浅谈高中数学课程改革概率与统计部分的教与学

PAGEPAGE4浅谈高中数学课程改革概率与统计部分的教与学[摘要]：“概率与统计”是高中数学新课程的重要组成部分，也是最能反映数学应用性的课程.统计学注重的是数据的收集、整理、分析，概率论是研究随机现象的科学.它们都与我们的日常生活紧密相连.本文从“概率与统计”的背景和地位，内容与要求以及教学的方法和策略来分析阐述高中“概率与统计”的教与学.通过案例和数据的分析以及概率模型的建立，让学生更好的体会“概率与统计”的思想.[关键词]：案例；随机；模型Abstract：“probabilityandstatistics”constitutetheimportantpartofnewmathmaticscoursesinhighschool.Itreflectstheapplicationofmathmaticsmostly.Statisticsputemphasizeonthecollectionandanalysisofdata.Probabilityisthescienceofstudyingrandomphenomenon.Theybothhavecloserelationwithourdailylife.Thistextanalyzeanddemonstratetheteachingandlearningof“probabilityandstatistics”fromitsbackgroundandstatus,contentandrequirement,andteachingskillsandstrategy.Studentswillrealizethemainthoughtof“probabilityandstatistics”betterthroughanalyzingcase、dataandsettingthemodelofprobability.Keywords：case；random；model一、高中数学新课程概率统计背景和地位2003年5月出台的<普通高中课程标准>(以下简称<标准>)提出要将概率与统计作为高中数学课程的必修内容,并提出明确的要求、说明与建议.在我国,“概率统计”内容从几进几出到如今作为<标准>中的必修内容,这既满足信息时代对数学教学的要求,又是数学新课程发展的必然.高中必修课程由五大模块组成，“概率与统计”属于模块，上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,此外还增加了向量、算法、概率、统计等内容.其中概率、统计在以往是在大学讲授的课程,现如今在中学的教材中出现,充分体现其重要性和实用性.在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异.学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算模拟估计简单随机事件发生的概率.虽然现如今中学所讲授的概率和统计内容属于简单部分,但是它为中学生提供了一个很好认识数学应用性的平台,为学生以后进入大学阶段学习提供了一个理想的过度阶段,通过对概率统计的学习,学生可以充分体会到数学与我们的日常生活是紧密相连的,这样可以大大激发学生学习数学的兴趣,发展数学应用意识和创新意识,开阔学生的数学视野!二、高中数学新课程“概率与统计”的内容和特点分析（一）统计学是研究如何收集、整理、分析、数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.在客观世界中，需要认识的现象无穷无尽.要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象.统计部分内容（1）随机抽样1结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性.2在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法.（2）用样本估计总体1学会列频率分布表、画频率分布直方图；能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.2在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性.3能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异.（3）变量的相关性1通过收集现实问题中两个有关联变量的数据做出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.统计部分知识框图（如上所示）统计部分教材特点分析：（1）强调典型案例的作用，这种利用典型案例编写统计内容的方式，可以使学生在解决实际问题的过程中，经历数据处理的全过程，并在这个数据处理的过程中学习有关的统计知识如：在运用样本估计总体的教学中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但于总体有一定的偏差.但另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据.（二）统计教学通过案例来进行并要注重数据的收集高中阶段统计教学应通过案例的进行，在对实际问题的分析中，使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些常用的数据处理的方法，运用所学知识、方法去解决简单的实际问题，体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用以及应用的广泛性.同时，具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质.例如：对于“最小二乘法”的学习，如果直接介绍一般的最小二乘的方法，学生往往体会不到这种方法的实质，也失去了一个分析问题、处理数据的机会.教学中，可以通过一个学生感兴趣的实例，比如学生身高和体重的关系，让学生收集到的数据做出散点图，利用散点图直观认识到变量之间存在着线形相关关系，然后鼓励学生自己想办法确定一条“比较合适”的直线描述这两个变量之间线形相关关系，在此基础上再引入最小二乘法，并给出线形回归方程.所以教师平时要细心收集生活中的素材、广泛涉猎各学科知识，更多的发动学生自己发现问题，以此积累案例开展统计教学，展示统计的广泛应用.（三）注重对随机现象与概率意义的理解概率是研究随机现象的科学.随机现象是指这样一种现象：在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现，随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会出现其频率的稳定性.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义.缺乏对随机现象的丰富体验，学生往往较难建立随机观念.如果在概率课程中，只是要求学生处理已经采集好的随机问题的有关数据，学生往往习惯的把这些数据当作确定的数进行处理，事实上他们的随机观念没有得到发展.要使学生建立随机观念，必须通过设计学生熟悉而感兴趣的实际问题或游戏，让他们亲临原始的随机环境，亲自试验和收集随机数据，使他们在活动中逐步丰富对概率的认识，积累大量的活动经验，体会随机现象的特点.教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，体会随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性.例如学生收集同一年级学生的身高、体重，收集体育彩票各次的开奖的号码，收集电视台每日的天气预报数据等，这些学生熟悉的、有趣的随机环境，比较容易使学生把要学的新知识与自己原有的经验和直觉联系起来.（四）重视对概率模型的理解和应用以及和其他数学知识的结合计算随机事件发生的概率是概率学习的重要内容.对于这方面的学习，首要的是对各种概率模型的理解和应用，而不是把精力主要放在套用公式上.教学中，应注意使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，注重理解各种概率模型的特点，并且在实际问题中培养学生识别模型的能力.例如：对于古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征，实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型.概率论与我们的日常生活是紧密相连的，它的应用性是非常广泛的.教师在教学的过程中，除了与实际生活中的例子相结合外，也要注重与其他高中数学知识的结合，这样可以让学生体会到数学知识是相通的，可以让学生感受到数学的美，还能激发学生学习其他数学知识的兴趣，下面我举一个利用三角形知识和几何概型相结合的例子.例：在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们构成一个三角形的概率.解：设线段被分成三段长，分别为x,y和a-x-y,则样本空间为由x0,y0以及x+ya所构成的图形，其面积；有利事件A(即x,y,a-x-y三段构成三角形）的基本事件集：由线段x,y,a-x-y所围成的三角形其面积为S,由三角形两边之和大于第三边的性质有：0xa/2，0ya/2,0a-x-ya/2，0xa/2,0ya/2,a/2x+ya,(它们构成三角形的DCE)则其面积，于是由几何概型的概率计算公式有:P(A)=概率还可以与方程，函数等内容相结合，这里就不再一一举例.（五）注重建立正确的概率直觉学生存在着一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但是其中往往有一些是错误的.例如：将一枚均匀的硬币任意掷出，很多学生可能认为“100次出现50次正面”是必然的，或者说，它的概率应该很大，但计算表明这个概率只有8%左右.又如：中奖率为1/1000的彩票，一些学生可能认为买1000张就一定会中奖，而实际上买1000张会中奖的概率约为63%；掷一枚均匀的硬币5次，朝上的面都是正面，第6次该得到的是正面还是反面，有的学生认为应是正面而有的认为应是反面，而事实上不管前5次试验的结果是什么，由试验的独立性，第6次出现正、反面的概率都是1/2，和前面的试验结果是无关的.逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标.要实现这个目标，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生首先猜测结果发生的概率；然后亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后可以建立理论的概率模型，并与实际结果联系起来，学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和理论概率进行比较，这将促进他们修正自己的错误经验，建立正确的概率直觉.例如：对于“掷100次硬币出现50次正面”的概率，有人给出了一个掷均匀硬币的模拟实验（费勒著《概率论及其应用》），这试验相当于100个人，每人都掷100次均匀的硬币，记录下各自掷出正面的次数如下：48，46，40，50，49，48，54，53，45，4854，46，53，55，50，54，41，48，51，5343，52，57，51，51，50，52，53，49，4658，60，54，55，50，48，47，57，53，5549，50，45，52，52，48，47，47，46，5153，52，46，52，44，51，49，59，50，5547，51，41，48，59，51，50，55，39，4153，51，49，44，52，50，57，46，57，4851，50，50，56，43，46，48，56，59，4952，56，54，46，48，55，58，59，53，51这里共掷了10000次，正面出现的次数，即上述100个数字之和，为4979，这表明正面出现的概率为0.4979，可以认为硬币是均匀的.另一方面，在上述100个数字中，50出现了9次，即“掷100次硬币，出现50次正面”的频率是9/100，和0.08相差不大，以上的实验数据无疑将有利于学生消除错误的经验.结束语综上所述，概率与统计是两门与日常生活紧密相连的课程，因此教师在讲授这两门课的过程中应使学生体会概率与统计的基本思想，要注重提供现实的问题情境，重视问题的背景及统计与概率在日常生活和科学领域的应用；充分利用计算机多媒体技术提供更为直观、科学、准确的数据和资料，让学生真实地参与，使他们面对要解决的问题，主动设计方案、收集数据、处理数据、制定决策，与他人进行讨论与交流，让学生得到锻炼，从而提高学生