人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时2》教学设计

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计

课时2两个基本计数原理的综合应用

必备知识学科能力学科素养高考考向

学习理解能力

概括理解数学抽象

分类加法计数应用实践能力逻辑推理

原理分析计算数学建模【考查内容】

推测解释数学运算两个基本计数原理的实际应用

简单问题解决【考查题型】

创造迁移能力选择题、填空题、解答题

综合问题解决

猜想探究数学抽象

分步乘法计数

逻辑推理

原理

数学运算

一、本节内容分析

本节内容是第六章“计数原理''第1节的内容，计数就是数数,原理是在大量观察、实践的基础

上，经过抽象、归纳、概括而得出具有普遍意义的基本规律.两个计数原理不仅是继续学习排列、

组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知

识.

从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运

算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证.

从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若

干“类别”，再分类解决;运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干

“步骤”,先对每个步骤分类处理，再分步完成.综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多

个单一问题,再对每个单一问题各个击破.也就是说，两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、

分类与整合的思想和特殊与一般的思想.

从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简,是理解和掌握两个计数原理

的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的.

本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核数学抽象核

心1.分类加法计数原理逻辑推理心

知2.分步乘法计数原理数学建模素

识数学运算养

二、学情整体分析

计数问题学生并不陌生，在不同的学段都有相应的接触.两个计数原理虽简单，易学好懂，但

如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方

法，实现认知的飞跃,则是本课必须要突破的难点.为此，抓住以下两个要点尤为重要：

一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳、提炼的过程，加强学生应用两个计数原

理解决问题的意识一一这是有效提升学生抽象概括能力的契机.

二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素,即弄清“完成一件事”的含

义和区分“分步”与“分类”的特征一一这是如何选择两个计数原理的关键.

学情补充:__________________________________________________________________________

三、教学活动准备

【任务专题设计】

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其应用

2.两个基本计数原理的综合应用

【教学目标设计】

1.通过给出的具体实例，学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程，能归纳出两个计数

原理，并能说出两个计数原理的联系与区别，体会从特殊到一般的思维过程.

2.根据具体的问题情境，学生能描述“完成一件事”的具体含义，说出“分类”与“分步”的区别,

总结出应用两个计数原理的基本步骤.

3.会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题,领悟运用两个计数原理所包

含的化归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法,以及以退为进的思维策略.

【教学策略设计】

本节课是概念原理课的教学典范.拟定采取以退为进的教学策略，采用“情境引入一问题诱

导一实例探究一抽象概括一原理应用一归纳总结一拓展铺垫''的探究发现式教学方法,紧紧围

绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开,通过典型丰富的实例引导学生归纳

出两个计数原理,并能学会初步应用.

【教学方法建议】

探究教学法，还有_________________________________________________________________

【教学重点难点】

重点1.归纳出分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

2.能用两个基本计数原理解决简单的实际问题.

难点1.正确理解“完成一件事”的含义.

2.根据实际问题具体特征准确区分“分类”和“分步”.

【教学材料准备】

1.常规材料:多媒体课件、___________________________________________________

2.其他材料:_________________________________________________________________

四、教学活动设计

教学导入

师:同学们,前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理.其实在生活中有非常

多的计数原理，例如某一年世界杯的比赛场数.

师:我们思考下面的问题.

问题1:某一年世界杯开赛前，中央电视台某位记者通过网络测试了解到观众最感兴趣欧洲

球队和美洲球队如下：

欧洲球队美洲球队

德国巴西

英格兰阿根廷

西班牙乌拉圭

意大利

法国

他决定从这些球队中选择一个跟踪采访,试问:他有几种选择方式?

生:把两类球队数相加即可,5+3=8.

问题2:某一年世界杯小组赛中,A小组成员有:南非、墨西哥、法国、乌拉圭，在小组赛前，你

能计算前两名的可能情况有多少种吗？

生:12种.

师:谈谈你的想法.

生:如果第一名是南非，第二名可以是墨西哥或法国或乌拉圭,共三种方法;当然第一名还可

能是墨西哥或法国或乌拉圭，所以方法数为4x3=12.

师:在分步乘法计数原理中，第1步采用的方法与第2步采用的方法之间有影响吗？

生:无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取.

师:你能总结两个计数原理的区别与联系吗？

【学生总结，教师补充并展示】

【先学后教】

教师先提出问题，学生在规定的时间内进行思考,学生独立完成并回答，教师点拨，学生体会

出两种计数原理的区别,以达到精教的目的.

【概括理解能力】

让学生在复习过程中体会这两种基本计数原理的区别与联系，引导学生理解基本计数原理,

能对问题进行归纳概括，培养学生概括理解能力.

【归纳总结】

两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理分步乘法计数原理

每一步得到的只是中间结果（最后一步除

每类办法都能独立地完成这件事,它是独

外），任何一步都不能独立完成这件事，缺

区别一立的、一次的，且每次得到的是最后结果，

少任何一步也不能完成这件事，只有各步

只需一种方法就可完成这件事

都完成了，才能完成这件事

各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不

区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的

遗漏,“独立”确保不重复

联系这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法个数

【整体学习】

运用表格让学生更清晰地理解两个计数原理，为后面典型例题解析提供了知识储备.

教学精讲

师:下面我们根据学习到的知识,解决问题吧！

【典型例题】

分类加法计数原理的应用

例1从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7

人,他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？

师：(1)分别每个班选一个人，完成了这件事吗？

(2)每个班选的这个人之间是什么关系?用计数原理如何解决？

【学生积极思考，合作交流，教师指定同学回答问题】

生1:(1)选一个人就完成了这件事，一步就能完成.

生2:(2)这一个人的选取可以在四个班选择，共四类.

追问:那么这是用了什么计数原理呢？

生3:分类加法计数原理.

生4:解:分四类：

从一班中选一人，有4种选法;从二班中选一人，有5种选法；

从三班中选一人，有6种选法;从四班中选一人，有7种选法.

共有不同选法N=4+5+6+7=22(种).

师:分类加法计数原理要注意什么问题？

生:确保分类标准时要每一类都能独立地完成这件事.

师:请同学们思考讨论，如何用计数原理来分析？

【设活动深探究】

教师将问题拆分细化为可执行的多个小问题，并由不同的学生回答解决，符合学生的思维习

惯.既降低了题目的难度，又增强了学生思考，达到少教精教的目的.一题一总结，体现了方法的系

统性.

【先学后教】

教师提出问题，学生思考,教师点拨总结，整理答案，先学后教,使学生对知识理解更深刻.

【巩固练习】

分类加法计数原理的应用

1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

2.（变结论）:在所有的两位数中，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数.

3.（变条件，变结论）:用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？

【学生讨论】

师:请同学们上黑板写出过程.

生：1.解法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成9类，在每一类中满足题

目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,0个.由分类加法计数原理知，符合题意

的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.

解法二按个位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分成10类，在每一类中满足条件的两位数分

别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有

1+2+3+4+5+6+7+8=36（4'）.

生解：2.两位数为偶数的数字的个数为2,4,6,8,共4类，在每一类中满足题目条件的两位数分

别是1个,3个,5个,7个,所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1+3+5+7=16（个）.

生解:3.按百位上的数分别是1,2,3的情况分成3类，在每一类中满足条件的三位数分别是2

个,2个,2个,所以按分类加法计数原理知，满足条件为三位数共有2+2+2=6（个）.

【分析计算能力】

通过练习以及变式训练，增强学生对知识和方法的理解和掌握,培养学生的分析计算能力，

通过一题多解，拓宽学生的思维广度，培养学生解决问题，分析问题的分析计算能力.

师:由此我们可归纳总结如下的结论.

【师生共同总结,教师补充后并展示】

【归纳总结】

分类加法计数原理中的“完成一件事有几类不同方案”

分类加法计数原理中的“完成一件事有几类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分

为几类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务是不受其他类限制的，即类与类互不相

容.

利用分类加法计数原理计数时的解题步骤:

【概括理解能力】

通过练习,师生共同总结和用分类加法计数原理计数时的解题步骤，学生在总结过程中锻炼

了概括理解能力.

师:下面我们看例2.

【典型例题】

分步乘法计数原理的应用

例2要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,共有多

少种不同的挂法？

师:⑴选1幅画能完成这件事吗?

(2)要选几幅画能完成这件事？

生:选1幅画不能完成这件事，需选2幅画才能完成这件事，所以分2步来完成.

师:现在请同学们独立做题.

生解：6种挂法可以表示如下.

左边右边得到的挂法

左甲右乙

左甲右丙

左乙右甲

左乙右丙

左丙右甲

左丙右乙

从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成:第1步，从3幅画中选1幅

挂在左边墙上，有3种选法;第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘

法计数原理，不同挂法的种数是N=3X2=6.

【分析计算能力】

运用变式训练，对不同的情境转化为数学问题,提升了学生转化与化归能力.通过一题多变，

让学生感受到题目条件的变化对题目的影响，加深学生对题目的理解.提升分析计算能力.

师:分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都

完成才算做完这件事.下面我们进行巩固练习.

【巩固练习】

分类乘法计数原理的应用

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个

四位数的号码？

师:拨几个号码才能完成这件事？

生:拨出一个四位数号码，才能完成这件事，应用分步乘法计数原理.

师:现在请2名同学板演,其余同学独立做题.

生解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第一步，有10种拨号方式,所以叫=10;

第二步，有10种拨号方式,所以乙=10;

第三步，有10种拨号方式，所以"4=10；

第四步，有10种拨号方式,所以砥=10.

根据分步乘法计数原理，共可以组成N=10xl0xl0xl0=10000（个）四位数的号码.

【深度学重推理】

让学生在探究过程中观察、发现、类比、猜想得出方法，这是数学中提倡的教学方法，是培

养创造性的思维活动.在注重思维结果的同时，更注重思维过程.

【先学后教】

以问题串的形式，教师提出问题,学生积极思考，从而解决问题.

师:如果改变一下条件，可以组成多少个四位数的号码？

【巩固练习】

分类乘法计数原理的应用

若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？

生解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第一步，有10种拨号方式，即町=10;

第二步，有9种拨号方式，即生=9;

第三步，有8种拨号方式，即/=8;

第四步，有7种拨号方式，即砥=7.

根据分步乘法计数原理，共可以组成N=10x9x8x7=5040(个)四位数的号码.

【分析计算能力】

在拨号盘上拨号规则，由数字重复到数字不重复，学生体会问题设置的不同，通过变式和关

联解决问题,提升分析计算能力.

师:由此可总结利用分步乘法计数原理计数时的解题步骤如下.

【归纳总结】

利用分步乘法计数原理解题步骤

<^>~，将完成这件事的过程分成若干步)

<w>~~，求出每一步中的方法数1

<^>―，将每一步中的方法数相乘得最终结果;

师:下面请看例3.

【典型例题】

两个计数原理的综合应用

例3给程序模块命名,需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要

求用数字1—9,最多可以给多少个程序模块命名？

师：(1)要完成的一件事是什么？

(2)应该分几步完成?如何进行分步？

(3)首字符有几种选择?有几种情况?分几类？

生:给一个程序模块命名，可以分三个步骤完成:第1步，选首字符;第2步,选中间字符;第3步,

选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.

师:请同学们独自做题.

生解:由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.

后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.

由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13x9x9=1053,即最多可以给1053个程序模块命

名.

师:如何区分一个问题是“分类”还是“分步”?如何区别两个基本计数原理?如何避免重复情

况出现或是漏掉相关情况？

生:如果完成这件事，可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都可以完成任务，则是分类;

而从其中任何一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才完成

这件事，则是分步.

【以学定教】

通过基本计数原理在计数方面的应用,提升了学生概括理解能力和分析计算能力.教师通过

设置问题串,符合学生的思维习惯，达到以学定教的目的.

师:(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给

出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.

(2)分类标准要明确，做到不重不漏,有时要恰当地画出示意图或树状图，使问题的分析更直

观、清楚，便于探索规律.

(3)混合问题一般是先分类再分步.

【意义学习】

让学生将生活中实际问题转化为数学问题，体会这两种基本计数原理的区别与联系，培养学

生总结与归纳能力和创新能力.

师:下面根据上面总结的结论解决例4.

【典型例题】

两个计数原理的综合应用

例4电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制

的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计

算机能够识别字符,需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节表示，其中字节是计算

机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.

(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？

(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每

个汉字至少要用多少个字节表示？

【综合问题解决能力】

引导学生根据所理解的概念，对程序测试问题利用数学建模转化为数学问题.利用基本计数

原理将问题简单化，提升学生的数学运算核心素养.

师:请思考第(1)问要完成的一件事是什么？有无顺序?用哪个计数原理？

第(2)问该如何求解？

生:第(1)问要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字由于每个字节有8个二进

制位，每一位上的值都有0,1两种选择，且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数

原理求解.第(2)问只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.

师解：(1)用下图表示1个字节.

第1位第2位第3位第8位

■皆燃.,官:亲:水

...承及:.”

2种2种2种

1个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理,1个字节最多可以表示不同字

符的个数是2x2x2x2x2x2x2x2=28=256.

(2)由(1)知,1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字

符，前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理,2

个字节可以表示不同字符的个数是256*256=65536.

这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要

用2个字节表示.

【先学后教】

教师先规定学习任务，在具体的问题情境中，学生根据教师列出的问题的特点，自主思考后，

回答解题思路，教师再讲例题.

师:下面请看例5题.

【典型例题】

两个计数原理的综合应用

例5计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多

少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序

模块由许多子模块组成,下图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？

另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计测试方法，以

减少测试次数吗?

【简单问题解决能力】

运用不同情境下的多元化的多方位的实际问题,体会分类加法和分步乘法原理的区别和联

系，提升简单问题解决能力.

师:(1)整个模块的任意一条执行路径都分几步完成？

(2)每一步包含几个模块？

(3)用到哪个计数原理？

(4)如何做可以减少测试次数？

【概括理解能力】

引导学生根据所理解的概念，将实际问题数学化，拓宽解题思路，能对问题利用基本计数原

理进行归纳概括，独立完成,培养概括理解能力.

生：(1)整个模块的任意一条执行路径都分两步完成.

(2)第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成，第2步可由子模块4、子模块5

中任何一个来完成.

(3)需要用到两个计数原理.

生解:由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+

45+28=91;

子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.

又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91x81=7371.

师:在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱,即通过只考察是否执行了正

确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的

工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.

再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步

中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3x2=6.

师:你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？

生:如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模

块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.

师:显然,178与7371的差距是非常大的.下面我们继续解决问题.

【综合问题解决能力】

通过例5解决两个计数原理的综合应用，在解题过程中体会“分类”与“分步”的不同,掌握正

确解题方法，提升综合问题解决能力.

【典型例题】

两个计数原理的综合应用

例6通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、

直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序

号,如图：

翼AJR005

省、自治区、序号

直辖市简称

发牌机关代号

序号的编码规则为：

(1)由10个阿拉伯数字和除0,1之外的24个英文字母组成；

(2)最多只能有2个英文字母.

如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?

师：(1)号码有无顺序?可不可以重复？

(2)如何分类？

(3)每一类可以分几步？

生:每个序号中的数字、字母都是可重复的,并且可将序号分为三类:没有字母，有1个字母，

有2个字母.

师:序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数.以字母所在位置为分类标准，

可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类.

【学生独立做题】

生解:(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每步都可以

从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为

10x10x10x10x10=100000.

(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类

序号可以分为五个子类.

当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步，从24个字母中选1个放

在第1位，有24种选法;第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步

乘法计数原理，号牌张数为24x10x10x10*10=240000.

同样，其余四个子类号牌也各有240000张.

根据分类加法计数原理,这类号牌张数一共为

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

(3)当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和

第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，

第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1,2步,都是从24个字

母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法;第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位

置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为24x24x10x10x10=576000.

同样，其余九个子类号牌也各有576000张.

于是,这类号牌张数一共为576000X10=5760000.

综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为

100000+1200000+5760000=7060000.

【教学预设效果生成】

通过例6,巩固复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，提升学生的数学逻辑推理能力

和数学运算能力，实现本节课教学目标.

【以学论教】

采用问题式、螺旋上升为主的教学方法，引导学生自己获取新知识.温故知新，利用“探究'’引

导学生分析问题的本质.“类''间互相独立，“步”间互相联系.混合问题一般是先分类再分步.分类

标准要明确，做到不重复，不遗漏.

【概括理解能力】

学生总结，教师补充共同完善用两个计数原理解决计数问题的方法,提升概括理解能力.

师:这节课我们就学到这里，你能总结用两个计数原理解决计数问题的方法吗？

【学生归纳总结，教师补充并展示多媒体】

【归纳总结】

用两个计数原理解决计数问题的方法

1.用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：

(1)要完成的"一件事''是什么；

(2)需要分类还是需要分步.

2.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，

得到总数.

3.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤,恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数,

最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.

师:通过这节课,你学到了什么知识？

【课堂小结】