浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2022年11月）数学学科

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2022年11月）数学学科

一、选择题

1.若集合〃={x|log2%<l}，N={x|2x-l<0},则MP|N=()

A.{x\x<2}

，,1,

B.[x\x<-}

C.{x|O<x<2}

D.{x|0<x<；}

答案：

D

解析：

：M={x|log2x<1}={x10<x<2},N={x|x<g},

.,.MnN={x[0<x<g}.故选D.

2.若(1—7)(1—z)=l,则z的虚部为()

1

A.-

2

B.—i

2

1

C.

2

D,显

2

答案：

C

解析:

,1,1+i,1+i11.1

■->z=1-"—:=1-7,—――-=1——=---z的虚部为一二.故选C.

l-i(l-z)(l+z)2222

3.已知向量B满足|£|=1,y―2引=",<2范〉=150。,则⑸=()

A.2

B.6

C.1

D.此

2

答案：

D

解析：

|£-2引=".•.㈤2-4㈤.|B|cos〈痴>+4㈤2=7,

即1—4|引cosl5(T+4㈤2=7,.•.|引=走.故选D.

2

4.己知数列｛4｝是等差数列，前〃项和为凡，则“2S“+I<S“+S“+2”是“数列｛S“｝为单调递增数列”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：

D

解析：

1,*2s"+]<S=+Sn+2,Sn+l—Sn<Sn+2—Sn+l,即an+l<an+2,所以d>0,a3>a2,但％不确定,所以不

充分，反之，数列｛5〃｝为单调递增数列，5“=g〃2+(弓—：|泣.如果公差1=0,首项q〉0是递增，所

以不能推出2S„+1＜Sn+Sn+2.故选D.

5.如图，一个底面半径为R的圆柱被其底面所在平面的夹角为6（0°＜。＜90°）的平面所截，截面是一个椭

圆.当。为30。时，这个椭圆的离心率为（）

1

A.-

2

石

DR.--------

2

答案：

A

解析：

设椭圆的长半轴长为。，短半轴长为b,半焦距为。，

根据题意得，2b=2R,2a=2R

cos3003

c=yjcr-b2=.I3R2—R2=R,...椭圆的离心率为e=f=工.故选A.

V33a2

6.函数/（犬）=犬2+%+〃（〃＞o）,且/（刈）＜0,则（）

A./（m+l）＞0

B./(m+l)<0

C./(m+l)>0

D./(m+1)<0

答案：

C

解析：

由条件a>0知/(O)=a>0,

又/(x)图象的对称轴是》=一工，知/(-1)=。>0,又/O)<。知加>一1,

2

于是加+1>O,/(x)在［―上递增，于是/(m+1)>/(0)>0.故选C.

7.第二十二届世界杯足球赛将于2022年H月20日在卡塔尔矩形，东道主卡塔尔与厄瓜多尔，塞内加尔，

荷兰分在A组进行单循环小组赛(每两队只进行一场比赛)，每场小组赛结果相互独立.已知东道主卡塔尔

与厄瓜多尔，塞内加尔，荷兰比赛获胜的概率分别为乃，P2,。3,且。1〉“2〉。3>0・记卡塔尔连胜两

场的概率为P,则()

A.卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，P最大

B.卡塔尔在第二场与塞内加尔比赛，P最大

C.卡塔尔在第二场与荷兰比赛，P最大

D.P与主卡塔尔与厄瓜多尔，塞内加尔，荷兰的比赛次序无关

答案：

A

解析：

设事件E表示卡塔尔连胜两场，A表示卡塔尔连胜两场输一场，5表示卡塔尔连胜三场，则E=AU3,

由A与5互斥，知P(AU5)=P(A)+P(5),设&表示卡塔尔与厄瓜多尔比赛获胜，人表示卡塔尔与塞

内加尔比赛获胜，人3表示卡塔尔与荷兰比赛获胜，则尸(8)=尸(AAA)=尸(4)P(A)P(A)=PiP2P3与

比赛顺序无关，于是只需考虑P(A),当第二场与厄瓜多尔比赛

P(A)=P(4AAUAAAUAA4UAA4)

=P2P1P3+P2Plp3+P3Plp2+P3P=2Pi(P3P2+。2P3)=2。1。3+2。口2-4。］22P3，

同理可知，当第二场与塞内加尔比赛尸(A)=2p2Pi+2P2P3-4「出2P3，当第二场与荷兰比赛

尸(A)=2p3Pl+2。3。2-4。1。2。3，

由条件Pl〉。2＞。3〉0知卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，P最大，故选A.

8.如图，在四棱锥中尸-A3CD中，底面ABCD是矩形，侧面？AD是等腰直角三角形，平面平

面A3CD,AD=2,AB=AP=①,当棱PC上一动点闻到直线的距离最小时，过A,D,M

做截面交PB于点N,则四棱锥P-AOMN的体积是()

472

A.

27

R也

D.----

4

c1°6

,27

/

16

答案:

B

解析:

过点尸作POLAD,垂足为。，过点。作OELA。，垂足为。，如图建系。—孙z,

设”(x,y,z),A(1,O,O),P(O,O,1),£>(-1,0,0),3(1,71,0),C(-l,V2,0),PM=APC

(”z—1)=(—九衣I,—2)，于是M(—尢岳,1—4),

IW-^BD|_|(-2,-V2,0)(1-2,722,1-2)|_V6

I砌="+&=T

于是点以到直线BD的距离d=J加7-|=2^(2-1)I2+^，

当X=工时点河到直线BD的距离最小，

2

易知MN//AD,于是AQMN为梯形，

x=0,

设平面ADMN的法向量为n=(x,y,z),L+受y+L

=0

122-2

|PA-n|瓜

令y=i解得I=(o,i尸伪,点P到平面ADMN的距离h=

\n\3

DMAD\(-2,0,0)1：，等，：

J,点”到直线AD的距离九=JDM|2—,

2V42

AD2

V，义显义色文旦=呈,故选B.

33224

二、多选题

9.已知/(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果/(%)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且

/(x)之g(x),那么下列情形可能出现的是()

A.0是y(x)的极大值,也是g(x)的极大值

B.0是/(%)的极小值,也是g(x)的极小值

C.0是y(x)的极大值,但不是g(x)得极值

D.。是y(x)的极小值,但不是g(x)的极值

答案：

A、B、D

解析：

对于A：f(x)=—x2,g(x)=-2x2,此时A正确

对于B：/(>)=2必，g(x)=f,此时B正确；对于C：。是/(%)的极大值，但不是g(x)得极值，g(x)

在0的附近必存在与,使得g(x0)>/(%),故C错误；

,,、x2,x>0,

对于D：/(x)=2x,g(x)=<,D正确；.故选ABD.

-x,x<0,

jrJr

10.函数/(%)=251113%+9)(a>>0,»<夕<])，则/(x)在区间(0,万)内可能()

A.单调递增

B.单调递减

C.有最小值，无最大值

D.有最大值，无最小值

答案：

B、C

解析:

.,TC.TTTTTC

令〃=GX+/£(°,万口+0)，因为G>0,—<(p<兀，当/<一CD+(pG—时，/(%)在区间(0,1)内

2222

37r7T57r4

无罪之，且单调递减，故A错误，B正确；当——<—+—时，/(x)在区间(0,一)内有最小值,

2222

'nTT7T

无最大值，C正确；当<万。+0时/（X）在区间（0,耳）内有最小值，有最大值，D错误；故选BC.

11.易知。为坐标原点，抛物线C：产=2.M?>0）的焦点/为（1,0）,过点"（3,2）的直线/交抛物线C

于A,8两点，点尸为抛物线。上的动点，则（）

A.IPM|+1PF|的最小值为2四

B.C的准线方程为*=一1

C.OAOB>-4

D.当抄///时，点尸到直线/的距离的最大值为2点

答案：

B、C、D

解析：

由题知3=1,即P=2,抛物线C:y2=4x,作出准线X=—1,故B正确；

2

过尸作准线的垂线，垂足为6,则|PF|=|P《I,

PM\+\PF\=\PM\+\PPX|>|^,|=4,即|PM|+|Pb|的最小值为4,故A错误；设A(XQJ,

5(%2，%)，x=m(y-2)+3,

x=my+3-2m2“二"0[%%=4(2加-3),

,2_4my-4(3-2m)=0,\,

y=4x,[%+%=4机，

所以丽•无=+%乃=(%为)一+%%=4(2"L3)(4(2相_3)+16)=(2m__42—4,故C正确;

1616

当比/〃时，点尸到直线/的距离即为b到/的距离，即"=1=2.

%?+2t+2

取最大值时，t^O,即"=21,1

2(-)2+2(-)+1

当且仅当』=一!，即，=—2时取等号.故D正确；故选BCD.

t2

12.对一列整数，约定：输入第一个整数%,只显示不计数，接着输入整数电,只显示1q一的结果，此

后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为P.

若将从1到2022的2022个整数随机地输入，则（）

A.P的最小值为0

B.P的最小值为1

C.P的最大值为2020

D.P的最大值为2021

答案：

B、D

解析：

按照1，2021,2020,2019,…，3,2，2022顺序输入，则得。的最大值2021,按照2022,2021,

2020,…，3,2,1顺序输入，则得P的值为1，由于在1至IJ2022的2022个整数中，有1011个偶数，10H

个奇数，根据整数的奇偶性的性质可知这些数之间的加减的结果不可能为0,所以1是P的最小值，故选

BD.

、填空题

13.在(工-石)9的展开式中常数项为.(用数字作答)

X

答案：

84

解析：

1.-—r-93

因为通项公式为&i=C；(39f(_«)。=碣(_1)42,令彳一9=0,解得r=6,所以常数项为

x2

4=84,故填84.

14.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成

就.其中卷五“商功”中记载“今有鳖腌下广两尺，无袤；上袤四尺，无广；高三尺”.即“现有四面都是

直角三角形的三棱锥，底宽2尺而长，上底长4尺而无宽，高3尺”，即有一“鳖席”(四面体ABCD),

已知AB=2，CD=4,BC=3,ZACD=ZBCD=ZABC=ZABD=90°,则此四面体ABC。外接

球的表面积是.

答案：

29万

解析：

外接球的直径为AD=A/22+32+42=729，

所以外接球的表面积为5=A。?»=29〃，故填29".

15.我们知道，函数y=/(%)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(%)为奇函数，

有同学发现可以将其推广为：函数y=于(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)-b为奇函数，则/(x)=_?一3好图像的对称中心为.

答案：

(1,-2)

解析：

/(%+«)-&=(%+a)3-3(x+af-b,奇函数中不含有一和常数项，2a和^+3/—人即

3a=3,tz—■1,

得・<b=-2,.故填：。'一2)・

a3-3a2-b=0,,

16.己知圆C:(x—2)2+/=4,线段所在直线/:y=x+l上运动，点P为线段所上任意一点，若圆。

上存在两点A,B,使得丽.而40，则线段石尸长度的最大值是.

答案：

V14

解析：

由题可知：从尸引圆两条切线，切点为A,B,

则NCQ4=NCPfi之45°,即sin/CPA=生=:一2也，则PCW20，

PCPC2一

设P(m,m+1),则pc=7(m-2)2+(m+l)2<2应得：2m2-2/n-3<0.

22

则叫+加2=1，,£F<Vl+1\n\—m2|=42^(^+m2)—=V2xV7=V14»故填

V14.

四、解答题

17.已知数列｛〃〃｝满足。i=1,%=4.有以下三个条件：①。=44-4Q〃T(〃之2,neN*);②

2

“。用=2(〃+1)。〃；③。+&+&+…+&=2L±Zl(“eN*).

1242"一2

从上述三个条件中任选一个条件，求数列｛4｝的通项公式和前〃项和5“.

答案：

见解析

解析：

选①：由。“+i=4a“-4a“_i("22,neN*)，得。用一2。〃=2(a〃-2a,i),故｛。，用一2。“｝是公比为2

的等比数列，

则4+「24=(出一2%)2〃7=2〃，即篝—黑=；，故｛墨｝是公差为;的等差数列，则

^=l+(n-l)l=ln,即a“=〃」2'i.

2"222"

2(〃+1)

选②：由〃4+1=2(〃+1)%得---二

ann

故区,也…&=22£.2.(〃-1)2-2化简得今=也〃\即

%an-2ai«-1”21

选③：由q+&+%+…+&=工^(1),得

1242”T2

当,之2时，+&+%+…+W=ST-+〃T,(2)

1242"-22

由(1)-(2)得&=〃，故

2

12123

因此，Sn=l-2°+2-2+3-2+..-+n-2"-,2S„=l-2*+2-2+3-2+••■+«-2",

两式相减得nS"=2°+2i+22+…+2"T一刀―2”,

1-2"

化简得邑=-------+n-2"=(n-V)-2"+1.

“1-2

JIJI

18.已知函数/(%)=-sin(2%----)+cos(x+—).

66

77-1

⑴若cos(x+一)=一一，求/(%)的值；

62

(2)若在锐角AABC中，角4,B，。所对的边分别为。，b,c,已知/(A)=—1,a=6求AA5C

的周长的取值范围.

答案：

见解析

解析：

(1)解析1：由

冗TCTCTCTC

/(x)=-sin(2x---)+cos(x+—)=一sin(2xH--------)+cos(xH——)

66326

儿儿2JL，〃

=cos(2xH■一)+cos(xH■一)=2cos(xd——)-1+cos(xH——).

3666

因为cos。+工)=一工，故/(x)=2x(-—)2-1--=-l.

6222

JT1Jr27C271

解析2:法二：因为COS(%H——)=——,故——=——+2左1或——71+lk7i,即%=一+2左〃或

626332

——万+Ikji,故/(X)=/(——F2左；r)=-sin(〃+4左％---)+cos(——F2k兀H■一)=-sin----sin—=一1或

6262666

——7i+2kji=-sin——----+cos——乃+2左》+—=-sin------sin—=-1.

6J[36[6666

(2)因为

/(A)=-sin(2AH——)+cos(AH——)=-sin(2AH--------)+cos(AH——)

66326

—cos(/2CAAd——n、)+cos(zA4d——冗、)=2ccos2/(AAd——兀、)-11+cos(/A4H——几、)

3666

而f(A)=-l,即2cos2(A+—)-1+cos(A+—)=-1,

66

7T7E\TCTC

故cos(A+—)=0或cos(A+—)=——,则A=—或A=—(舍去).

66232

chCL

由正弦定理得-----=-----=-----=2,故Z?=2siiijB,c=2sinC.

sinCsinBsinA

周长/=a+b+c=A/3+2(sinB+sinC)=y/3+2[sinB+sin(B+A)]=A/3+2Gsin(B+—).因为

6

AABC为锐角三角形，则Be(工,工),

62

所以sin(3+W)e(/1]，/e(73+3,373].

19.在四棱锥P—ABCD中，AD=2AB=2BC=4,AD//BC,ZBAD=120%AB±PC.

p

BC

(1)求证：PA=PB；

(2)若平面平面A3CD,二面角3—0C—A的余弦值为g,求直线DP与平面PBC所成角的正

弦值.

答案：

见解析

解析：

(1)如图所示，取A3的中点。，连接OP,0C,

依题意可知，AB=BC,AD//BC,ZBAD=120°,

故NABC=60°,AABC为正三角形，AABLOC,

又ABLPC,OCC\PC=C,PCu平面POC,OCu平面POC,.•.回1_平面POC,又尸Ou平

面POC,：.AB±PO,：.PA=PB.

(2)依题意平面R1B_L平面ABCD,由(1)可知PO_LA3,则PO_L平面ABCD,故以前，OC>

而为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设OP=2,则8(1,0,0),A(-l,0,0),

C(0,百,0),P(0,0,2),

.,"=(-1,6,0),丽=(-1,0,㈤，•二(1,6,0),AP=(l,0,2),

设平面BPC的一个法向量m=(x,y,z),

BCm=0,—x+^/3y—0,「3

由＜一一可得<..，令y=6,则x=3,z=—

BPm=。,-x+2z=0,2

m=(3,A4)，同理可得平面PAC的法向量5=(3,-A-4)，

AA

—•■一IZ77,77I1«—i—

依题意可知，|cos<加，“〉|=I一」=一,解得;1=若，即OP=J^.

\m\\n\5

即平面BPC的法向量而=(3,J3,、5)，丽=(—3,26,-G),故直线DP与平面PBC所成角的正弦值

M•五|_|-9+6-31M

sin3=|cos<DP,m>\\=

\DP\\m\~V15-V24-10

20.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取

分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数

频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.

(1)求。的值，并估计该校学生分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)现采用分层抽样的方式从分数落在[550,650),[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中

随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X,求X的分布列及数学

期望;

(3)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，请判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选

手”与“性别”有关？(参考公式：片=诉£谭^'其中麻c+入

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

答案：

见解析

解析：

(1)由题易知100x(0.0015+4+0.0025+0.0015+0.001)=1,解得。=0.0035,

样本平均数为元=500x0.15+600x0.35+700x0.25+800x0.15+900x0.10=670.

(2)由题意，从［550,650)中抽取7人，从［750,850)中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0,1,

2,3,P(X=k)=^-k,1,2,3),

do

所以随机变量X的分布列为

X0123

3563211

p

120120120120

随机变量X的数学期望石(X)=0x12+lx反+2X2+3XL=2

12012012012010

(3)由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的25人，其中女生10人，得出以下2x2

列联表:

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计

男生152540

女生105060

合计2575100

Sn(ad—bc¥100(10x25—15x50)250.

K=-----------------------=-------------------=—e5.556＞5.024,

(a+b)(c+d)(〃+c)S+d)25x75x40x609

所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关.

22

21.已知双曲线E:二—1=1(。＞0,b＞0)的左焦点厂为(―2,0),点M(3,J5)是双曲线E上的一

a~b"

点.

(1)求双曲线E的方程；

(2)已知过坐标原点且斜率为左(左＞0)的直线/交E于A,6两点.连接£4交E于另一点C,连接EB交

E于另一点。，若直线经过点N(0,-1),求直线/的斜率左.

答案：

见解析

解析：

(1)易知c=2,2,=J(3+2)2+(0—0)2—J(3—21+(0一Of=26，故。=退，匕=1.故双曲

线E的标准方程土-y2=1.

3-

(2)解析1：令A为(苞，％),则5为(一%,-%),

%,+2—x,+2

直线E4为x=7盯一2(«=--),直线£8为了=融一2("=—!—

x=my-2

=>(m2—3)y2—4my+1=0,

由＜X22]

----V=1

13'

11

.——12+7X]

同理可得,Xd~7-4%]

:直线CD经过点N（0,—1）,则。，D，N三点共线，即函//丽,

...-12+7X]（%T2-7X]-%+]）

则有》》（九+D=%（%+1）•+1）=

••7—4%i7+4玉7+4再7-4%

化简得，（一12+7%）（弘+7+4为）=（―12—7玉）（—y+7—4%［）,

.%1

即12%=西，故左=一=不.

解析2：令A为（再，m），则8为（一七,一乂），

x.+2—x,+2

直线E4为x=—2（机=」一）,直线£8为了="〉—2（"=—!—）,

%f

V_2=i

由＜3''=＞（疗-3）/-42y+l=0

x=my-2,

_1_11

侍m-3（9y_3,即孔一%（疗一3）一x；+4.+4—3yr

%

y-y

•••石92_3%29=3,>c=7,，同理可得，••.%）=尸七.

7+4工[7-4X]

令直线CD为x=Ky+1）,

Y2=]

由<3y_'n（产-3）y2+2/2y+/2一3=0,则%•为=1，

、x=«y+l）,

即,b4=1，化简得短=16x；-49,

7+4%17-

99914491耳1

：xj_3%-=3,解得xj=弁，y；=—,故左=

4747Vxl12

22.已知函数/(x)=lnx-ax2(a〉0).

(1)当。=’时，求y=13的极值；

2ex

(2)若111%-双2«乐恒成立，求a+2Z?的最小值.

答案：

见解析

解析：

V2Y2

1Inr--