海南省三年2020-2022年中考数学真题分类汇编-03解答题

海南省三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编・03解答题

一.平方差公式（共1小题）

1.（2020•海南）计算:

（1）|-8|X2-1-VI6+（*1）2020

（2）（。+2）（。-2）-a（。+1）.

二.二次根式的混合运算（共1小题）

2.（2021•海南）（1）计算：23+|-3|4-3-V25X51；

'2x〉-6

（2）解不等式组（x-1/x+l并把它的解集在数轴（如图）上表示出来•

-5-4-3-2-1012345

三.二元一次方程组的应用（共3小题）

3.（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡

椒和有机白胡椒.已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2

千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白

胡椒的售价.

4.（2021•海南）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买

了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励.若购买2副乒乓球拍和1副

羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元.求1副乒乓球

拍和1副羽毛球拍各是多少元？

5.（2020•海南）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3

吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成

全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？

四.解一元一次不等式组（共1小题）

6.（2022•海南）（1）计算：V9X3-'+234-|-2|；

x+3>2①

（2）解不等式组12x-l

41②

五.二次函数综合题（共3小题）

7.（2022•海南）如图1,抛物线y=o?+2x+c经过点A（-1,0）、C（0,3）,并交x轴于

另一点3,点尸（x,y）在第一象限的抛物线上，AP交直线于点D

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点尸的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP的面积；

(3)点。在抛物线上，当型的值最大且△AP。是直角三角形时，求点。的横坐标；

AD

(4)如图2,作CG_LCP,CG交x轴于点G(〃，0),点//在射线CP上，且C/7=CG,

过GH的中点K作K/〃了轴，交抛物线于点/,连接/〃，以田为边作出如图所示正方形

HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标.

图1备用图图2

8.(2021•海南)已知抛物线y=“/+9x+c与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，且点

4

A的坐标为(-1,0)、点C的坐标为(0,3).

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)如图1,若该抛物线的顶点为P,求△PBC的面积；

(3)如图2,有两动点。、E在ACOB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们

分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C-O-B方向向终点B运动，点E

沿线段BC按8-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止

运动.设运动时间为，秒，请解答下列问题：

①当［为何值时，△BOE的面积等于段；

10

②在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点尸，使得依次连接4。、DF、FE、E4得到

的四边形AOFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

图1图2备用图

9.(2020•海南)抛物线y=/+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧.

①如图1,过点尸作如心轴于点。，作PELy轴于点E,当PQ=2PE时，求PE的长;

②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得乙4cp=/OCB?若存在，请求出所有点P的

坐标：若不存在，请说明理由.

10.(2022•海南)如图1,矩形ABCO中，A8=6,AD=8,点P在边BC上，且不与点8、

C重合，直线AP与DC的延长线交于点E.

(1)当点P是8c的中点时，求证：△ABP经△ECP；

(2)沿直线AP折叠得到△APS,点落在矩形ABCD的内部，延长交直

线4)于点F.

①证明阳=尸尸，并求出在(1)条件下AF的值；

②连接BC,求△PC9周长的最小值；

③如图2,BB咬AE于点、H,点G是AE的中点，当时，请判断AB与

”G的数量关系，并说明理由.

图1图2

11.(2021•海南)如图1,在正方形ABCD中，点E是边8c上一点，且点E不与点3、C

重合，点尸是8A的延长线上一点，且AF=CE.

(1)求证：△OCEg/\D4尸；

(2)如图2,连接EF,交AD于点K,过点D作DHA.EF,垂足为H,延长DH交BF

于点G,连接HB,HC.

①求证：HD=HB；

②若DK・HC=M，求HE的长.

图1图2

12.(2020•海南)四边形ABC。是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接。E,点F是

射线BC上一动点(不与点8重合)，连接AF,交。E于点G.

(1)如图1,当点F是3c边的中点时，求证：ZXABF之△加£•：

(2)如图2,当点尸与点C重合时，求AG的长；

(3)在点尸运动的过程中，当线段B尸为何值时，AG=AE?请说明理由.

图1图2备用图

七.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）

13.（2022•海南）无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高

度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶。处的俯角为45°,测得楼48楼顶A处的俯

角为60°.已知楼AB和楼C。之间的距离8c为100米，楼AB的高度为10米，从楼

AB的A处测得楼CQ的。处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）.

（1）填空：NAPD=度，ZADC=度；

（2）求楼CZ）的高度（结果保留根号）；

（3）求此时无人机距离地面BC的高度.

14.（2021•海南）如图，在某信号塔A8的正前方有一斜坡CZ）,坡角NC£>K=30°,斜坡

的顶端C与塔底B的距离BC=8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶力的仰角NAEN

=60°,CE=4米，KBC//NE//KD,（点A,B,C,D,E,K,N在同一平

面内）.

（1）填空：/BCD=度，ZAEC-度；

（2）求信号塔的高度4B（结果保留根号）.

15.（2020•海南）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣

工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图，隧道A8

在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上

水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30。，继续飞行1500米到达点Q处，测得点

B的俯角为45°.

（1）填空：乙4=度，NB=度；

（2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）.

（参考数据：加比1.414,A/3^1.732）

八.条形统计图（共1小题）

16.（2021•海南）根据2021年5月11日国务院新闻办公室发布的《第七次全国人口普查公

报》，就我国2020年每10万人中，拥有大学（指大专及以上）、高中（含中专）、初中、

小学、其他等文化程度的人口（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业

生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.

根据统计图提供的信息，解答下列问题:

（1）a—,b=；

（2）在第六次全国人口普查中，我国2010年每10万人中拥有大学文化程度的人数约为

0.90万，则2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比，增长率

是%（精确到0.1%）；

（3）2020年海南省总人口约1008万人，每10万人中拥有大学文化程度的人数比全国每

10万人中拥有大学文化程度的人数约少0.16万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有

万（精确到1万）.

九.概率公式（共2小题）

17.（2022•海南）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生

进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计

图：

学生平均每天完成作业时长学生平均每天完成作业时长

频数分布直方图扇形统计图

n35A:60<x<70

n35

n05B:70<z<80

90

75C:80<x<90

60

45D:90<r<100

30

15E:100<r<110

0

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：

（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是（填写“普查”或''抽样调查”）；

（2）教育局抽取的初中生有人，扇形统计图中，〃的值是;

（3）已知平均每天完成作业时长在“lOOWfVllO”分钟的9名初中生中有5名男生和4

名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，

则恰好抽到男生的概率是;

（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70WfV80”分钟的初

中生约有人.

18.（2020•海南）新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动.某市为了解初

中生每日线上学习时长f（单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了〃名初中生进

行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇

形统计图.

A:0</<1

B.l<r<2

C:2<r<3

D:3<r<4

E:4<r<5

(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是(填写“全面调查”或“抽样调查”),

n=；

(2)从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“3Wt<4”范围的

概率是;

(3)若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“4Wf<5”范围的

初中生有名.

参考答案与试题解析

平方差公式（共1小题）

1.（2020•海南）计算：

(1)|-8IX2-1-V16+(-1)2。2。；

(2)(。+2)(a-2)-a(。+1).

【解答】解：(1)|-8|X2”-岳+(-1)2020,

=8XJL-4+1,

2

=4-4+1,

=1；

(2)(。+2)(a-2)-aCa+\),

=〃2-4-d_Q,

=-4-a.

二.二次根式的混合运算(共1小题)

2.(2021•海南)(1)计算：23+|-3|4-3-V25X51;

2x>-6

(2)解不等式组(x-1/x+1并把它的解集在数轴(如图)上表示出来•

1I1IIIIII1I.

-53-3-2-1012345

【解答】解：(1)原式=8+3+3-5X2

5

=8+1-1

=8；

’2x>-6①

⑵谆《号②‘

Z0

解①得x>-3,

解②得x<2,

所以不等式组的解集为-3<xW2,

解集在数轴上表示为：

三.二元一次方程组的应用（共3小题）

3.（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡

椒和有机白胡椒.已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2

千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白

胡椒的售价.

【解答】解：设每千克有机黑胡椒的售价为x元，每千克有机白胡椒的售价为y元，

依题意得：卜个1°,

l2x+3y=280

解得：卜=50.

]y=60

答：每千克有机黑胡椒的售价为50元，每千克有机白胡椒的售价为60元.

4.（2021•海南）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买

了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励.若购买2副乒乓球拍和1副

羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元.求1副乒乓球

拍和1副羽毛球拍各是多少元？

【解答】解：设购买1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，根据题意得，

（2x4y=280

l3x+2y=480，

解得卜畛°.

ly=120

答：购买1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元.

5.（2020•海南）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3

吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成

全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？

【解答】解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，

依题意，得：（X+y=6，

I3x+5y=22

解得：卜=4

Iy=2

答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天.

四.解一元一次不等式组（共1小题）

6.（2022•海南）（1）计算：V9X3''+234-|-2|；

x+3>2①

(2)解不等式组|2x-l

《1②

3

【解答】解：(1)V9X3'+234-|-2|

=3XA+84-2

3

=1+4

=5；

x+3>2①

⑵\2x-l《1②’

3

解不等式①得：X>-1.

解不等式②得：X<2,

...原不等式组的解集为：-1<XW2.

五.二次函数综合题(共3小题)

7.(2022•海南)如图1,抛物线y=o?+2x+c经过点A(-1,0)、C(0,3),并交x轴于

另一点8,点P(x,y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点£».

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点尸的坐标为(1,4)时，求四边形8OCP的面积；

(3)点Q在抛物线上，当里的值最大且△AP。是直角三角形时，求点。的横坐标；

AD

(4)如图2,作CGJLCP,CG交x轴于点G(〃，0),点H在射线C尸上，且CH=CG,

过G4的中点K作K/〃y轴，交抛物线于点/,连接/H,以出为边作出如图所示正方形

HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标.

【解答】解：(1)由题意得,

fa-2+c=0

Ic=3，

\c=3

该抛物线的函数表达式为：y=-/+2x+3；

(2)当y=0时，-/+2x+3=0,

Axi=-1,%2-3,

：.B(3,0),

VPC2+BC2=[1+(4-3)2]+(32+32)=20,PB2=[(3-1)2+42]=20,

:・Pd+Bd=P留,

：.ZPCB=90°,

，

.•.5APBC=1PC.BC=1XV2X3^=3

=2=

VSABoc=-loB.oCyX31->

q15

S四边形BOCP=SNBC+SABOC=3+—=—；

22

(3)如图1,作尸E〃AB交BC的延长线于E,

设尸(机，-/n2+2^+3),

•:B(3,0),C(0,3),

・,・直线BC的解析式为：y=-1+3,

由-x+3=-〃P+2/77+3得，

x=m-2nh

：.PE=m--2加)=-nT+3m,

•:PE"AB,

:.APDESAADB,

2

APD^PE^-m+3m^-工（m-旦）2+_L,

ADAB44216

当〃?=3时，（旦L）最大

2AD16

当朋=3时，y--（―）2+2XA+3=-l^.,

2224

：.P（2,至），

24

设Q（小-w2+2n+3）.

如图2,当NB4Q=90°时，过点A作y轴平行线AF,作PF_LAF于F,作QG_LAF于

G,则△A"s^GQA,

2nQ4+1

:.n_2n-3_±___

n+115

4

•”一11

3

如图3,当NAQP=90°时，过QN_LAB于N,作PM_LQN于例，可得△ANQS/^QMP,

可得〃1=1,H2=—.

2

作QRJ_PT于R,

,・•〃=看

综上所述：点Q的横坐标为：旦或1或5或工;

326

(4)如图5,作GL//y轴，作RCLGL于L,作MTLKI于K,作HWVIK于点W,则

/\GLC^/\CRH,A/TM^AWW.

图5

:.RH=OG=-n,CR=GL=0C=3,MT=IW,

：.G（〃,0）,H（3,3+〃）,

：.K（皿，皿），

22

.­./（正旦，-（空当2+/+3+3）,

22

^TM=IW9

...空3=（皿）2+〃+6-（3+〃），

22

（«+3）2+2（〃+3）-12=0,

..."1=-4+百§,n2--4-V13（舍去），

；.G（-4+^/13，0）.

8.（2021•海南）已知抛物线丫=亦2+当y与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，且点

4

A的坐标为（-1,0）、点C的坐标为（0,3）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1,若该抛物线的顶点为P,求△尸8c的面积：

（3）如图2,有两动点。、E在ACOB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们

分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C-O-B方向向终点B运动，点E

沿线段BC按B-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止

运动.设运动时间为1秒，请解答下列问题：

①当，为何值时，ABOE的面积等于驾；

10

②在点力、E运动过程中，该抛物线上存在点F,使得依次连接A。、DF、FE、E4得到

的四边形4。尸E是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

【解答】解：(1):抛物线尸症+2+。经过A(-1,0),C(0,3)两点,

4

'9

・a^-r+c=0

••4,

c=3

'=_3_

解得《"T，

c=3

...该抛物线的函数表达式为尸-¥+卜3；

(2):抛物线＞=-公+2+3=-3(x-3)2+正，

444216

二抛物线的顶点尸的坐标为(3,匹)，

216

'-'y--^x2+-^a.+3.令y=0,

44

解得：XI=-1,X2=4,

・・・B点的坐标为(4,0),08=4,

如图，连接OP,

贝！JS^PBC=S^OPC+S^OPB-SdOBC，

=oc-|XP|+OB'|>'p|-1'OB'OC

222

=JLX3X3+AX4X匹-J1X4X3

222162

=9+至-6

48

_-4--5-，

8

.♦.△P8C的面积为里•：

8

(3)①：在△OBC中，BC<OC+OB,

当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动,

：0C=3,08=4,

，在RtAOBC中，8C={OB2+OC2=5，

，0<忘5,

当运动时间为r秒时，BE=t,

如图,

•BN=EN=BE=^>

"BOCOBC5"

:.BN=&t,EN=3t,

55

.,.点E的坐标为（4-生，—r）,

55

下面分两种情形讨论：

I、当点。在线段C。上运动时，0Vf<3,

此时CZ）=f,点。的坐标为（0,37）,

:・SABDE=SABOC-S^CDE-SdBOD

^XBO-CO-ACD«|XE|-^OB-OD

222

=J1X4X3-工Xtx(4-Ar)-JLX4X(37)

2252

=2»,

5

当心血=空■时，2f^型，

10510

解得力=-近.(舍去)，及=叵_<3,

_22

逗.

2

II、如图，当点O在线段OB上运动时，3W/W5,BD=1-t,

SABDE=—BD'EN,

2

=2X(7-r)x3r

25

--3八21/,

1010

当SABDE=2^•时，

10

-3尸+2

101010

解得/3=0运，t4=74<3,

22

又；3WrW5,

•7W5

••I—“,

2__

综上所述，当r=返1■或t=时,SABDE——；

2210

②当点O在线段OC上，过点E作EH〃x轴，过点/作fT/LE”于H,

•.•四边形4DFE是平行四边形，

：.AD=EF,AD//EF,

：.ZADF+ZDFE^\SOD,

'JCO//FH,

：.ZODF+ZDFH=\SOa,

：.ZADO=ZEFH,

又；NAOD=NEHF,

：.^\ADO^/\EFH（A4S）,

：.AO=EH=\,FH=D0=3-t,

:点E的坐标为（4-生,3f）,

55

.•.点F（5-&旦/+3-t）,

55

；.3r+3-f=-旦（5-乡）2+9（5-Ar）+3；

54545

解得：“=至，〃=」五（不合题意舍去），

122

坐标为（曲，型），

36

当点。在线段。8上，过点E作EQJ_A8于Q,过点F作FMLAB于M,

四边形ADFE是平行四边形，

：.AD=EF,AD//EF,

：.ZEAQ^ZFDM,

又；NAQE=Nr>MB=90°,

：./\AEQ^/\DFM(A4S),

：.DM=AQ,EQ=FM,EF=AD=t-3+l=t-2,

:点E的坐标为(4-1/,/),

55

.•.点F(2+A/,3力，

55

-3(2+Az)2+9(2+Af)+3；

54545

解得：6=-30(不合题意舍去)，M=5,

坐标为(3,3).

综上所述：尸坐标为(蛇，也)或(3,3).

36

9.(2020•海南)抛物线y=f+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧.

①如图1,过点P作PO_Lx轴于点。，作PELy轴于点E,当尸力=2PE时，求PE的长;

②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得N4cp=NOCB?若存在，请求出所有点尸的

坐标：若不存在，请说明理由.

0=4+2b+c

0=9-3b+c

解得：。=1,

1c=-6

...抛物线解析式为：y=/+x-6；

(2)①设点尸(a,a2+a-6),

•.•点P位于y轴的左侧，

...“VO,PE=-a,

・：PD=2PE,

/•\ci^+a-6|=-2a9

-6=-2。或cP+a-6=2〃，

解得：八,=(舍去)或。3=-2,“4=3(舍去)

22

；.PE=2或段Y宣-;

2

②存在点P,使得/4CP=N0CB,

理由如下，

:抛物线y=7+x-6与y轴交于点C,

.•.点C(O,-6),

...0c=6,

•.•点B(2,0),点A(-3,0),

：.0B=2,0A=3,

BC-,\/OB2+OC2~V4+36-2A/10>

AC=VOA2-K)C2=V9+36=3娓,

如图，过点A作AHLCP于H,

图2

；NAHC=NBOC=90°,ZACP=ZBCO,

••-BC=--B-O=--O-C,

ACAHHC

-2Vw_=_2___

••3泥瓦记_

.,.AW=^V2_,HC=^^~,

22

设点HCm,n）,

（3、2.）2—（m+3）~+tr,（理W）2=nr+（〃+6）2,

22

'_9f_9

m=/m=下

•Y或〈c，

n=»nR

.•.点“（-9,-旦）或（-_L,_L）,

221010

当”（-9,-3）时，

22

:点C（0,-6）,

...直线”C的解析式为：y=-X-6,

•••/+x-6=-x-6,

解得：x]=-2,x2=0（舍去），

，点尸的坐标（-2,-4）；

当H（-2-L）时，

1010

•.,点C（0,-6）,

直线HC的解析式为：y=-7x-6,

.,.x2+x-6=-7x-6,

解得：x\=-8,%2=0（舍去），

...点P的坐标（-8,50）；

综上所述：点P坐标为（-2,-4）或（-8,50）.

六.四边形综合题（共3小题）

10.（2022•海南）如图1,矩形ABC。中，AB=6,AD=8,点尸在边8c上，且不与点8、

C重合，直线4P与DC的延长线交于点E.

（1）当点P是8c的中点时.，求证：ZlABP出AECP；

(2)'^/XAPB沿直线AP折叠得到点B'落在矩形ABCD的内部，延长交直

线A。于点F.

①证明布=FP,并求出在(1)条件下AF的值；

②连接8C,求△PCS,周长的最小值；

③如图2,BB'交AE于点H,点G是AE的中点，当/£48=2/4后8,时，请判断AB与

"G的数量关系，并说明理由.

图1图2

【解答】(1)证明：•••四边形A8Q9是矩形，

：.AB//CD,

：.NBAP=NE,NB=NBCE,

；点P是BC的中点，

：.BP=CP,

:.丛ABPQ丛ECP(AAS)；

(2)解：①•.•四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZAPB=ZFAP,

由折叠得NAPB=NAPF,

NFAP=NAPF,

：.FA=FP,

矩形ABCD中，AB=6,AO=8,

：.BC^AD=S,

•.•点P是BC的中点，

：.BP=CP=4,

由折叠得AB'=AB=6,PB'=PB=4,NB=NAB'P=ZAB'尸=90°,

设FA=x,则FP—x,

：.FB'=x-4,

在RtAuAB'尸中，AF2=B'产+B'A2,

；./=(x-4)2+62,解得即AF=

22

②由折叠得A8'=AB=6,PB'=PB=4,

AAPCB'MJW-fe=CP+PB'+CB'=CB+CB'=8+CB',

连接BCAC,

"：AB'+B'C>AC,

当点8'恰好位于对角线AC上时，CB'+AB'最小,

在RtZ\ABC中，AB=6,BC=8,

'-AC—｛针+§2=10，

...CB'的最小值=4(7-48'=4,

.•.△PCS'周长的最小值=8+CB'=8+4=12；

③AB与HG的数量关系是AB=2HG.

理由：如图，

由折叠可知N1=N6,AB'=AB,BB,LAE,

过点8作交AE于点M,

J.AB//DE,

：.AB//DE//B,M,

：.Zl=Z6=Z5=ZAED,

：.AB'=B'M=AB,

...点〃是AM中点，

"：ZEAB'=2ZAEB',即N6=2N8,

.\Z5=2Z8.

VZ5=Z7+Z8,

AZ7=Z8.

：.B'M=EM.

：.B'M=EM=AB'=AB.

•.•点G为AE中点，点”是4"中点，

：.AG=^AE,A4=LM.

22

：.HG=AG-AH=1.(AE-AM)=、EM.

22

2

:.AB=2HG.

11.(2021•海南)如图1,在正方形ABC。中，点E是边BC上一点，且点E不与点8、C

重合，点F是8A的延长线上一点，且AF=CE.

(1)求证：XDCE会

(2)如图2,连接£F,交AD于点K,过点力作。〃_LEF,垂足为“，延长DH交BF

于点G,连接“8,HC.

①求证：HD=HB；

②若DK・HC=®求HE的长.

图1图2

【解答】解：(1)♦.•四边形ABC。为正方形，

：.CD=AD,ZDCE=ZDAF=90°,

VCE=AF,

：.i\DCE^/\DAF(SAS)；

(2)®'：/\DCE^/\DAF,

：.DE=DF,4CDE=NADF,

：.ZFDE=ZADF+ZADE=NCDE+NADE=NAOC=90°,

...△QFE为等腰直角三角形，

"JDHLEF,

.•.点”是EF的中点，

：.DH=^EF,

2

同理，由48是RtZXEBF的中线得：HB=LEF,

2

:.HD=HB；

②；四边形ABC。为正方形，

故CQ=CB,

"：HD=HB,CH=CH,

:.△DCH妾ABCH(SSS),

：.ZDCH=ZBCH=45°,

/\DEF为等腰直角三角形，

J.ZDFE^45°,

/.NHCE=NDFK,

；四边形ABC。为正方形，

：.AD//BC,

：.ZDKF^ZHEC,

：ADKFs/\HEC,

•••-D-K=-D-F-,

HEHC

：.DK-HC=DF*HE,

在等腰直角三角形OF"中，DF=®HF=®HE,

DK・HC=DF*HE=J^H?=H，

：.HE=l.

12.(2020•海南)四边形ABC。是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接OE,点尸是

射线8c1上一动点(不与点8重合)，连接AF,交。E于点G.

(1)如图1,当点尸是BC边的中点时，求证：aAB尸名△D4E；

(2)如图2,当点尸与点C重合时，求AG的长；

(3)在点尸运动的过程中，当线段为何值时，AG=AE?请说明理由.

图1图2备用图

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO是正方形，

：.ZB=ZDAE=90c，,AB=AD=BC,

•.•点E,F分别是AB、BC的中点，

：.AE=^AB,BF=LBC,

22

：.AE=BF,

：./\ABF^/\DAE(SAS)；

(2)在正方形ABC。中，AB//CD,ZADC=90°,AD=CD=2,

AVAD2-K!D2-722+22-2V2>

'：Mi//CD,

：.△AGES/XCGO,

...旭=里即_^_=上，

CGCD2V2-AG2

.•.AG=会反；

3

(3)当8尸=3•时，AG=AE,理由如下：

3

如图所示，设4尸交CO于点M,

若使AG=AE=1,则有/1=N2,

'JAB//CD,

，Nl=/4,

又：N2=/3,

/.Z3=Z4,

：.DM=MG,

在Rt/XAOM中，AM2-DM2=AD1,即（DM+1）2-DM2=22,

解得OW=3,

2

CM=CD-0M=2-3=2，

22

\'AB//CD,

：./\ABF^/\MCF,

.=幽即工=2,

CFMCBF-2±

2

：.BF=3.,

3

故当8尸=图■时，AG=AE.

3

七.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）

13.（2022•海南）无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高

度，无人机在空中P处，测得楼C£＞楼顶。处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A处的俯

角为60°.已知楼48和楼CD之间的距离2c为100米，楼A8的高度为10米，从楼

A8的A处测得楼CC的。处的仰角为30°（点A、B、C、D、尸在同一平面内）.

（1）填空：NAPD=75度,ZADC=60Jt;

（2）求楼CQ的高度（结果保留根号）；

（3）求此时无人机距离地面BC的高度.

【解答】解：（1）,ZNPD=45Q,

，/4尸。=180°-ZMPA-ZNPD=75°.

过点A作AELCD于点E.

则NDAE=30°,

AZADC=180°-90°-30°=60°.

故答案为：75；60.

（2）由题意可得AE=2C=100米，EC=4B=10米,

在RtZVIE。中，ND4E=30°,

tan300=DE_=PE=V3_,

AE1003

解得DE=100^,

3_

：.CD=DE+EC=（.10Q2/3..+1O）米.

3

...楼8的高度为（幽返+10）米.

3

（3）过点尸作尸G,8c于点G,交AE于点F,

则NP/^=/AE£)=90°,FG=A8=10米，

'JMN//AE,

二N外尸=NM附=60°,

VZADE=60°,

J.ZPAF^ZADE,

；ND4E=N30°,

：.ZPAD=3O°,

VZAPD=15°,

AZADP=15°,

NADP=ZAPD,

贝ljAP=AD,

：./\APF^^\DAE(AAS),

.•.PF=AE=100米，

APG=PF+FG=100+10=110(米).

，此时无人机距离地面BC的高度为110米.

14.(2021•海南)如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CZ),坡角NCDK=30°,斜坡

的顶端C与塔底B的距离8c=8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角NAEN

=60°,CE=4米，5.BC//NE//KD,A8_L8C(点A,B,C,D,E,K,N在同一平

面内).

(1)填空：NBCD=150度,NAEC=30度:

（2）求信号塔的高度A3（结果保留根号）.

/.ZBCD+ZD=180°,

又；N£>=30°,

/.ZBCD=180°-30°=150°,

'：NE//KD,

...NCEN=N£>=30°,

又,.,NAENuGO。，

：.NACE=NAEN-/CEN=60°-30°=30°,

故答案为：150,30；

(2)如图，过点C作CGJ_EM垂足为G,延长AB交EN于点F,

在Rt/XCEG中，VZC£G=30",CE=4m,

.•.CG=」CE=2(m)=BF,

2

:.EG=MCG=2如(m),

设A8=x,则AF=(x+2)mt

EF=BC+EG=(8+273)m,

在Rt/XAE尸中，；N4EN=60°,

:.AF=MEF,

即》+2=北(8+2日)，

x=(4+873)m,

即信号塔的高度A8为（4+8愿）m.

15.（2020•海南）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣

工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图，隧道AB

在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上

水平飞行，到达点尸处测得点A的俯角为30°,继续飞行1500米到达点。处，测得点

B的俯角为45°.

（1）填空：NA=30,度,NB=45度；

（2）求隧道4B的长度（结果精确到1米）.

（参考数据：A/2^1.414,窝比1.732）

【解答】解：（1）•••点P处测得点4的俯角为30°,点Q处测得点B的俯角为45°,

工/4=30度，/8=45度；

故答案为：30,45；

（2）如图，过点P作尸于点过点Q作于点N,

则PM=QN=450（米），MN^PQ=1500（米），

AM

.\AM=-^L=4^-=450V3（米），

tanA73

~3~

在RtZiQNB中，VtanB=M,

NB

：.NB=―翅—=岂双=450（米），