2023届安徽省定远县民族私立高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,阿波罗尼斯（约公元前262790年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数%（%>（）,%。1）的点的轨

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,8的距离之比为之，当P,A,

2

8不共线时，APA3的面积的最大值是（）

2^/2

A.2V2B.V2C.D.显

33

1

2.已知角a的终边经过点（3,-4），则sina+----=

cosa

37

A.-B.—

515

3713

C.D.—

2015

3.已知双曲线C：—-/=1,尼为其左、右焦点，直线/过右焦点入，与双曲线。的右支交于A,B两点,

4.

且点A在x轴上方，若|A6|=3忸月则直线/的斜率为（）

A.1B.-2C.-1D.2

4.设集合U=R（R为实数集），A={x|x>0},B={x|x>l},则4口「方=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<l}C.D.{%|x>0}

r2,.2

5.已知双曲线C：r-Z=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，F2,点P是C的右支上一点，连接2月与y轴交于

ab~

点M,若忻O|=2|OM|（。为坐标原点），PF.LPF29则双曲线。的渐近线方程为（）

A.y=±3xB.y=±y/3xC.y=i2xD.y=±A/2X

1-/

6.已知复数z=P（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

<3c3n（31）（3n

A*B・「wjC（不"D.1一《$

7.已知函数〃力=坐，若关于x的方程"（x）F-可.（无）+：=0有4个不同的实数根，则实数机的取值范围为

x8

（）

A.媚B.崂）C.（^,|）D.（冬1）

8.已知函数/（x）=lnx,g（x）=（2〃z+3）x+〃，若对任意的xe（O,+»）总有/（x）Wg（x）恒成立，记（2m+3）〃

的最小值为./1（，〃,〃），则/（根,〃）最大值为（）

111

A.1B.—C.—-D.―『

ee~\1e

9.已知双曲线二-V=i的一条渐近线方程是y=走X，则双曲线的离心率为（）

a3

A百R指「百n2百

A.15•L・-------LJ•---------

3323

10.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务

巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有

A.72种B.36种C.24种D.18种

11.已知集合4={-2,-1,0,1},B={x\x2<a2,a^Nx],若A=则。的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

22

12.已知双曲线。：\-与=1（。〉0/>0）的左、右焦点分别为耳、工，抛物线丁=2内（〃>0）与双曲线c有相

a

同的焦点.设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且COS/P耳鸟=]，则双曲线C的离心率为（）

A.0或由B.0或3C.2或百D.2或3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.若双曲线二-二=1（。>0力>0）的两条渐近线斜率分别为K，h，若左色=-3,则该双曲线的离心率为_____.

a'b~

14.已知{q,}是等比数列，且为>0,。2%+2%%+。4%=25,则%+%=，%的最大值为.

15.已知二面角a-l-口为60°,在其内部取点A,在半平面a,p内分别取点B,C.若点A到棱/的距离为1,则4ABC

的周长的最小值为.

X>1,

16.若变量X,y满足约束条件yNx,贝1」2=2工+)，的最大值是.

3x+2y<15,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知｛%｝,｛"｝均为正项数列，其前"项和分别为S“，T”，且《=；,4=1,么=2,当〃22,〃eN*

时,S“T=1—2a“，bn=-^~--2Tn_x.

&I+4T

(D求数列｛0“｝,｛a｝的通项公式；

(/?„+2)。”

(2)设％=Q+J，求数列｛c,｝的前〃项和「"•

18.(12分)已知函数/(x)=x-3|+|x—l].

(1)若不等式/(x)<x+m有解，求实数机的取值范围；

(2)函数/(x)的最小值为"，若正实数a,b,c满足。+匕+。=〃，证明：4ab+bc+ac>Sabc.

19.(12分)已知/(x)=xlnx与>有两个不同的交点AB,其横坐标分别为不々(王<马).

(1)求实数。的取值范围；

小、4、~r13Q+2+C3

(2)求证：ae-^-\<x2-x]<-----------

20.(12分)设函数/(x)=k+a|+k-l|(aeH).

(1)当a=l时，求不等式/(x)N4的解集；

(2)若对任意xeR都有/(x)N2,求实数"的取值范围.

21.(12分)已知数列｛a.｝是公比为正数的等比数列，其前〃项和为S“，满足4=2,且%，2S2,%成等差数列.

(1)求｛可｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足优=地2。"，求"一必+公一行+公一年+…+心-编o的值.

221

22.(10分)已知椭圆。：「+与=1(。>方>0)的离心率为工，直线-6=0过椭圆C的右焦点尸,过尸的

a-b-2

直线加交椭圆C于M,N两点(均异于左、右顶点).

(1)求椭圆C的方程;

（2）已知直线/:x=4,A为椭圆C的右顶点.若直线AM交/于点P,直线AN交/于点Q,试判断（乔+卫）•丽

是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为在，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

合求解.

【详解】

如图所示:

、/、/、/、J（x+］：+y272

设A（—1,0）,B（l,0）,P（x,y）,则i一，=下-，

J（x-1）”22

化简得（x+3）?+y2=8,

当点P到AB（x轴）距离最大时，的面积最大，

AR4B面积的最大值是，x2x2收=2五.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

2.D

【解析】

因为角a的终边经过点（3,-4）,所以尸="+（-4丫=5,则sine=—g,cosa=1,

113

即sincr+------——.故选D.

cosa15

3.D

【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得=36反设直线1的方程x=my+石，m>0,设A（3,yJ,3（4,%），即yi=-3y2①,

联立直线1与曲线C,得yi+y2=-¥"②，y»2=-4—③，求出m的值即可求出直线的斜率.

〃厂-4机~-4

【详解】

2

双曲线C：---y2=1,Fl,F2为左、右焦点，则F2（石，0）,设直线1的方程x=my+百，m>0,•双曲线的渐

4

近线方程为x=±2y，二m#2,

设A（xi,yD,B（X2,y2）,且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,...福=3孽，.“1=-3y2①

由｛：—〃？+"，得（加2_44+26„），+]=0

227

x-4y-4=01

，△=（2石m）2-4（H12-4）>0,即m2+4>0恒成立，

.5+yk一普②'.2=二③'

联立®®得一联立①③得_3£=^^<0,

m>0,解得：m=-,直线/的斜率为2,

2

故选D.

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题.

4.A

【解析】

根据集合交集与补集运算，即可求得AnQ.fi.

【详解】

集合U=R,A={x|x>O},B={x|d}

所以Q6={X|X<1}

所以AcQ8={x|x)0}c{x|x<1}={x[O<x<1}

故选:A

【点睛】

本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.

5.C

【解析】

利用三角形AOM片与△巴资相似得|。耳|=2归耳，结合双曲线的定义求得a*,c的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设甲-c,0),F2(C,0),

由I40=21OM|,AOMFt与APF]相似，

所以山。能I=|局P川=2,即,冏,=2|,,

又因为|尸耳|-忸马|=为，

所以|P周=4a,|P闻=2a,

所以4c2=16/+4/,即(？=5。2,/=4/，

所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

6.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z的坐标得出答案.

【详解】

催”—=(1)(2+,)、，

2-z(2-z)(2+z)55

3」

Z在复平面内对应的点的坐标是5，-5

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

7.C

【解析】

求导，先求出“X)在xe(0,五)单增，在xe(«,+8)单减，且/。人=/(如=g知设/⑶=，，则方程

,1

[/(%)]2一〃以乃+7=0有4个不同的实数根等价于方程

8

)11

t2=0在(0,7)上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.

【详解】

依题意，、不厂一2送11e(12inx),

令/'(x)=。，解得lnx=；,x=&,故当XG(O,&)时，/'(x)>0,

当xe(8,+8),/,(x)<0,且于(&)=eln五=工,

e2

11

故方程t92-mt+三=0在(0,彳)上有两个不同的实数根，

82

A>0m2-->0

2

\m\

-----+—>0

824

0<fI+弓<

0<7?7<1

卬2>0

解得mG

故选：C.

【点睛】

本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：

(1)构造法：构造函数g(x)(g'(x)易求，g'(x)=O可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数

的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解；

(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端

点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

8.C

【解析】

对任意的xe(O,+。。)总有/(x)Wg(x)恒成立，因为lnx«(2加+3)x+〃，对xe(0,+。。)恒成立，可得2m+3>0,

令y=lnx-(2m+3)x—〃，可得旷=」一(2机+3),结合已知，即可求得答案.

x

【详解】

对任意的xe(0,+oo)总有/(x)Wg(x)恒成立

/.\nx<(2m+y)x+n,对xe(0,+oo)恒成立，

2m+3>0

令y=lnx-(2m+3)jr-n,

可得y'=--(2m+3)

X

令y'=0,得1=-1—

2/”+3

1

当x>y'<0

2m+3

当0<x<--------y'>0

2m+3

I

In-----------1-H<0,2m+3>e''"'

…罚’以2m+3

n

故(2m+3)〃>—=f(m,n)

,­,/(机，〃)=工

e

令^7^=0,得〃

，当“>1时，/'(/〃,〃)<0

当〃<1,f'(m,n)>0

二当〃=1时，=4-

e'

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考

查了分析能力和计算能力，属于难题.

9.D

【解析】

222

双曲线的渐近线方程是y=±^x,所以！=且，即a=6/=l,c=a+b=4，即c=2,e=-=-y/3,

aa3a3

故选D.

10.B

【解析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科

医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可.

【详解】

2名内科医生，每个村一名，有2种方法，

3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1

名护士，

若甲村有1外科,2名护士，则有=3x3=9,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名护士，则有=3X3=9,其余的分到乙村，

则总共的分配方案为2x(9+9)=2xl8=36种，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.

11.B

【解析】

解出x2<分别代入选项中a的值进行验证.

【详解】

解：•.•一〈/,当。=1时,3={—1,0,1},此时Au3不成立.

当。=2时,3={-2,-1,0,1,2},此时A=3成立，符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.

12.D

【解析】

设|尸耳|=机，|P周=〃，根据COSNPKE=T和抛物线性质得出|P用=2根，再根据双曲线性质得出加=7。,

n=5a,最后根据余弦定理列方程得出。、c间的关系，从而可得出离心率.

【详解】

过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为"、N,不妨设旧制=加，|尸闾=〃，

则.周=|PN|=|尸用=|P耳|cosNP4玛=M,

•.•P为双曲线上的点，贝1||尸耳|一归玛|=2。，即，〃一早=2a,得〃z=7a,〃=5a.

,..rn，―।*3549n~+4c~-25cr

又属周=2c,在AP尸再中,由余弦定理可得一=-----------------

72x7ax2c

整理得c?-5ac+6cJ=0,即e2-5e+6=0,Qe>l,解得e=2或e=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

A2A2

由题得斗，=一二=—3,再根据勺=e2-1求解即可.

a'a~

【详解】

双曲线AY2-V当2=1的两条渐近线为y=±h-x,可令占二一h一,幺=h—，则％*2=-h~1=一3,所以h~勺=/一1=3,解得

abaaaaa

e—2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.

5

14.5-

2

【解析】

2

a2a&+2a3a§+=25n+2a3a5+aj=25=>(a3+a5)=25,-.-an>0a3+a5=5

.•.d=%%4(幺爱)2=?"[,即%的最大值为|

15.G

【解析】

作A关于平面a和/?的对称点M,N,交。和/?与。，E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形AOC的周长

为AB+AC+BC=M5+5C+CN,当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解.

【详解】

作A关于平面a和夕的对称点M,N,交a和/?与O,E,

连接MN,AM,AN,DE,

根据对称性三角形A5C的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,

当M,B,C,N共线时，周长最小为MN设平面AOE交/于，0,连接0£>,0E,

显然0D_U,OEJJ,

ZDOE=60°,NMQ4+N4ON=240o,Q4=l,

ZMON=120°,且0M=0N=0A=l,根据余弦定理，

故MM=1+1-2xlxlxCosl20°=3,

故MN=6.

【点睛】

此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解.

16.9

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出z=2x+y的最大值.

【详解】

做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，

目标函数z=2x+y过点A时取得最大值,

y=xx=3

联立解得，即A(3,3),

[3x+2y=15卜=3

所以z=2x+y最大值为9.

故答案为9

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)7,b„=n⑵勺=1一

【解析】

(1)S„_,=l-2a„(n..2),所S,,=1-2《用，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由

,2((一心)戴理俎2(7；-&])(?；+&])2〃(7；+&|)为坦

bn=-T--------2工1=4_T_(n..2),整理得------7-7-------------h—_<+T"-'(〃••2)，得

b“_i+b,in｝d+i+d-id+i+d-i

到%一d=b,「%(«■.2),即可求解通项公式；

(〃+2)12(n+l)-n111,、

(2)由(1)可知，%=^^--,=一'7上/一次=~^F-7一-即可求得数列｛%｝的前〃项和

n+n2"(〃+l)2n-2(n+1)-2

【详解】

(1)因为S“T=l-2a“(〃..2),所S.=l-2a“+1,两式相减，整理得q-=ga“(〃..2),当〃=2时,

S।—q=~--1—2a),解得~~4,

所以数列(«„)是首项和公比均为；的等比数列,即4=最，

2优-七)

因为2一27；—(〃一2),

整理得2(\—。"(7；+7；1)=2b“(T“+T『J

=北+%(〃-⑵，

%+%b“+i+b“_i

2h

又因为勿>0,所以为>0,所以人二二1(〃・⑵,即%一2="一％(〃・.2),因为仿=1也=2,所以数列

{2}是以首项和公差均为1的等差数列，所以2=〃;

(〃+2)12(〃+1)—〃111

(2)由t(1)可知，c='—=—•—=——zp-,,

nn+n2〃(〃+1)2n-2(«+!)-2

(1<11、(11、1

Pn=1一"^_^|+丁丁？+...+―T77-,»即匕=•

I2x2/<2x23x27(n+1)-2)(n+1)-2

【点睛】

此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一

类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.

18.(1)[-1,+<»)(2)见解析

【解析】

⑴分离〃?得到g(x)=/(x)—%=,一3|+打一1卜》，求g(x)的最小值即可求得加的取值范围；(2)先求出“，得到

a+b+c=2,利用乘”"变化即可证明不等式.

【详解】

-3x+4,x<1

解：(1)设8(»=/(1)_工=卜_3„_1卜x=,_%+2,1<x<3,

x-4,x>3

・・・g(x)在(-8,引上单调递减，在(3,位)上单调递增.

lS^(X)min=<?(3)=-1-

Vg(x)〈机有解，；.m>-\.

即〃2的取值范围为~1,+8).

(2)/(x)Hx-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,当且仅当1KX<3时等号成立.

:•n=2,即a+/?+c=2.

(11a4ab4bcc

\abc)bcacab

/ab4。c4b

=6+—+—+—+—+—+—>16.

bacacb

当且仅当。=l，b=-,c=l时等号成立.

22

114

:.—H—F—>8,即4々〃+〃。+。。28"。成立.

abc

【点睛】

此题考查不等式的证明，注意定值乘"”变化的灵活应用，属于较易题目.

19.(1)(―JQ)；(2)见解析

【解析】

(1)利用导数研究/(x)=Hnr的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；

(2)构造函数g(x)=-%-xln%,〃(%)=一一(九一1)一xlnx可证得：-x>xlnr,-^―(x-1)>xlmlXG-,1|I,

e-le-1I\e)J

分析直线y=_x,y=」一(x—l)与y=a

e-1

从左到右交点的横坐标，/(X)在x=e-3,x=l处的切线即得解.

【详解】

(1)设函数/(x)=xlnx,

/'(x)=l+lnx,

-0-,/'(%)>0,x>—,令尸(x)<O,O<x<-

故/(》)在(0,f单调递减，在(：”)单调递增，

•・・xf0+时/(x)->0；/(1)=0；时f+00

now(-Lo］.

(2)①过点((),())，［g—g］的直线为丁=一工，

则令g(x)=_X_jdnx,,

g'(x)=—2—Inx

=>g(X)max=8卜-2)，^Wmin>mill<0,|=0

②过点(LO),的直线为^==(无一1),

贝!]/z(x)=^—(x-l)-xlnx

XG

c—1

J,“上单调递增

hXx)=-.....lor-l>0=>"(x)在

e-1

/z(x)>/?(—=0=>(x-l)>xlnxXG

③设直线y=-x,与y=a

e—1

从左到右交点的横坐标依次为&=-。，x4=a(e-l)+l,

由图知W一%>龙4一％3=ae+L

④/(%)在》=0-3,工=1处的切线分别为.丫=一2%一"3,y=x-l,同理可以证得

记直线.y=a与两切线和/i(x)从左到右交点的横坐标依次为毛，%，了2,4，

[、—a—e-33a+2—e

x-玉<x-X=(zQ+1)--------

2652

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.

20.(1)(-oo,-2]u[2,+oo)(2)(f,3]U[l，W)

【解析】

(1)卜+1|+|k124利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，

(2)/(x)N2对xeR恒成立，贝！J/(%)„„.„>2,

由三角不等式|x+a|+|x-l闫x+a-x+11=|。+1],得|。+1住2求解

【详解】

解：(1)当a=l时，不等式/(x)N4即为|x+l|+|方1|24,

x<-lf-1<X<1[x>\

可得4或《或<,

-x-l+l-x>4[x+l+l-x>4[x+l+x-l>4

解得xW-2或或xN2,

则原不等式的解集为(-8,—2]32,不》)

(2)若对任意xeR、都有/(x)22,

即为-2,

由|x+a|+|方1以x+a~x+11=|tz+l|,当(x+a)(x-l)<0取得等号，

则/(x)“而=k+1|,由|a+l|N2,可得或z<-3,

则”的取值范围是(F,3]UU，+8)

【点睛