2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式的加减（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式的加减（提高）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

要点诠释：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.

2.合并同类二次根式：

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.要点诠释：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数.

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.（3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并.要点二、二次根式的加减

二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：

1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

3)合并同类二次根式.

要点三、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是().A.＝2，＝1B.＝1，＝2C.＝1，＝-1D.＝1，＝1【思路点拨】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.【答案】选D【解析】根据题意，得

解之，得，故选D.【总结升华】判断是否是同类二次根式，一定要是最简二次根式，否则就要先化简再判断.举一反三:【变式】若最简二次根式与是同类二次根式，则a=．【答案】±1.提示：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴4a2+1=6a2﹣1，∴a2=1，解得a=±1．类型二、二次根式的加减运算2.（2016春•南陵县期末）计算：7a﹣4a2+7a．【思路点拨】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．【答案与解析】解：原式=14a﹣a+7a=20a．【总结升华】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简和同类二次根式的合并．举一反三:【变式】计算：.

【答案】解：

类型三、二次根式的混合运算

3.（2015•苏州模拟）计算：．【思路点拨】二次根式的混合运算最好是先将每个因式化简，再合并.【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．【总结升华】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．举一反三:【高清课堂：高清ID号：388064关联的位置名称（播放点名称）：二次根式的混合运算】【变式】计算：.【答案】解：原式＝＝＝.4.计算：已知求的值.【答案与解析】解：，又因为所以，

，即，即原式＝.【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就会很简便.二次根式的加减（提高）巩固练习一.选择题1.（2016•山西模拟）下列各式计算正确的是（）A．+= B．4﹣3=1 C．2×=6 D．÷=22.与不是同类二次根式的是（）.

A.B.C.D.

3.（2015春•平南县校级月考）若，则x的值等于（）A.4B.C.2D.4.下列各式中运算正确的是（）.A.B.C.D.5.的运算结果是（）.A．0B.C.D.

6.等腰三角形两边分别为和，那么这个三角形的周长是（）.A.B.C.或D.二.填空题7.若最简二次根式与是同类二次根式，则.

8.与无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）.9.设则的值是_________.10.已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22=____．11.（2016•鄂州模拟）化简（﹣2）2015•（+2）2016=．12.已知x＝，则的值等于____________.三．解答题13.（2016春•江西期末）化简：﹣a2+3a﹣．14.若x，y为实数，且y=++．求﹣的值．15．已知的整数部分为，小数部分为求的值.【答案与解析】一、选择题1．【答案】D【解析】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=，错误；C、原式=6×3=18，错误；D、原式===2，正确，故选D.2．【答案】A3．【答案】C【解析】先化简再解方程，原式=，即，.故选C．4．【答案】A5.【答案】B【解析】注意运算技巧.原式===6．【答案】B【解析】注意:分类讨论腰分别是和两种情况,但是当腰为时，，所以这种情况不存在，只有腰为一种情况，即.二、填空题

7.【答案】1；1【解析】，所以8.【答案】错误9.【答案】10.【答案】10【解析】∵x1=+，x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（++﹣）2﹣2（+）×（﹣）=12﹣2=10．11.【答案】+2．【解析】解：原式=[（﹣2）（+2）]2015•（+2）=（5﹣4）2015•（+2）=+2．故答案为+2．12.【答案】4【解析】化简x＝，得，，代入原式=4.三、解答题

13.【答案与解析】解：﹣a2+3a﹣==﹣7．14.【答案与解析】解：由二次根式的有意义，得，解得x=，故y=，∴原式=﹣=﹣=．15.【答案与解析】解：因为的整数部分为，小数部分为所以，.原式==,代入后原式=.分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】【高清课堂402545分式的乘除运算知识要点】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.【典型例题】类型一、分式的乘法 1、计算：(1)；(2)．【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算．【答案与解析】解：(1)．(2)．【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算．举一反三：【变式】计算．（1）；（2）【答案】解：（1）原式；（2）原式；类型二、分式的除法【高清课堂402545分式的乘除运算例1（4）】2、计算：(1)；(2)．【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简．【答案与解析】解：(1)．(2)．【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的．举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】解：原式=•=．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（）A. B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项． 【答案】C．【解析】解：A、，本选项错误；B、，本选项错误；C、，本选项正确；D、，本选项错误．所以计算结果正确的是C．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab﹣2c﹣1）2÷×（）3；（2）．【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab﹣2c﹣1）2÷×（）3=﹣••=﹣．（2）．【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．举一反三：【变式】计算：(1)；(2)．【答案】解：(1)．(2)．【巩固练习】一.选择题1.计算的结果是()A．B．C．D．2.（2016•迁安市一模）化简：（a﹣2）•的结果是（）A．a﹣2 B．a+2 C．D．3．（2015•蜀山区一模）化简的结果是（）A. B. C. D.4．分式的计算结果是（）A． B． C． D．5．下列各式计算正确的是（）A． B．C． D．6．的结果是（）A． B． C． D．－n二.填空题7._____；_____．8．______；______．9．（2015•泰安模拟）化简的结果是．10.如果两种灯泡的额定功率分别是，，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的________倍.11．____________；____________．12．______．三.解答题13.（2016•黄石）先化简，再求值：÷•，其中a=2016.14.阅读下列解题过程，然后回答后面问题计算：解：＝÷1÷1÷1①＝．②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．15．小明在做一道化简求值题：他不小心把条件的值抄丢了，只抄了＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】∵，∴选C项．2.【答案】B；【解析】原式=（a﹣2）•=a+2，故选B．3.【答案】B；【解析】解：原式=×=．故选B.4.【答案】D；【答案】.5.【答案】D；