可分离变量微分方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖

转化可分离变量微分方程第二节可分离变量方程第1页分离变量方程解法:设y＝

(x)是方程①解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微G’(y)＝g(y)≠0,时,由②确定隐函数y＝

(x)是①解.则有称②为方程①隐式通解,或通积分.一样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定隐函数x＝

(y)也是①解.第2页例1.求微分方程通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,所以可能增、减解.(此式含分离变量时丢失解y=0)第3页例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为第4页例3.求下述微分方程通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:第5页练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:第6页例4.子含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t改变规律.建模:相关变量,有:(初始条件)已知t=0时铀含量为已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原时间铀含量问题,求:条件:第7页解:依据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀改变规律为然后积分:M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t改变规律.已知t=0时铀含量为已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原子含量例4.第8页例5.成正比,求并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间函数关系.建模:相关变量,有:(初始条件)时间,下落速度问题,求:条件:依据牛顿第二定律力第9页解:依据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解t

足够大时成正比,求并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间函数关系.例5.第10页例6.有高1m半球形容器,水从它底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,水面高度h随时间t变化规律.求水小孔横截面积建模,相关变量,有:时间,体积问题,求:条件分析:高度由水力学知,水从孔口流出流量为流量系数孔口截面面积即(1)重力加速度解:第11页设在内水面高度由h降到对应下降体积(1)(2)综合(1)与(2)式,得:微量分析列方程第12页所以得微分方程定解问题:将方程分离变量:两端积分,得第13页利用初始条件,得所以容器内水面高度h与时间t通解有以下关系:第14页内容小结1.可分离变量方程求解方法:分离变量后积分;依据定解条件定常数.找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程.惯用方法:1)依据几何关系列方程(如:P263,5(2))

2)依据物理规律列方程(如:例4,例5)3)依据微量分析列方程(如:例6)2.解微分方程应用题方法和步骤(2)利用反应事物个性特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并依据定解条件确定特解.作业P2691(1)(5)(7)(10);2(3)(4);4;5第15页课堂练习第16页课堂练习参考答案第17页课堂练习参考答案第18页备用题1

已知曲线积分