i-a2yt.2-...-apyt-p)：a0,ai,...,ap}

n2-22

=Et=2(yt^0-3iytJ...-apyt.p),(2.6)

x

取最小二乘估计a*=(a。*,a；,…,ap*)o

欲给出(ao*,a1*,…,ap)的表达方式，既可用分析方法，又

可用代数方法。现在使用后一方法,为此将(2.5)式改写成

Y=Xa+W,(2.7)

其中

2T

Y=(yp+/,yp+2：...,y，)\W=(Wp+]2,Wp+2)…,wn),

fi#…

x=；4'7*.

Jy«-i…yLp,

当以a=(a(),ai,a2,…,ap)二为自由参数向量时，于是有

V*n/2cc-a2c202\2

Xt=p+i(yt-aoiyt-i"azyt-iyt-P)

=IIY-Xall2=(Y-Xa)T(Y-Xa)

=YTY-YTXa-aTXTY+aTXTXa

=(XTXa-XTY)x(XTX)'1(XTXa-XxY)

+YTY-(XTY)T(XTX)-1(XTY)

>YTY-(XTY)T(XTX)-1(XTY),

其中用到了以下的矩阵性质

(XTXa-XTY)T(XTX)4(XTXa-XTY)>0.

由前一式可知,(2.6)式的最小值解必满足XTXa-XxY=O.现在

求解XTXa-XTY=O,即XTXa=XTY,其解为

a*=(XTX)-1XTY.(2.8)

注意，上式右边的矩阵X和向量Y,都是由已知数据量组成

的，计算(X、尸和(XtX)』X，，有许多软件可供使用.当然,

也可以自行编程序计算之.

自回归模型(L9)的系数的最小二乘估计，被(2.8)式明显

的表达出，而且便于计算.这一优越性是自回归模型所特有

的，因此，自回归模型在时间序列分析中问世最早.类似地,

Engel(1982)最先引入的条件异方差模型，又是自回归型的条

件异方差模型…ARCH模型，也是基于这一便于使用的优点.

稍后几年才由Bollerslev(1986)提出更一般的GARCH模型.

在时间序列分析中，自回归模型系数的最小二乘估计,

有很多优良性质，这已经被研究得很完美了.但是，将它用

于ARCH模型系数估计，这些优良性质不一定具有了.在

此，我们仅指它的优缺点.其优点是：易理解，易计算；缺

点是：欠精细，缺少某些优良性质.欠精细是相对极大似然

估计而言的，详见后文.缺少某些优良性质，是指在使用最

22

小二乘估计方法时，还需要条件E(yt)<oo,才具有相合性,

然而此条件对ARCH模型而言，太强了.此外，使用最小二

乘估计方法时，不能保证估计a*=(XtX)」X，Y的每个分量都

是非负的，尽管其真值都是非负的.当然，对其它估计也存

在同样的问题.

在此顺便指出，为了保证估计的每个分量都是非负的,

文献中有如下方法可用，即求如下的最小值问题的解，

n2222

min{Zt=2(yt-ao-aiyt-i-a2yt.2-...-apyt-P)：

ao>O,ai>O,...,ap>O;(人之佻间山/也山』-…叫山丁)之0}

=Et=2n(yt2-ao+-ai+yt-i2-•••-ap+yt-p2)2,(2.9)

取估计a*=(a0+,aj,…,ap»。这里叙述此方法的目的有三点

可言，其一，这是最有效的保证估计的分量都是非负的;其二,

有多种方法可获得ARCH模型系数的估计;其三，除了最小二

乘估计，都不易计算，比如(2.9)式的求解问题，就是典型的优

化求解问题，其计算的复杂性可想而知.

2.2.2.极大似然估计

对于序列yi,y2,…,yn,如果它们的联合分布的形式已知,

其中只有有限个参数未知，那么，寻求合适的参数值，使得

其分布在这些观测值…,y0处达到最大值，称其为极大

概率估计方法.其合理性是不言而喻的.相对其它方法，可

算是精细些.当然，其前提是联合分布的形式已知的.进而

言之，如果已知联合分布密度函数时，使用上述的极大概率

估计方法，应改为寻求合适的参数值，使得其分布密度函数

在这些观测值yi,y2,...,y„处达到最大值，称其为极大概率密

度估计方法.此情况有更广的应用背景，ARCH模型数估计

就属于此情况.再进一步，如果已知联合分布密度函数呈现

指数形式，改为寻求合适的参数值，使得其分布密度函数的

对数函数(此函数被称为似然函数)，在这些观测值yi,y2,...,yn

处达到极大值，称其为极大似然估计方法.用极大化似然函

数代替分布密度函数，只是讨论和应用时有方便之处，并无

本质区别.极大化似然方法是统计学中熟知的，重要的方法.

依上所述，使用极大似然估计方法，有两个关键步骤:

一是，找出y1,y2,…,yn的联合分布密度函数，它仅依赖有限

个未知参数，由此易得其似然函数；二是，寻找使似然函数

达到极大值的参数，即参数的极大似然估计.一般说来，第

一步仅是细心的推理，第二步是精心的计算，而且常常要使

用近似的迭代算法.以下介绍ARCH模型参数的极大似然

估计，就要对此两步作具体叙述.

第一步：根据ARCH模型的假定，再使用条件概率密

度的公式可得知,yi,y2,...,yn的联合分布密度函数

f(yi,y2,・・・,yn)=f(Y),丫=。1,丫如..,丫),

有以下表达式

f(Y)=f(yi,y2,...,yn)

=f(yniyi，y2,…，yQKyiM，…，y%i)(依条件密度公式)

1/22

=(27ihn)-exp{-yn/2hn}f(yi,y2,...,yn.i)

(依(L5)式和q~N(0,1),且如与{yn』,y>2,…}独立)

二(cto+aiyn-i+...+otpyn.p)

222

xexp{-yn/2(a0+aiyn.1+...+apyn.p)f(yby2,.•.,yn-i)

(依(1.6)式)

n))

t=p+i(ctfl+aiyt-i+...+ay.p)'exp{-y/2(a+aiy.i+...+ayt.)}

nptt0tpp

(np)/2

xf(yi,y2,...,yP)(27r)-'.(依反复递推)(2.10)

记其对数函数为

L(a)=logf(yby2,...,yn)

n,+22222

=-(l/2)Zt=p+i{og(aoaiyt-i+...+apyt.p)+yt/(ao+aiyt.i+...+apyt.p)}

(np)/2

+logf(y1,y2,...,yP)+Iog(27r)--.(2.11)

忽略上式中的常数项和常数因子-(172),再记

n

l(a)=Zt=P+ilt(a)-logf(yi,y2,…,yp),(2.12)

其中

22222

lt(a)={log(ao+aiyt-i+...+apyt.p)+yt/(ao+aiyt.i+...+apyt.p)}.

显然,1(a)与L(a)只相差常数加项，所以，求解L(a)的最大值

解，等价于求解1(a)的最小值解.以后我们总是考虑后者.

在上述诸式中，f(yi,y2,…,yp)是yi,y如..,yp的联合分布密度函

数，为了使用极大似然估计方法，也应当将它表达成依赖于

yi,y2,…,yp和…,ap的明确形式.这不是一件容易的事情!

仅以P=1为例，即可说明其难点所在.此时只须求出y0和yi

所满足的共同的分布密度数，并使得它们满足关系式

yi=(CQ)+otiyo2)1/2£b£t~N(0,1),且7与yo独立.

此问题看似简单，但是很难解答.举此例的目的，还在于提

请注意，当a~N(0,1)时，由它驱动生成的平稳AR序列也是

正态分布的，但是，由它驱动生成的平稳ARCH序列不是正

态分布的.因为，在AR模型中，生以加项形式出现，在

ARCH模型中，q以乘积因子形式出现(见(L5)式).然而，在

(2.10)式中，人们容易误以为f(y1,y2,…,yn)是正态分布的连乘

积形式，所以它是多元正态密度.其实，因子f(yi,y2,...,yp)不

是正态的密度函数(这一点容易被忽视)，所以f(yi,y2,…,yj

也不是正态的.

第二步：寻求极大似然估计，就是寻求使(2.11)式中

L(a)取最大值的a,等价于寻求使(2.12)式中1(a)取最小值的

a.很明显，此极大似然估计没有如同(2.8)式的显示表达式，

于是只能寻找近似的数值解法.由于1(a)有很好的解性质，

求(2.12)式中1(a)的最小值，可求Al(a)/aa=O的解.即使如此,

也还很难求解.进一步还要使用其它近似手段，即将未知项

logf(yi,y2,.-.?yP)

从(2.12)式中忽略掉，寻求

n

Zt=p+1ait(a)/aa=O(2.13)

的解，其中

ait(a)/aa=aiog(ao+aiyt「+…+apyt-p2)/aa

222

+5{yt/(ao+aiyt-i+...+apyt.p))/5a.(2.14)

请注意，ait(a)/3a是向量，所以(2.13)式是(p+D元代数方程组,

利用(2.14)式很容易求得砥⑹/布的表达式，而且砥(a)/3a

有很简单的形式，但是，它是非线性的，所以(2.13)式是(p+1)

元非线性代数方程组.求(2.13)式的数值解法，是计算数学

中的简单问题，即可使用已有的软件，亦可自行编程计算，

这里从略.

2.3.GARCH模型的参数估计

2.3.1.极大似然估计

在这一小节，先介绍极大似然估计，因为这与前面联系

紧密.如前所述，GARCH模型的参数估计，要比ARCH模

型复杂.其复杂性表现在：GARCH模型的参数估计不仅没

有显示的表达式，而且，其似然函数也没有显示的表达式,

只有迭代计算公式.这一特点，对求解极大似然估计的算法,

不带来实质困难，但是在叙述它时，会繁琐些.

现在叙述GARCH模型似然函数.仿照(2.10)式可得

f(Y)=f(yi,y2,...,yn)

=f(yiJyn-l，”，yn-p；hn.q+i)f(yn.i,..,yn.pjhn,...9hn.q+j)

=

(2兀hn)exp{~yn/2hn}f(yn-l,”,yn-p；hn.q+i)

n1/22

=nt=i(27iht)'exp{-yt/2ht}f(y0,..,y-P+i；h,q+2).

(2.15)

仿照(2.12)式又有

n

l(0)=Zt=P+ilt(0)+logf(y0,..,y-P+i；%,...,h.q+2),(2.16)

其中

2

lt(6)=loght+yt/ht,

e=(a0,ai,...,cip；Bi,...,0q)•

再仿照(2.13)式和(2.14)式，在求解GARCH模型参数的极大

似然估计时，近似为求解如下的方程组之解，即

n

Zt=P+iait(6)/50=0(2.17)

的解，其中

2

ait(e)/ao=aioght/ae+a(yt/ht)/ao

42

=ht（aht/a0）（l-yt/ht）.（2.18）

在以上各式中，虽然都是明确的表达式，但是，（dh/朋）尚未

被表达出来，实际上无法用显式表达它.幸运的是，它有递

推关系式可利用.在设计求解方程（2.17）式时，有递推关系

式也足够了.记

Zt=（l,yt-i,Yt-2，…，Yt-p；ht”,11卜2,…，hjq）,

于是可得出（Sh/8。）的递推关系式如下

q

5ht/ao=zt+zk=1pk（aht.k/a0）.（2.19）

虽然有（2.19）式可用，但是，此迭代公式的初始值

西/38,而阳仇...,dh.q+2/do

仍然未有明显表达式.在实际应用时，常用零值作为它们的

近似值使用，于是可求得近似的极大似然估计值.当然，求

解过程又常用迭代算法，这里从略.

2.3.2.最小二乘估计

对GARCH模型参数使用最小二乘估计方法，也同样遇

到像极大似然估计类似的麻烦.在此，我们推荐使用平稳的

ARMA模型参数的矩估计方法.细节可参看有关著作.尽管

如此，当q值较大时，其算法也不比极大似然估计更方便.

所以，最多使用的仍是极大似然估计方法.

3.模型检验

根据观测数据yi,y2,...,yn,判断所要拟合的模型是否适

用，称为模型检验.在为数据1,丫2,…,yn建立模型时，一般都

应当进行模型检验.对于GARCH模型也不例外.所谓模型

检验，有在建立模型前进行的，有在之后进行的.对于

GARCH模型来说，在为数据yi,y2,…,yn建立GARCH模型

前，首先应当判断有没有必要.如前言所说到，平稳序列的

条件方差S(yt,y』...)可能是常数值，此时就不必建立

GARCH模型.于是判断条件方差S(yt,yt」,…)是否为常数,

就应当在建模前完成.即使经判断后，条件方差不是常数,

它也未必满足GARCH模型.然而目前GARCH模型是比较

熟知的条件异方差模型，所以常用它来近似拟合观测数据.

那么，在建模后还应当对所得到的模型进行检验，以判断其

是否可接受.在建模前和后所进行的模型检验，其方法不一

定相同.建模后使用的模型检验方法，还可作为确定

GARCH模型阶数的辅助手段.以下分别介绍.

3.1.条件异方差性检验

在这一小节里，我们仍考虑｛yj为鞅差序列的情况，也

就是(0.12)式中的6y7,ytz…)=0的情况，即

yt=s(yt』,yt-2,…)仇,(3.1)

其中｛仇｝为标准化的鞅差序列，即

E®iyt-i,yt-2,…)=0,E&lyt-i,yt-2,…)=L

考查(3.1)式两边平方的模型

222

yt=s(yt.byt-2v-)£t,

当S(y』yt.2,…)为常数时，不妨记为d即

22

E{ytlyt.byt-2v-}=S(yt.i,yt-2,...)=(3.2)

此时(3.1)式可写成

222

yt=o£t.(3.3)

于是又有

2222

yt-Q=Q(£t-l).(3.4)

此时我们还发现

222222

E{(yt-CT)lyt-i,yt.2v..}=E{ytlyM,yt.2,...}-CT=CT-O=0,

这说明{yt2PB也是鞅差序列.还容易看出，如果{M}是任意

22

一个鞅差序列，且Eyt=c,也2pB未必是鞅差序列.但是从

上式不难看到，当且仅当(3.2