1.4.1一元二次函数课件高一上学期数学北师大版

§4一元二次函数与一元二次不等式【素养目标】1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．4.1一元二次函数一元二次函数1．定义：一般地，把形如_____________________________(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为______________、一次项系数和__________．2．三种不同形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

知识点1基础知识二次项系数常数项

一元二次函数的性质知识点2性质抛物线开口向______，并向上无限延伸抛物线开口向______，并向下无限延伸对称轴是x＝______；顶点坐标是____________在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间_____________上函数值y随x的增大而增大在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间__________上函数值y随x的增大而减小抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝______抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝______上下h

(h，k)

[h，＋∞)

[h，＋∞)

k

k

思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换就能得到函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象？提示：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．基础自测1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为 (

)A．－7 B．1C．17 D．25D

2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是 (

)A．最小值是8，无最大值 B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值 D．最小值是－2，无最大值3．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是______________．4．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为__________________．C

(－1，－3)

y＝x2－6x＋5

题型探究题型一一元二次函数的图象问题

(1)将抛物线y＝(x－1)2＋2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是 (

)A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－3C．y＝(x＋2)2＋7 D．y＝(x＋2)2－3(2)已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3．①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标；②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴；③根据①②画出此函数图象的草图．例1A

[解析]

(1)y＝(x－1)2＋2，先向右平移3个单位长度得y＝(x－1－3)2＋2，即y＝(x－4)2＋2，再向上平移5个单位长度得y＝(x－4)2＋2＋5，即y＝(x－4)2＋7．(2)①由－x2－2x＋3＝0得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(－3,0)，(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．②配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1．③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图：[归纳提升]

1．利用关键点和对称轴画一元二次函数图象(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A，B，C，D及M这五个点按顺序用平滑曲线连接起来．2．参数“a，h，k”对y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的影响(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小．(2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置．(3)k决定了二次函数图象的顶点的高度．16

题型二一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理)

试述一元二次函数y＝3x2－6x－1函数值的变化趋势．[分析]

配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，结合图象叙述．[解析]

配方，得y＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4．该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以此函数在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．[注意]

书写的规范性：①配方变形，以便得出函数图象的对称轴；②结合函数图象叙述函数值的变化趋势．例2【对点练习】❷

(1)在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为 (

)A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，4] D．(－∞，2](2)一元二次函数y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0,7)点．①求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标；②试述函数值的变化趋势．C

(2)①因为y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0,7)点，得7＝－0＋(m－1)×0＋m，所以m＝7；则y＝－x2＋6x＋7，令－x2＋6x＋7＝0，(x－7)(x＋1)＝0，所以x－7＝0或x＋1＝0，所以x＝7或x＝－1，所以此函数的图象与x轴的交点为(7,0)，(－1,0)．②因为y＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16，所以对称轴为直线x＝3，所以在区间(－∞，3]上，y随x的增大而增大；在区间[3，＋∞)上，y随x的增大而减小．题型三一元二次函数的最大值和最小值

例3[归纳提升]

求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值的一般步骤(1)“化”：采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．(2)“求”：当a＞0时，函数在x＝h处y有最小值，ymin＝k；当a＜0时函数在x＝h处y有最大值，ymax＝k．【对点练习】❸

(1)一元二次函数y＝－x2＋6x－3的最大值是_____．(2)若一元二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的最小值为0，则m＝_________．6

9或25

1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是 (

)

[解析]

由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C．又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D．B

2．关于二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象，下列说法正确的是 (

)A．开口向上，顶点坐标为(3,1)B．开口向下，顶点坐标为(3,1)C．开口向上，顶点坐标为(－3,1)D．开口向下，顶点坐标为(－3,1)[解析]

因为y＝2(x－3)2＋1，其中a＝2＞0，所以抛物线的开口向上，顶点坐标为(3,1)．A

3．将函数y＝－3x2＋1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得下列哪个函数的图象 (

)A．y＝－3(x＋1)2－1 B．y＝－3(x＋1)2＋3C．y＝－3(x－1)2＋1 D．y＝－3(x－1)2＋3[解析]

函数y＝－3x2＋1的图象的顶点坐标为(0,1)，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点为(1,3)，则y＝－3(x－1)2＋3．D

4．若函数y＝x2－2ax在区间(－∞，5]上y随x增大而减小，在[5，＋∞)上y随x增大而增大，则实数a＝_____．[解析]

由题知二次函数图象的对称轴为直线x＝5．所以a＝5．5

5．用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值．(1)y＝2x2－4