数字信号处理课后习题答案

作业答案

第一章

2〃+4,-4<n<-1

1.2给定信号x(")=-4,0<n<4

0,其他

(1)画出x(〃)的波形，标上各序列值；

(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(〃)序列；

(3)令』(")=2x("-2),画出子(力)的波形;

(4)令X2(")=x(2-n),画出X2(")的波形。

解：(1)画出x(")的波形，如图S1.2.1所示。

图PI.I图SI.2.1

(2)x(n)=-43("+4)-26(〃+3)+23(〃+1)+43(")+4<J(n-1)+43("-2)+4况"-3)+45("-4)。

(3)画出X|(")=2x(〃-2)的波形，如图S1.2.2所示。

(4)画出M(")=》(2-")的波形，如图S1.2.3所示。

1.3判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。

图S1.2.2图S1.2.3

(a)sin1.2〃(b)sin9.7兀〃(c)ejL6,l/,

(d)con(3K/?/7)(e)Xcos(1■兀〃一(f)c"，'

解：(a)sin1.2〃是非周期信号。

(b)sin9.7?t"是周期信号，—M=—M=—M,取"=97,周期为20。

(o9.7兀97

(c)是周期信号，=1M=^LM=1M,取”=4,周期为5。

31.6K4

(d)con(3兀”/7)是周期信号，—M=—M=—A/,周期为14。

(D3/7兀3

(e)/cos(T兀〃一方)是周期信号，周期为14。

(f)是非周期信号。

总结以上，如果数字频率。不是n的函数，则一定是非周期序列。

1.5以下序列是系统的单位脉冲响应〃(")，试说明系统是否是因果的和稳定的。

(1)—w(w)(2)—u(n)(3)3"w(/i)(4)3"«(-»)

n~〃！

(5)0.3wu(n)(6)0.3ww(-w-l)⑺演"+4)

解：(1)4〃(〃)，系统是因果、不稳定。

(2)-«(«),系统是因果、稳定的。

nn\

(3)3"u(n),系统是因果的，但不稳定。(4)37(f),系统是非因果、稳定的。

(5)0.3""(〃)，系统是因果、稳定的。(6)-1),系统是非因果的，不稳定。

1.6假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系统。

(1)y(n)=3X(H)+8(2)y(n)=x(n-1)+1

(3)y(n)=x(n)+0.5x(w-1)(4)y(n)=nx(n)

解：(1)M〃)=3X(〃)+8

将上式中的〃用〃-〃o代替，得到y(〃-〃o)=3x(〃-〃o)+8。4,y(n)=T[x(n-w0)]=3x(n-«0)+8,因

此y(〃一〃0)=T[x(〃-〃o)]，系统是时不变系统。

令系统的输入信号为两个信号的线性组合X(〃)=4司(〃)+以2(〃)，则输出为

y(n)=T[axx(w)+bx2(n)]=3ax1(/?)+3bx2(n)+8,7[g(〃)]=3%(〃)+8,T[bx2(/?)]=^bx2(/?)+8

因为T[ax[(n)+hx2(n)]T[axx(/?)]+T[bx2(n)],因此该系统不服从线性叠加原理，是非线性系统。

(2)y(W)=X(W-l)+l

分析方法同上，该系统是时不变非线性系统。

(3)y(n)=x(〃)+05x(〃-1)

由上式有y(n一的)=-%)+0.5x(〃-w0-1)

T[x(n-〃0)]=x(〃一〃o)+0.5x(〃一“0-1)

因此y(n-nQ)=-〃0)],该系统是时不变系统。

令系统的输入信号为两个信号的线性组合工(〃)=。*(〃)+力：2(〃)，则输出为

y(n)=T[ax[(n)+bx2(n)]=axx(n)+0.5ax}(n-1)+bx2(n)+0.5bx2(n-1)

7'[t7X1(w)]=4X](〃)+0.5aX](〃-1),T[bx2(n)]=hx2(n)+0.5bx2(n)

因为几4演(〃)+/以2(〃)]=7[”1(〃)]+7[区2(〃月，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。

(4)y(n)=nx(n)

由上式得到y(n-nQ)=(n-nQ)x(n-nQ)

T[x(n-n0)]=nx(n-nQ)

这样双〃-〃0)工7口(〃-〃0)]，该系统不是时不变系统。按照差分方程，可把系统看成是一个放大器，

放大器的放大量是〃，因为该放大量随〃改变，从物理概念上讲，该系统也是一个时变系统。

令系统的输入信号为两个信号的线性组合X(〃)=4X[(〃)+6%2(〃)，则输出为

y(n)=r[«X|(M)+bx2(n)]=n[ax[(n)+bx2(n-1)],T[ax1(n)]=nax1(n),T[bx2(n)]=nbx2(n)

因为71以](〃)+/求2(〃)]=71〃玉(〃)]+71以2(〃)]，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。

1.9计算并画出图P1.9所示信号的卷积x(n)*h(n)0

x{n}h(n)

0123n0123456n

0123n

x(n)h(n)

,Jill.,.

03456n-4-30〃

x(n)h(n)

一」1卜一，

Jill..,.

02345n-2-10n

图Pl.9

(a)x(")*〃(")={…,0,0,色II,15,18,14,10,6,3,1,0,0,…},原点在6处，波形如图S1.9.1(a)所示。

(b)={…,0,0,6,11,15,招,14,10,6,3,1,0,0,…},原点在18处，波形如图S1.9.1(b)所示•

(c)x(")*〃(")={…,0,0,1,2,2,21,0,0,…},原点在第一个2处,波形如图S1.9.1©所示。

(d)x®*恤)={…,0,0，!,2,2,2,1,0,0,…},原点在第一个1处,波形如图S1.9.10)所示.

x(n)h(n)

♦x(n)♦h(n)

-1012345

01245

图Sl.9.1

1.10证明线性卷积服从交换率、结合率和分配率，即证明如下等式成立：

(1)x(")*〃(")=〃(")*x(")(2)x(")*(4(")*%("))=(x(")*/4("))*%(")

(3)x(”)*(%(")+似"))=x(n)*A,(n)+x(n)*h2(n)

解：证明如下：

(1)因为x(〃)*6(")=x(m)h(n-m)

；W=-9O

令〃/=〃一加

x(w)*/?(«)=Zx(〃一〃，"(加')=人(〃)*x(〃)

(2)利用上面已证明的结果，得到

x(n)*(n)*(?:)]=x(n)*[h2(n)*hx(«)]=gx(m)\h2h](n-w)]=Z%(阳)，似k)M〃一m-k)

〃1=T»m="CX>A=-0O

交换求和号的次序，得到

x(〃)*[:(〃)*似〃)]=£〃2(")£x(m)hx(n-m-k)=£h2(A:)[x(/?-k)*h{(n-k)]

A=-8m=-0°k=-g

=h2(n)*[x(w)*俗(〃)]=[x(〃)*h}(«)]*h2(n)

(3)x(〃)*[〃](〃)+%2(〃)]=£一用)+%(〃-M)]

/n=-oo

XTWI

=Z%(加>(〃7%)+()^2(/-m)=x(n)*(w)+x(n)*h1(ri)

m=-«>m——oc

1.11已知系统的输入式〃)和单位脉冲响应//(〃),试求系统的输出y(〃)。

(1)x(〃)=&(〃)，〃(〃)=&(〃)(2)x(n)=8(n)-8(n-2),h(n)=2R4(n)

n

(3)x(n)=-2),h(n)=0.5”号(〃)(4)x(/i)=R$(n),h(n)=0.5u(n)

0<n<61,-2<n<2

⑸=.3,h(n)=

0,其他

0,其他

(6)x(n)=\a-3<n<51,0<n<4

h(n)=

其他0,其彳11

解：⑴武〃)=%(〃)*&(〃)={…,0山2,3,4,4,3,2,1,0…},原点在第一个1处。

(2)7(〃)=[3(〃)-"(〃-2)]*2](〃)=24(〃)-2&(〃-2)={・・・,022,0,0,-2,-2,0,・・・},原点在第一个2处。

n2

(3)y(n)=8(n-2)*0.5〃R3(n)=0.5~衣3(〃-2)=4x0.5"&(〃-2)。

(4)该题解的方法和主教材中的例题1.3.3相同，

nm

y(n)=h{n)*x(n)=Rs(m)a~u(n-m)：m<〃，0<m<4,〃V0,y(界)=0

0<4,非零值范围为OSm<n,因此

1-~n~]

i"-m=ana,

1—G

〃I=0

5<n,非零区间为0Wm<4,因此

M")=W3y-m=a"1l

...-n'

0,n<0

1_-M-l

la

结果为y(")=a"~,0<n<4

5<n<g

(5)y(n)=x(n)*h(n)=；〃&(〃)*Rs(n+2)。

为了计算方便，将上式写成

3y(n)=3x(”)*h(n)=??/?7(w)*7?5(w+2)

采用列表法，计算过程如衣SI.11.1所示。

表S1.11.1

m-4-3-2-10123456

3x(⑼0123456

h(m)11111

h(-m)111113y(0)=3

111113川)=6

h(2—m)111113X2)=10

h(3-m)111113X3)=15

111113j，(4)=21

A(-l-w)111113*1)=1

111113)(-2)=0

M〃)=；{…,0,1,3,6,10,15,21,20,18,15,11,6,0,…},原点在3处。

小/、卜，-3<»<5,..fl,0<n<4

(6)x(n)=<h(n)=<山八

(o,其他[0,其他

x(n)=/&(〃+3),/?(〃)=&(〃)

y(n)=>""—(〃?+3)&(〃-〃?)

m

由扁(〃?+3)得到-3Wm<5。

由小(〃一〃?)得到w-4<m<no

max[-3,/?-4]<m<min[5,w]；

-3<«<0,=

黑3'-a

〃/一4/[-5\

1<»<5,刈)=£0"=。…)；

KJ。

5J-4/]/0-〃

6<n<9,y(n)=Vam=------------

士4J”

最后得到

［一优+i

-3<n<0

\-a

a-a

1<n<5

y(〃)=1-4

a—a

6<n<9

\-a

0,其他

1.13已知因果系统的差分方程为

M〃)=0.5y(〃-1)+x(n)+0.5x(〃-1)

求系统的单位脉冲响应〃(〃)。

解：用递推法求解,令x(〃)=b(〃),M-i)=o,M〃尸〃⑺，

h(n)=；力(〃-1)+b(〃)+(〃-1)

n=0,/,(O)=1/»(-l)+J(O)+1j(-l)=l;

"=1,〃(1)=；〃(O)+J(1)+；MO)=；+；=1；

〃=2,h(2)=；〃(1)=；；

«=3,久3)=；%⑵=(；)

归纳起来，结果为〃(")=(；)”("-1)+3(")。

第二章

2.1试求以下序列的傅里叶变换。

(2)%2(〃)=；5(〃+D+6(〃)+；旗〃一1)

(1)(00=6("-3)

(3)x3(n)=a"u(n)0<a<1(4)x4(w)=u(n+3)-u(n-4)

解：(1)毛@3)=£3("-3)eT3"=eT33

“=-«*>

j/w-jjwjw->

(2)%2(e)=x2(w)e^=1e+1+=1+1(e+e)=1+cos<w

(3)X(ej<y)=Va“(〃)eT&"=gaM0M=—

3工£

3__与勿jysm-69

(4)X4(e吗=£[〃(〃+3)—〃(〃-4)]e~^=£广刎二j7<y二e；e；-e；[j30=

—&I"「3"R

2.2设X(e2)是x(")的傅里叶变换，利用傅里叶变换的定义或者性质，求下面序列的傅里叶变换。

(1)x(〃)一式"-1)(2)x*(w)(3)x(-n)

(4)x(2〃)(5)nx(n)(6)x2(/i)

x(n/2)〃为偶数

⑺yW=

0n为奇数

解：⑴解卬〃)一式〃-1)]=丫10)-丫@0g一切。

⑵FT[x*(〃)]=Z/(〃把一询=Zx(/?)e>w=牙*小一切)。

〃=-M>|_〃=_00_

⑶FT[x"(-")]=Zx*(-")eT3"=x(-n)e,m

n=—«o[_//=—oo_

(4)FT[x(2n)]=x(2w)e'j®".

〃=-OO

令〃'=2〃

FT[X(2〃)]=£x(/)eT"'2=2_L[x(〃)+(-l)〃x(〃)]「5"”

取偶数n=-«o

M=-oo〃=-oo

或者EM2")]=L(#)+几蚪。

⑸因为9x(")e-9对该式两边对也求导，得到空ei=_j;内5)eT3"=_jFT["x(”)]

七do，匕

用"e/、1<L¥(ej(a)

因此，FT[wx(w)J=j-------o

d。

(6)FT[x2(n)]=1x(/dd0=5'(53)*%93)=?『矛评/化…见®'.

(7)Y(ej3)=FT[x("/2)]=£x(n/2)c>m"»

〃=-oo

令n=n/2

y(eW)=£x(n)e->2m"'=X(e"3)

2.3假设信号X(")=[T2,-3,2,-1,«=-2,-l,0,l,2

10,其他

它的傅里叶变换用X(eW)表示，不具体计算X(eR),计算下面各式的值：

(1)砥9°)(2)NX(ei")(3)「X(ej")d0

(4)X(/)(5)]卜(四,0

解：(1)X(ej°)=£x®=-l

n=-«>

(2)X(eia>)=£乂("圮-泡"=x(-2)ej2<u+,r(-l)ej<a+x(0)+x(l)e-j®+x(2)e-j2<a

“=~oo

=-ej2tt,+2e”"-3+2e'j<B-e_j2®=2(e*"+e-jffl)-(ej2<a+e-2")_3=4coso-2cos(2o)-3

ZX(ej<B)=O

(3)x(〃)=嵩山X(ej3)ej""d0,令”=0,x(0)=*/X(e"")d0=-3

82

(4)X(ei")=Zx(")eTM=g(-l)"x(n)=-9

7n=-2

(5)门do=2"力|x(n)|2=387t

n=-2

2.4证明：若X(e，。)是x(〃)的傅里叶变换

n

n/k为整数

0,其他

则居(eW)=X(e*。)

解：居(龈)=£勺(小一询=Zxf-]e-j6W

令〃=〃'k,〃'是整数

i(0

Xk(e)=£x(/)eT砒〃'=X(eM©)

〃，=-oo

2.9证明：

(1)x(〃)是实、偶函数，则对应的傅里叶变换X©。)是实、偶函数。

(2)x(〃)是实、奇函数，则对应的傅里叶变换X(J0)是纯虚数，且是㈤的奇函数。

解：(1)x(〃)是实、偶函数，下面证明其傅里叶变换X(e"")是实、偶函数。

%俨)=£x(〃)…两边取共施，得到X3)=之武“*£x(〃)eT(-⑼〃=X-”)

rt=-«oM=-oo«=-<»

对上式两边取共挽，得到X(eM)=X*(e—W),说明其〃)是实序列，X(eW)具有共枕对称性质。

X(ej0)=£式〃把一"如=£x(w)(costw+jsin69)

n=—°°n=—0°

OO8

由于x(〃)是偶函数,M〃)sin。是奇函数，那么Zx(〃)sinty=0,因此X(eW)=，x(〃)cos。,该式

“=~cofl=­oo

说明X(e"")是实函数，且是o的偶函数。

归纳起来，证明x(〃)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。

(2)x(")是实、奇函数，下面证明其傅里叶变换X(e"")是纯虚数，且是o的奇函数。

上面已推出，x(")是实序列，MV)具有共趣对称性质，即％①3)=昭e73)。

X(e.®)=£**询=Zx(n)(cos。+jsin⑼

由于x(〃)是奇函数，上式中X(〃)COSG是奇函数，那么x(w)cos69=0,因此X(e"")=j'x(〃)sii】0

rt=—OO"=-8

证明了X©。)是纯虚数，且是0的奇函数。

2.14如果力(〃)是实序列，证明H”(ej“)=〃(eT")<,

解：在第2.9题中已证明实序列的FT具有共较对称性，即H(ej")=H*(e-j3),两边取共规，即得到

”*(ej3)="(e-j")。实际上要证明的公式就是共辄对称性的一种表示方法。

2.16己知)(〃)=X](〃)*电(〃)*、3(〃)，证明：

8「8]「8][8-

(1)£>(")=2为(")x2(n)x3(n)

n=-o»Lw=-0°JLM=-O°JLW=_O°_

(2)f(-l)"y(")=£(-1)"须(")|£(-1)飞5)±(-1):3(")

"=_8L〃=_8」L“=_8_|L〃=_OO_

解：(l)将式y(〃)=X|(〃)*X2(〃)*X3(〃)进行FT,得到

r(ejd>)=%(/)'2@")入3@0)

?^("旭-询=[,&("£-四][乡必(""一询][?>3("旭>[(a)

eooo11ee11oo

令3=0,得到Z-(〃)=Z.5)Z*3(〃)

n=-o<>L/»=-<«J|_n=_<»J|_n=_oo_

(2)将(a)式中的。用(0-7C)代替，得到

Zj，(")e*3T”=Z$(")eT<3r“2々("£*斫*>”2与("把』所->”

nLn北"JLn_

乡(-1)"』("把-四[多(-1)飞(小小[3(-1)%("纪73"

，，

令刃=0得到y(T)"M")=[£(-l)x1(n)T£(-l)"x2(n)J£(-1)飞(")[

w=-=_o

n=-°°L®°JLw=—«°JLw°_

该题中，将。用(0-兀)代替的意思是将频谱移动兀弧度。

2.18求出下面系统的频率响应，并画出它们的幅频特性。

(1)y(n)=^-[x(rt)+x(n-1)](2)y(w)=yW^)-x(w-1)]

(3)y(n)=+1)-X(TI-1)](4)y(n)=+1)+x(n-1)]

(5)y(n)=x(n-4)

解：⑴//(陵)=^^=；(1+0-勺=1一5"95"+6一力=6支飞£,回叫=85葭

幅频特性如图S2.18(a)所示。

...0).0).0).1

(2)"(3®)+…吗=呜，|〃93)卜s呜,

幅频特性如图S2.18(b)所示。

(3)H(e"")=；(ej3-eTe)=jsin<w,|//(eja,)|=|sin^,

幅频特性如图S2.18(c)所示。

(4)H(eW)=；(eW+er3)=_/cos0,|z/(ej,a)|=|cos<a|,

幅频特性如图S2.18(d)所示。

(5)H©3)=©2,的©“)|=1，

幅频特性如图S2.18(e)所示。

⑶(b)

图S2.18

2.21求以下各序列的Z变换和相应的收敛域，并画出相应的零极点分布图。

⑵x(〃)=G)，龙5

[6,7,-3,“=0,1,2

(1)M")|o,其他

0,n<4

(3)5("-"。)，"o是常数，n0>0(4)2-〃〃(〃)

(5)-2-Mu(-/;-l)(6)2-n[w(w)-i/(w-10)]

n

(7)x(n)=RN(n1N=4(8)x(n)=Arcos(g〃+(p)u(n),式中0Vr<1

〃，0<n<N

(9)x(〃)=(2N-〃，N+En<2N,式中N=4

0,其他

6,7,-3,n=0,1,2

解:(1)

0,其他

X(z)=£x(")z-"=6+7ZT-3Z9,0<|z|<~,X(z)

n=°°

极点为z=0(是二阶极点);

6Z2+7Z-3=0,(3Z-1)(2Z+3)=0

零点为z=l/3,-3/2。

零极点分布如图S2.21.1所示。

"仕丫z-5

⑵'⑶=*)；"=庄7=昂而-1本

2

由分母多项式求得极点为z=0(4阶极点)，z=1/2»

极零点分布如图S2.21.2所示。

(3)ZT[<J(w-n0)]=z-"°,0<\z\<==

极点为z=0,极零点分布如图S2.21.3所示。

图S2.21.1图S2.21.2图S2.21.3

(4)ZT[2-W(«)]=£=62-"-"=~^,k|>I

n=OZ2.

零点为z=0,极点为z=0.5。

极零点分布如图S2.21.4所示。

-2z1

⑸ZT[-2-,,w(-n-D]=Z-rnu(-n-\)z-"=-2-,,z-n=^-2"z"zV

2

/1=-«»M=-l"=1

零点为z=0,极点z=0.5,极零点分布如图S2.21.4所示。该题的Z变换和(4)题一样，但由于收敛域

不同，对应的原序列也不同。

91

(6)21~[2-"("(")-"("-10))]=工21-"」:2||本g

/i=o1-2z

10

zi0-2-

ZT[2-10))]二

Z9(Z-2-')

由2T噎2*=0,得至lj零点为z=0.5xe10,上=0,1,2,…,9。

由Z“Z-2T)=0,得到极点为Z=0(9阶极点)，Z=0.5。

上面的极零点中z=0.5处的零极点相互对消。零极点分布如图S2.21.5所示。

⑺X(z)=£R式")z-"=Zz-"=,0<|z|<8

〃=/〃=0I—ZZ(Z-1)

,2K

由z，-1=0/4=e，2*,得到零点为〃=e,4,%=01,2,3

由z3(z-1)=0极点为z12=0J,(其中z=0是3阶极点)。

零极点图如图S2.21.6所示，图中z=l处的零极点相互对消。

图S2.21.4图S2.21.5图S2.21.6

(8)X(z)=-A力eFy+吃-"U「+一e-^

2[―|rG~^z~]

_〃=0〃=0

cos<p-rcos((t)Q-(p)z~xI।

(l-re"/zT)・(l_reT为z7)'“〃

零点为Z1=r四％二/，极点为*於"，Z3=re-j纬。

cos8

假设r=0.9,0。=；，＜P=0,极零点分布如图S2.21.7所示。

〃，0<n<N

(9)x(〃)=«2N—〃，N+七n<2N,式中，N=4

0,其他

令y(n)=R4(n),那么x(n+1)=y(n)*y(n),

将该式进行ZT,得到zX(z)=[Y(z)]2,X(z)=z-'[r(z)]2o

2

1__-4_4_JZ4-1z4-l

因为y(z)=L—=—~所以x(z)=z，——1.

l-z-1z3(z-l)Z“z-1)z7(z—l)

极点为Z]=0（7阶极点），z2=1（2阶极点）。

零点为4=/*,A=0,l,2,3（均为2阶零点）。

在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0＜卜归8,极零点分布如图S2.2I.8。

图S2.21.7图S2.2I.8

2.27求以下函数的逆Z变换。

-3-50.75

(1)Z-'+5Z+6Z,|z|>0Q)X(z)=0.5<|z|<2

(l-0.5z)(l-0.5z-1)

0.750.75

⑶X(z)=,2<|z|(4)X(z)=|z|<0.5

(l-0.5z)(l-0.5z-1)(l-0.5z)(l-0.5z-1)

解：(1)ZT+5Z-3+6ZT,忖>0

X(z)=x(n)z~"=z-1+5z~3+6z~5,x(n)=^(«—I)+5<J(«-3)+68(n-5)

M=-00

0.75

⑵X(z)=0.5<|z|<2

(1-0.5Z)(1-0.5ZT)'

用留数法解题过程同第2章例题2.3.7•样，对比该例题，可得到a=0.75,

因此x(〃)=0.5®,-°°<n<8

0.75

(3)X(z)=,|z|>2

(l-0.5z)(l-0.5z-,)

由收敛域可知，原序列是一个因果序列。

0.75

F(z)=X(z)zn-l=

-0.5(z-0.5)(z-2)Z

n>0,x(n)=Re5[F(z),0.5]+Res[F(z),2]=0.5n-0.5-n

n<0,x(n)=0

最后得到武〃)=(0.5〃-0.5一”)〃(〃)。

n75

(4)X(z)=--------:--------|z|<0,5

(l-0.5z)(l-0.5z-1)11

由收敛域可知，这是一个左序列。

0.75

F(Z)=X(Z)Z”T

-0.5(z-0.5)(z-2)"

当〃20时，收敛域内无极点，因此x(〃)=0；

当〃V0时，z=0,是•个〃阶极点，改求c外的极点留数之和,

x(n)=.Res[尸(z),0.5]—Rcs[F(z),2]=0.5'"-0.5"。

最后，将、(〃)表示为x(n)=(0.5-n-0.5n)w(-w-1)o

2.30设系统由下面差分方程描述:

y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

(1)求系统的系统函数4(z),并画出极零点分布图；

(2)限定系统是因果的，写出“(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应〃(")；

(3)限定系统是稳定的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应〃(〃)。

解：(I)H(z)=-~~~^2=^-^~~-

1-z-zz-z-i

由z2-z-l=0,得到极点n,2=g。土括)，极零点分布如图S2.30.1

所示。

(2)H(z)=--------------收敛域为忸〉科

(z-p()(z-p2)

F(z)==-————-

(z-pl)(z-p2)

图S2.30.1

n>0,〃(“)=Res[尸(z),pj+Res[F(z),p2]=,(0’)、

(Pi-Pi}(P2-P1)

l(P|-P2)(P2-Pl)J

(3)H(z)=--------------若系统稳定，收敛域应取|pz|</a,

(Z")(Z-P2)

n>0,h(n)=Re5[F(z),p2]=

Pi-P\

n<0,h(n)=-Res[F(z),P1]=-(P|)

Pv-Pi

最后得到M")=-马二"(TL1)。

Pl-P\P\~Pl

第三章

3.1在变换区间OW”WN-I内，计算以下序列的N点DFT。

(1)x(n)=1(2)x(n)=S(n)

(3)0<m<N(4)、(〃)=&,(〃)，0<mVN

j—mn

(5)x(〃)=eN,0<m<N(6)x(n)=

(7)x(〃)=cos(争0<m<N(8)x(〃)=sin"?〃)，0<m<N

(9)x(n)=cos®。")(10)x(n)=nRN(n)

n为偶数

(H)x(n)=