2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式的乘除（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式的乘除（提高）知识讲解【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)与都是的算术平方根；(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

要点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根:

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点诠释：与都是的算术平方根.要点三、最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9（2），（3）】1.（1）；（2）.【答案与解析】解：（1）原式＝＝.(2)原式＝.【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9（4）】【变式】化简：【答案】解：原式＝＝2.计算：(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】解：(1)原式＝-÷＝-＝＝-；(2)原式＝-2＝-2＝-a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】解：由题意得，即,

∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x＝8.

∴原式＝(1+x)＝(1+x)＝(1+x)＝.

∴当x＝8时，原式的值＝＝6．类型二、最简二次根式

3.（x＞0，y＞0）【思路点拨】根据二次根式的乘除法把根号外的相乘除，根号里的相乘除再化简即可．【答案与解析】解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴原式=﹣=﹣3xy．【总结升华】本题主要考查了最简二次根式及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．4.（2016•罗平县三模）观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列得到第10个数据应是（结果化为最简二次根式）【思路点拨】根据观察，可发现规律：（﹣1）n+1，根据规律，可得答案．【答案与解析】解：由规律：（﹣1）n+1，得第10个数据为：（﹣1）11=-=﹣3，故答案为：﹣3．【总结升华】本题考查了最简二次根式，观察数据发现规律是解题关键．举一反三：【变式1】若的整数部分是，小数部分是，求的值.【答案】解：.又因为整数部分是，小数部分是，则＝13，＝.＝.【变式2】阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）（n≥2，且n为整数）（3）化简：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案为：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.二次根式的乘除（提高）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.若（）.A．-1B.1C.2x-1D.1-2x2.（2015春•北流市期中）已知m=+1，n=，则m和n的大小关系为（）A．m=n B．mn=1 C．m=﹣n D．mn=﹣13.（2016春•天津期末）下列计算正确的是（）A．=2 B．（）2=4 C．×= D．÷=34.把根号外的因式移到根号内，得（）．A．B．C．D．5.设用含的式子表示，则下列表示正确的是（）.A.B.C.D.6.若,那么的值是（）.A．1B.-1C.D.二、填空题7.计算___________,=_______________.8.=________.9.若互为相反数，则x=_____________.10.已知=___________.

11.（2015春•周口期末）已知a=+，b=，则a与b的大小关系是ab．12.计算：=_______________________.三、解答题13.（2016春•滑县校级月考）已知=，且x为偶数，求（1+x）的值．14.若15.若成立，化简.【答案与解析】一、选择题

1．【答案】A【解析】所以选A.2．【答案】A【解析】解：因为n==，m=+1，所以m=n；又因为mn==4所以mn≠1，mn≠﹣1，所以选项B、D错误．故选：A．3．【答案】C【解析】解：A、=4，故此选项错误；B、（）2=2，故此选项错误；C、×=，此选项正确，D、÷=，故此选项错误；故选：C．4．【答案】C5．【答案】A【解析】因为=.6．【答案】D【解析】.则，则=.二、填空题7．【答案】8．【答案】-69．【答案】0【解析】因为互为相反数，所以则.10.【答案】1【解析】=.11．【答案】=；【解析】解：∵b===，又a=+，∴a=b．故答案为：=．12．【答案】【解析】=＝.三、解答题.

13.【解析】解：∵=，∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8，则（1+x）=（1+x）===6．14.【解析】解：因为，所以,.所以＝.15【解析】解：∵成立，∴.即.则===7+.二次根式的加减（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

要点诠释：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.

2.合并同类二次根式

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.要点诠释：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数.

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.（3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并.要点二、二次根式的加减

二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：

1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

3)合并同类二次根式.

要点三、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.（2015•浦东新区二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A.-1B.0C.1D.2【思路点拨】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【答案】C.【解析】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故选：C．【总结升华】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是().A.=2，=1B.=1，=2C.=1，=-1D.=1，=1【答案】D.根据题意，得

解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算：(1)+；(2).【答案与解析】解：(1)+=.【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】（1）（2015春•建湖县期末）4﹣+．（2）（2015春•文安县期末）．【答案】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2=．类型三、二次根式的混合运算

3.（2016•德州校级自主招生）计算：．【思路点拨】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．【高清课堂：高清ID号：388064关联的位置名称（播放点名称）：巩固练习4-5】4、计算：已知，则=_______,=________.【答案】1；10.【解析】【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知求的值.【答案与解析】解：..所以原式=.二次根式的加减（基础）巩固练习一.选择题

1.（2015春•荔城区期末）下列二次根式，不能与合并的是（）

A．B．C．D.

2.（2017•德州校级自主招生）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3.下列计算中，正确的是（）.

A．B．

C．D．

4.若，则的值等于（）.

A.4B.C.2D.

5.计算等于（）.A．7B.C.1D.6.下列计算正确的是（）.A.B.C.D.二.填空题7．化简基础训练：

__________；__________；__________；__________；

__________；__________；__________；__________；8.如果+=0，那么=．9.当_________时，最简二次根式可以合并.10.一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.11.计算=__________________.12.=________________.三.解答题13.（2016春•寿光市期末）计算．14.化简求值：，其中.15.（2015•江西校级模拟）已知x=，y=，求的值．【答案与解析】一.选择题1．【答案】B.【解析】=2，A、=4，能合并，故本选项错误；B、=3，不能合并，故本选项正确；C、==，能合并，故本选项错误；D、﹣=﹣5，能合并，故本选项错误．故选B．2．【答案】C【解析】解：A、=2与被开方数不同，故不是同类二次根式，故A选项错误；B、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；C、与被开方数相同，是同类二次根式，故C选项正确；D、与被开方数不同，故不是同类二次根式