2024年初二下册数学期末考试专项复习分式的乘除（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习分式的乘除（提高）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】【高清课堂402545分式的乘除运算知识要点】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.【典型例题】类型一、分式的乘法 1、（2016北京•门头沟一模）已知x－3y=0，求的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x=3y代入可求分式的值．【答案与解析】解：原式==∵x－3y=0，∴x=3y．∴当x=3y时，原式=．【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值．举一反三：【变式】已知分式，计算的值．【答案】解：．∵，∴，且，即且，解得，，此时．∴原式．类型二、分式的除法 2、课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当，，时，求代数式的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母的取值无关．【答案与解析】解：．所以无论取何值，代数式的值均为，即代数式的值与的取值无关．所以当，，时，代数式的值都是．【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质．举一反三：【变式】已知，其中不为0，求的值.【答案】解：原式＝＝.∵，∴.∴原式＝.∵不为0，∴原式＝.类型三、分式的乘方3、（2015春•泉州校级期中）计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方．类型四、分式的乘除法、乘方混合运算【高清课堂402545分式的乘除运算例2（4）】4、若等于它的倒数，求的值．【答案与解析】解：∵等于它的倒数，∴解得∴时，原式＝；时，原式＝.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理.举一反三：【变式】（2014春•安县校级月考）化简：．【答案】解：原式=﹣••=﹣．【巩固练习】一.选择题1．（2014秋•岱岳区期中）化简，其结果是（）A.﹣B.2 C.﹣2 D． 2．（2016•济南）化简÷的结果是（）A． B． C． D．2（x+1）3．计算的结果是（）A． B． C． D．4．下列各式中正确的是（）A． B．C． D．5．（为正整数）的值是（）A． B． C． D．6．下列分式运算结果正确的是（）A． B．C． D．二.填空题7．已知＝2011，＝2012，则的值为______．8．（2015春•周口校级月考）化简：（﹣）3÷（•）=．9．（2016•永州）化简：÷=．10.已知，，则＝________.11.当，时，代数式的值为________.12.计算：___________.三.解答题13．（2015春•成都校级月考）计算：（1）﹣（2）÷．14．先化简，再求值：（1）其中（2）其中＝－1．15．已知求的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：原式=﹣••=﹣2，故选C．2.【答案】A；【解析】原式=•（x﹣1）=.3.【答案】C；【解析】.4.【答案】D；【解析】；；.5.【答案】B；【解析】.6.【答案】A；【解析】；；.二.填空题7.【答案】－1；【解析】.8.【答案】﹣；【解析】解：原式=﹣÷=﹣•=﹣，故答案为：﹣.9.【答案】；【解析】原式=•=.10.【答案】；【解析】.11.【答案】－5；【解析】.12.【答案】；【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）原式=+=；（2）原式=•=x．14.【解析】解：（1）当时，原式＝.（2）当＝－1时，原式＝.15.【解析】解：∵∴解得.分式的概念和性质（基础）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念 1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，，，，，．【思路点拨】，，虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．【答案与解析】解：整式：，，，，分式：，，．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，取何值时，分式有意义？（1）；（2）；（3）．【答案与解析】解：（1）由得，故当时分式有意义．（2）由得，故当时分式有意义．（3）由，即无论取何值时均不为零，故当为任意实数时分式都有意义．【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法．举一反三：【变式1】（2016·丹东一模）若分式有意义，则的取值范围是．【答案】解：由题意得：，解得，故答案为：．【变式2】当为何值时，下列各式的值为0．（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）由得，当时，，∴当时，分式的值为0．（2）由得或，当时，，当时，，∴当时，分式的值为0．（3）由得，当时，，∴在分式有意义的前提下，分式的值永不为0．类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）；（2）．【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可．【答案与解析】解：（1）．（2）.【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.举一反三：【变式1】如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（）A扩大3倍B不变C缩小3倍D扩大2倍【答案】B；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）；（2）．【答案】；1；解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为，而等式的右边分式的分子为，由于，即将等式左边分式的分子乘以，因而分母也要乘以，所以在？处应填上．（2）先观察分母，等式左边的分母为，等式右边的分母为，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以，因为，所以在？处填上1．4、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）．【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面．类型四、分式的约分、通分5、（2015春•东台市月考）约分，通分：（1）；（2）；（3）•．【思路点拨】（1）把分子与分母进行约分即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可；（3）把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）=﹣；（2）==；（3）•=•=．【总结升华】此题考查了分式的约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，注意先把分母因式分解，再进行约分．举一反三：【高清课堂403986分式的概念和性质例6（2）】【变式】通分：（1），；（2），．（3）与；（4），，．【答案】解：（1）最简公分母为，，．（2），，最简公分母为，．．（3）最简公分母是．，．（4）最简公分母是，，，．【巩固练习】一.选择题1．（2015春•东台市期中）下列各式：其中分式共有（）A.2个B.3个 C.4个D.5个2．使分式值为0的值是（）A．0 B．5 C．－5 D．≠－53.下列判断错误的是（）A．当时，分式有意义B．当时，分式有意义C．当时，分式值为0D．当时，分式有意义4．（2016·营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（)A． B． C． D．5．如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（）A．扩大10倍 B．缩小10倍C．是原来的 D．不变6．下列各式中，正确的是（）A． B．C． D．二.填空题7．当＝______时，分式无意义．8.若分式的值为正数，则满足______．9．（1） （2）10．（1） （2）11.（2016秋·崆峒区期末）分式的最简公分母是_________.12.（2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．三.解答题13.当为何值时，下列分式有意义?（1）；（2）；（3）；（4）．14．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0，求当＝－7时分式的值．15．（2014•上城区二模）在三个整式x2﹣1，x2+2x+1，x2+x中，请你从中任意