河南省TOP二十名校高三下学期质检（一）数学

绝密★启用前2024届高三年级TOP二十名校质检一数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.若，则实数（）A.1B.2C.3D.42.的展开式中常数项为（）A.28B.56C.70D.763.若，则的值为（）A.B.C.D.4.已知圆，则下列说法错误的是（）A.点在圆外B.直线平分圆C.圆的周长为D.直线与圆相离5.直线经过椭圆长轴的左端点，交椭圆于另外一点，交轴于点，若，则该椭圆的焦距为（）A.B.C.D.6.在与中，已知，若，则（）A.B.C.D.7.如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（）A.B.1C.D.8.甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令表示在甲的累计得分为时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支交于点，若，则（）A.的渐近线方程为B.C.直线的斜率为土D.的坐标为或10.某质点的位移与运动时间的关系式为的图象如图所示，其与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，则（）A.B.C.质点在内的位移图象为单调递减D.质点在内的平均速率为（平均速率总路程）11.已知定义在上的函数，其导函数分别为，且，则（）A.的图象关于点中心对称B.C.D.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.若集合，则__________.13.记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为__________.14.在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的，得到如下数据：青年人中年人老年人对短视频剪接成长视频的APP有需求200对短视频剪接成长视频的APP无需求150其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400.（1）求的值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？参考公式：，其中.临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.（本小题满分15分）如图，三棱柱中，为底面的重心，.（1）求证：平面；（2）若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值.17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线相切.（1）求的值；（2）已知点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，且，过分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形面积的最小值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）判断是否对恒成立，并给出理由；（2）证明：①当时，；②当时，.19.（本小题满分17分）在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列.在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列.（1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；（2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；（3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列.2024届高三年级TOP二十名校质检一·数学参考答案､提示及评分细则一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DAADCDBC二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.题号91011答案ABDACBCD1.D因为，所以，所以.2.A的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中常数项为.3.A因为，所以，所以.4.D由，知圆心坐标为，圆的半径为1.对于，由点到圆心的距离知点在圆外，项正确；对于，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆关于直线对称，项正确；对于，圆的周长为，C项正确；对于，由圆心到直线的距离为知直线与圆相切，项错误.故选D.5.C由已知得，点的坐标为，又因为，所以，代入椭圆的方程得，所以，所以椭圆的焦距为.6.D由已知得，有唯一解，由正弦定理可知，所以关于的方程有唯一解，在同一坐标系内分别作出曲线和水平直线，它们必须有唯一的交点，所以或，所以或.7.B连接.由已知得为的中位线，所以，为正三角形的中线，所以，又，所以，所以为直角三角形，所以.因为，所以到平面的距离为，设到平面的距离为，因为，所以，所以，所以.8.C的取值集合为，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为，根据全概率公式得，，所以，变形得，因为，所以，同理可得，，所以是公比为的等比数列，所以，各项求和得，，所以，所以，所以.9.ABD因为，所以半焦距，所以，所以的方程为的渐近线方程为，所以正确；设，则，因为，所以，解得，所以，，所以，所以正确；设直线的倾斜角为，则，所以不正确；设点在轴上的射影为，则，所以，所以，所以，由，得，所以的坐标为或，所以正确.10.AC设由已知得，函数的周期，所以，所以A正确；令，所以，又，所以，因为，所以或，又，所以，所以不正确；由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，且在内单调递减，因为，所以在上单调递减，所以C正确；由图象直接得该质点在内的路程为，所以该质点在内的平均速率为，所以不正确.11.BCD由题意得，两式相减可得①，所以的图象关于点中心对称，故A错误；由②，②式两边对求导可得，所以是偶函数，以替换①中的可得，所以，所以是周期为4的周期函数，故B正确；因为，所以也是周期为4的周期函数，即，两边求导可得，所以，所以C正确；由上可知的图象关于点中心对称，所以，又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，所以，由条件可得，所以，D正确，故选BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.由，得.13.设为曲线上的一点，过点的切线斜率为，令得，所以，所以点到直线的距离为，所以曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为.14.分别取的中点，连接.因为，所以，因为平面平面，所以平面，因为，所以，所以，因为分别为的中点，所以，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为，所以，所以三棱锥外接球的球心在直线上，由知在线段的延长线上.设，则，即，所以，所以三棱锥外接球的半径为，表面积为，因为，所以四点共圆，所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，故四棱锥外接球的表面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.解：（1）由已知得，解得.（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异.由已知得，如下列联表：青年人中老年人合计对短视频剪接成长视频的APP有需求300250550对短视频剪接成长视频的APP无需求100350450合计4006001000计算得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异.16.（1）证明：连接交于点，连接.因为为底面的重心，所以，因为，所以，所以，因为平面平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接.因为底面，且三棱柱的各棱长均为6，所以射线两两垂直，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以不妨取，则.17.解：（1）因为直线与抛物线相切，所以方程组有唯一解，所以有唯一解，所以，解得.（2）设，设直线的方程为，因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，所以由，得，所以因为，所以，所以，所以，解得，所以直线的方程为，满足条件且，所以四边形的面积为.令，所以，因为，所以，因为与在上分别单调递增，所以在上单调递增，所以当且仅当即时，，所以四边形面积的最小值为.18.（1）解：令，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，所以对恒成立.（2）证明：①当时，要证，即证，令，其中，则需要证明.，令，则函数在上单调递增，所以当时，，所以，所以在上单调递减，所以，故，所以当时，.②由（1）知：，所以，所以.