人教版八年级上册数学教案13. 3. 1等腰三角形

13.3.1等腰三角形

第2课时

【教学目标】

知识与能力

1.理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论

2.能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.

过程与方法

探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.

情感态度与价值观

通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通

过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生

利用已有知识解决实际问题的能力.

【重点难点】

重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用.

难点：正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定

理证明线段的相等关系.

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸

上一棵树（B点）为B标,然后在这棵树的正南方（南岸A点插一小旗作标志）

沿南偏东60。方向走一段距离到C处时，测得NACB为30°,这时,地质专

家测得AC的长度就可知河流宽度.

学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学

生学习“等腰三角形的判定”.

8北

南

二、探究归纳

活动一:探究等角对等边

1.问题1:如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到0处遇险船只的报警,

当时测得NA=NB.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约

同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

0

AB

同学们思考上面的问题并讨论：

［生1］应该能同时赶到出事地点.因为两艘救生船的速度相同，同时出发,

在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB,所以两船能同时赶到

出事地点.

［生2］我认为能同时赶到.0点的位置很重要,也就是NA如果不等于NB,

那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.

2.问题2:在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什

么关系？

学生思考讨论,教师订正点拨.

上面问题转化为已知:在4ABC中，NB=NC（如图）.

求证:AB=AC.

A

BDC

证明：作NBAC的平分线AD.

在ABAD和4CAD中，

因为N1=N2,ZB=ZC,AD=AD,

所以4BAD之Z\CAD（AAS）.所以AB=AC.

3.师引导学生总结证明的结论：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么

它们所对的边也相等，也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回

答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角

形.

4.归纳:等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两

个角所对的边也相等（简写成”等角对等边”）.

5.教师引导学生明确：等腰三角形的判定定理与性质的关系：判定定理与

性质定理是互逆的，性质:|线段相等卜丽得；判定:|角相等H线段相等•

6.点拨：（1）性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角

形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边,所以应用起来更简单、

便捷.

⑵等腰三角形的判定方法的理解

教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理，二是定义.

另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等

腰三角形.但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰

三角形.

活动二:活动与探究

［探究1］等腰三角形两底角的平分线相等.

分析:利用等腰三角形的性质即等边对等角、全等三角形的判定及性质.

已知:如图，在4ABC中,AB=AC,BD、CE是AABC的平分线.

求证:BD=CE.

证明：因为AB=AC,

所以NABC=NACB（等边对等角）.

因为N1=±NABC,Z2=-ZACB,

22

所以N1=N2.

在aBDC和4CEB中，

因为NACB=NABC,BC=CB,Z1=Z2,

所以aBDCgZSCEB（ASA）.

所以BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

［探究2］等腰三角形两腰上的高相等.

已知:如图，在4ABC中，AB=AC,BE、CF分别是AABC的高.

A

求证:BE=CF.

证明：因为AB=AC,

所以ZABC=ZACB（等边对等角）.

又因为BE、CF分别是AABC的高，

所以NBFC=NCEB=90°.

在4BFC和ACEB中，

因为NABC=NACB,ZBFC=ZCEB,BC=CB,

所以ABFC之ACEB(AAS).

所以BE=CF.

［探究3］等腰三角形两腰上的中线相等.

已知：如图，在AABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.

求证:BD=CE.

证明：因为AB=AC,

所以ZABC=ZACB(等边对等角).

又因为CD=-AC,BE=-AB,

22

所以CD=BE.

在ABEC^DACDB中，

因为BE=CD,NABC=NACB,BC=CB,

所以aBEC也△CDB(SAS).

所以BD=CE.

活动三:等腰三角形的判定定理的应用

例1:如图,BE平分ZABC,交AC于E,过E作DE〃BC,交AB于D.试证明ABDE

是等腰三角形.

分析:根据等角对等边进行判定.

证明：因为DE〃BC,

所以NEBC=NDEB.

因为BE平分NABC,

所以NDBE=NEBC.

所以NDBE=NDEB.

所以BD=DE,即4BDE是等腰三角形.

总结:等腰三角形判定三种方法

⑴当三角形有两条边相等时一，应用“有两条边相等的三角形是等腰三角

形”来判定三角形是等腰三角形.

⑵当三角形中有两个角相等时一，应用“如果一个三角形有两个角相等，那

么这两个角所对的边也相等”来证明.

⑶当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时.应用“线段垂直

平分线上的点到线段两端点的距离构成的三角形是等腰三角形”来证明.

例2:求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个

三角形是等腰三角形.

分析：这个题是文字叙述的证明题，我们首先将文字语言转化成相应的数

学语言,再根据题意画出相应的几何图形.

已知：NCAE是AABC的外角，N1=N2,AD〃BC（如图）.E

求证:AB=AC.%—D

证明：因为AD〃BC,/\

BC

所以N1=NB（两直线平行，同位角相等），

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

又因为N1=N2,

所以NB=NC,

所以AB=AC(等角对等边).

例3:如图(1),标杆AB的高为5米,为了将它固定，需要由它的中点C向地

面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上,

量得DE=4米,绳子CD和CE要多长？

分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题

抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上

的高,求腰长的问题.

解:选取比例尺为1：100(即为1cm代表1m).

(1)作线段DE=4cm;

⑵作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B;

⑶在MN上截取BC=2.5cm;

(4)连接CD、CE,ACDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出

要求的绳长.

三、交流反思

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作

了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和

抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力.

四、检测反馈

1.如图，在4ABC中，ZB=ZC,AB=5,则AC的长为()

A

5

------------------------4c

A.2B.3

C.4D.5

2.如图，把两个一样大的含30°的直角三角板，按如图方式拼在一起，其中

等腰三角形有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，NB=NC=36°,ZADE=ZAED=72°，则图中的等腰三角形的个数为

()

A.3个B.4个

C.5个D.6个

4.如图，ZC=36°,ZB=72°,ZBAD=36°,AD=4,则CD=.

A

5.如图,SAABC中，点D在BC边上，且AC=AB=BD,DA=DC,贝ijNBAC=___.

A

BDC

6,已知：如图,AD〃BC,BD平分NABC.

求证:AB=AD.

AD

7.上午8时,一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行，11时到

达海岛B处，从A、B望灯塔C,测得NNAC=40°,ZNBC=80°,求从海岛B到

灯塔C的距离.

8.如图，在ZiABD中,C是BD上的一点，且AC±BD,AC=BC=CD.

⑴求证：AABD是等腰三角形.

⑵求NBAD的度数.

五、布置作业

教科书P79练习第1,2,3,4题

六、板书设计

13.3.1等腰三角形（第2课时）

一、等腰三角形的判定定理一一等角对等边

二、等腰三角形判定定理的应用

七、教学反思

等腰三角形的判定定理，（该定理是证明两条线段相等的重要定理，它

是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证

明线段相等提供了又一种方法）；本节内容的难点是性质定理与判定定理

的区别（等腰三角形的性质定理与判定定理是互逆定理，学生们在应用它

们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节课的难

点）；另外由于知识点的增加，题目复杂程度的提高，一定要让学生真正理

解定理，让学生逐步掌握解题的思想方法，才能在解题时结合条件选择定

理加以应用.

等腰三角形的性质定理一等边对等角的逆命题,顺利提出本节课我们

所要解决的问题，引出课题《等腰三角形的判定》.

操作：在纸上画AABC,使NB=NC（利用量角器）；再用量角器画出N

BAC的平分线AD,设AD与BC相交于点D.三角形纸片可让学生课前准备,

鉴于学