沪科版八年级数学上册第12章一次函数教学设计 （14课时含教学反思）

第12章一次函数教案教学设计

12.1函数................................................................1

第1课时变量与函数.................................................1

第2课时函数的表示方法一一列表法与解析法.........................4

第3课时函数的表示方法一一图象法..................................8

第4课时从图象中获取信息..........................................11

12.2一次函数...........................................................15

第1课时正比例函数的图象和性质...................................15

第2课时一次函数的图象和性质.....................................19

第3课时用待定系数法求一次函数的表达式...........................23

第4课时分段函数及其应用.........................................27

第5课时一次函数的应用之方案决策.................................29

第5课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式..................32

12.3一次函数与二元一次方程............................................35

第1课时一次函数与二元一次方程...................................35

第2课时一次函数与二元一次方程组.................................38

12.4综合与实践一次函数模型的应用......................................42

章末复习...............................................................45

12.1函数

第1课时变量与函数

争教学目标

【知识与技能】

了解变量与常量，初步理解函数的概念.

【过程与方法】

经历函数概念的探索过程，感悟变量.

【情感与态度】

鼓励探索方式的多样化，培养激发学生学习的兴趣.

【教学重点】

重点是理解函数的意义，并会根据具体问题探究相应的函数关系式.

【教学难点】

难点是对函数意义的准确理解.

*教字亘睚

一、创设情境，导入新知

活动一：乘热气球探测高空气象

用热气球探测高空气象，热气球从海拔1800m处的某地升空，在一段时间内，它匀速

上升.它上升过程中到达的海拔高度h(m)与上升时间t(min)的关系记录如下表：

时间

01234567.......................

1min

海拔高

18001830I86018901920195019802010.......................

度hm

观察上表:

(1)这个问题中，有哪几个量？

(2)热气球在升空过程中平均每分钟上升的高度是多少？

(3)你能求出上升3min\,6min时气球到达的海拔高度吗？

【教学说明】学生通过思考问题，为新知识建立铺垫.

活动二：用电负荷曲线图

S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示.

t负荷Wx10'兆瓦

8-：：

6­1:

4-:：

2■：:

।।।1।.1।।1।।।।I，।1」」」」।।।।1,

o123456789101112131415161718192021222324时间〃h

看图回答

(1)这个问题中，涉及哪几个量？

(2)任意给出这天中的某一时刻X,能找到这一时刻的负荷y(XIO,兆瓦)是多少吗？

(3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？

活动三：汽车刹车距离

汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分

析事故原因的一个重要因素.某型号的汽车在平整路面上的刹车距离s(m)与车速v(km/h)

之间有下列经验公式：S=V7256

(1)式中涉及哪几个量？

(2)当刹车时速v分别是40、80、120km/h时,相应的滑行距离s分别是多少?

【教学说明】教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：哪些是常

量，哪些是变量.从而为引出函数概念做铺垫.

二、达成共识，构建新知

新知探究：函数的概念

［交流］:在活动一至三中，哪些量是常量？哪些量是自变量？哪些变量是因变量？与

同伴交流.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与y,并且对于x的每一个值，y都有

唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那

么b叫做当自变量为a时的函数值.

引导发现：热气球上升后到达的海拔高度h是自变量时间t的函数；用电负荷y是自变

量时间t的函数；制动距离s是自变量车速v的函数.

引导练习：

1.说出下列各个过程中的变量与常量：

(1)铁的质量m(g)与体积V(cm3)之间的关系式是m=P((P是铁的密度)

(2)长方形的长为2cm,它的面积为S(cm2)与宽a(cm)的关系式是S=2a.

2.已知函数y=3x-5,当x=2时，y=」.

三、运用新知，深化理解

1.寄一封质量在20g以内的市内平信，需邮资0.80元，则寄x封这样的信所需邮资y

(元).试用含x的式子表示y,并指出其中的常量和变量.

2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，

探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重

物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度y(cm)?

【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固

新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认

识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.

【参考答案】1.解：根据题意，得y=0.8x,所以0.8是常量，x、y是变量.

2.y=0.5m+10

四、师生互动，课堂小结

掌握函数的概念，能根据问题背景确定函数关系式，会确定自变量的取值范围.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与y,并且对于x的每一个值，y都有

唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那

么b叫做当自变量为a时的函数值.

【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行

很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.

：'课后作业

1.课本第23页练习1、2.

2.完成练习册中相应的作业.

学?教学反思

函数第一课时主要讲的是函数及其有关概念，它是所有函数的基础.这节课是通过三个

活动理解函数这一概念，在上课过程中对三个问题进行分析，分析问题中的变化过程，进而

得知常量、变量、自变量、因变量，通过观察和计算发现因变量与自变量之间的对应关系，

从而理解函数概念.情景设置激发学生学习兴趣，体现学生是数学学习的主人，教师是组织

者、引导者与合作者.

第2课时函数的表示方法一一列表法与解析法

y教与目标

【知识与技能】

了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定

函数关系式，会确定自变量取值范围.

【过程与方法】

学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题.

【情感与态度】

培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值.

【教学重点】

重点是进一步掌握确定函数关系的方法以及确定自变量的取值范围.

【教学难点】

难点是确定函数关系.

教与Eili呈

一、提出问题，创设情境

我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化，同一问题中的变量之间

有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？

这将是我们这节研究的内容.

活动一

在计算器上按照下面的程序进行操作.

输入X

按键冈回□□目

显示.(计算结果)

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：

1230—1

y3571-1

所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式(用含

有x的式子表示y).

让学生思考后回答(或小组讨论)

【教学说明】学生通过思考问题，为掌握新知识函数的表示方法：列表法做铺垫.

活动二

用10cm长的绳子围成矩形，设矩形的长度为xcm,面积为Scm2.怎样用含有x的式

子表示S?

【教学说明】引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.

二、导入新课

上述活动一、活动二反应了两个变量间的函数关系，函数关系式的表示方法主要有三种

方法：列表法、解析法、图象法.

通过列出自变量的值

列表法与对应函数值的表格活动一

来表示函数的方法

用数学式子表示函数

解析法关系的方法(其中等式活动二

叫做函数表达式)

在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数的表达式有意义.

例1求下列函数中自变量x的取值范围；

(l)y=2#+4；(2)y=-2.r2；

(3)5=工；(4)y=，x-3.

x-2

【分析】在(1)(2)中，x取任何实数时，2x+4与NX?都有意义；在(3)中，当x=2

时，」一没有意义；在(4)中，当xV3时，x-3没有意义.

x—2.

【解】(1)x为全体实数.

(2)x为全体实数.

(3)x#2.(4)x》3.

注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意

义.如函数S=nR?中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆面积S与圆半径R

的关系，那么自变量R的取值范围是R>0.

例2当x=3时，求下列函数的函数值：

(1)y=2x+4；(2)y=-2x2；

(3)>=工；(4)y=4

x-2

【解】(解当x=3时，y=2x+4=2X3+4=10.

(2)当x=3时，y=-2x2=-2X32=-18.

(3)当x=3时，y=」一=1.

x—2

(4)当x=3时，y=Jx-3=0.

例3一个游泳池内有水300m3,现打开排水管以每时25n?排出量排水.

(1)写出游泳池内剩余水量Q(m：f)与排水时间t(h)间的函数关系式；

(2)写出自变量t的取值范围；

(3)开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？

(4)当游泳池中还剩150n?水时，已经排水多少时间？

【解】(1)排水后的剩水量Q是排水时间t的函数,有Q=-25t+300

(2)由于池中共有300疝,水，每时排25m,全部排完只需300+25=12(h),故自变

量t的取值范围是0WtW12.

(3)当t=5,代入上式得Q=-5X25+300=175(m3),即第5h末池中还有水175m3.

(4)当Q=150时，由150=-25t+300,得t=6,即己经排水6h.

【教学说明】通过例题理解列表法和解析法的意义及表示方法，并与实际问题相结合.

三、运用新知，深化理解

1.函数y=J二与中，自变量x的取值范围是()

A.xW3B.x》3C.x>3D.xW3

2.在函数丫=」一中，自变量x的取值范围是()

X—i

A.x>1B.x<lC.xWlD.x=l

3,函数y=]——中，自变量x的取值范围是___________.

x-1

4.如图，根据流程图中的程序，当输出数值y=5时，输入数值x是()

A.YB.—；

I0

C,或——D-——

j*73*77

5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时,

水箱内存水y升.

(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)7：55时，水箱内还有多少水？

(3)几点几分水箱内的水恰好放完？

【参考答案】l.B2.C3.x》-2且xWl4.C

5.解：(1)；水箱内存有的水=原有水-放掉的水，

y=200-2t,

.•.200-2t^0,

解得：tW100,

.,.OWtWIOO,

所以y关于t的函数关系式为：

y=200-2t(OWtWlOO)；

(2)V7：55-7：30=25(分钟),

.•.当t=25时，

y=200-2t=200-50=150(升)，

：.7：55时，水箱内还有水150升；

(3)当y=0时，200-2t=0,

解得:t=100分钟=1小时40分钟,

7：30+1小时40分钟=9点10分，

答：故9点10分水箱内的水恰好放完.

四、师生互动，课堂小结

学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际

问题的能力.

.'课后作业

1.课本第26页练习1、2、3、5.

2.完成练习册中相应的作业.

空教学反思

通过本节课学习让学生了解函数的表示方法：列表法、解析法，并领会它们的联系和区

别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.学会用不同方法表示函数，

会应用综合的思维、思想分析问题，培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的构建在实

际生活中的应用价值.

第3课时函数的表示方法一一图象法

;＞敦与目标

【知识与技能】

学会用列表、描点、连线画函数图象.

【过程与方法】

通过画函数图象，提高对函数的理解.

【情感与态度】

直观感受函数，体会数形结合思想.

【教学重点】

重点是函数图象的画法.

【教学难点】

难点是准确画出函数图象.

教学亘引

一、提出问题，创设情境

我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数

关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关

系.

对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰.

我们这节课就来解决如何画函数图象的问题.

二、导入新课

已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？

画出函数y=2x的图象.

对于自变量x的每一个确定的值，可得出对应函数y的唯一值.列表如下:

•••-3-2-10123♦・♦

••♦一6一4-20246♦・♦

各组对应值作为点的横纵坐标在平面直角坐标系中描出各点，得到函数y=2x的图象,

如下图.

用画函数图象的一般步骤

图

象

来列表:在自变量取值范围内选

表1定一些值.通过函数关系式求

示

两出对应函数值并列成表格.

图个

变描点：在直角坐标系中.以自

量

象变量的值为横坐标.相应函

间2

法函数值为纵坐标.描出表中对

数

关应各点.

系连线：按照坐标由小到大的

的

方3顺序把所有点用平滑曲线连

法

接起来.

【教学说明】引导学生通过列表描点连线，体会如何画函数图像.

例画出前面第1课时活动三中的函数s=v?/256的图象.

(1)列表：因为这里v20,我们分别取v=0,10,20,30,40,求出它们对应的s值,列成

(3)连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接，就得到了s=v2256

的图象，如图所示.

［教学说明］通过列表一一描点一一连线体会函数图象的形成过程,体会数形结合思想.

三、运用新知，深化理解

1.如图是一种古代计时器一一“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小

孔漏出，壶壁内画出刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.用x表示时间，y表示壶底到

水面的高度.下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？

(1)(2)(3)

2.a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点(a,0)画y轴的平行线，与图中曲线

相交.下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？

⑴(2)

3.画出下列函数的图象:

⑴y=4x—1；⑵y=4x+l.

【参考答案】1.(2)2.(1)符合函数定义3.略

四、师生互动，课堂小结

本节课通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思

想.

课后作业

1.课本第28页练习1、2.

2.完成练习册中相应的作业.

'教学反思

运用三个环节讲解用图象法表示函数，通过本节学习让学生学会用列表、描点、连线画

函数图象；经历画函数图象，体会数形结合思想.

第4课时从图象中获取信息

;＞敦与目标

【知识与技能】

学会观察、分析函数图象信息.

【过程与方法】

通过观察，分析函数图象信息，提高识图、分析等函数图象信息能力.

【情感与态度】

体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力.

【教学重点】

观察分析图象信息.

【教学难点】

分析概括图象中的信息.

支教学亘引

一、提出问题，创设情境

活动一

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而

变化.你从图象中得到了哪些信息？

学生思考后回答（或小组讨论）

【教学说明】引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义.可以指导学

生找出一天内最高、最低气温及其对应的时间；也可以分析气温在某些时间段的变化趋势,

从而认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律…….

活动二

下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时间,

y表示小明离他家的距离.

根据图象回答下列问题：

1.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

2.小明给菜地浇水用了多少时间？

3.菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

4.小明给玉米地锄草用了多长时间？

5.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？

学生思考后回答（或小组讨论）

【教学说明】引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x轴的线

段的意义.

二、导入新课

1.如图所示是记录某人在24h内的体温变化情况的图象.

体温4/七

38r

37m

35P

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

123456789101112131415161718192021222324时间Q/时

(1)图中有哪两个变化的量？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？

(2)在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在什么时刻达到的？

(3)21:00时此人的体温是多少？

(4)这天体温达到36.2℃时是在什么时候？

(5)此人体温在哪几段时间上升？在哪几段时间下降？在哪几段时间变化最小？

2.一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输图(1),只行驶一个来回，中间经过丙港，图(2)

是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线.

(1)观察曲线回答下列问题：

①从甲港(0)出发到达丙港(A),需用多长时间？

②由丙港(A)到达乙港(C),需用多长时间？

③图中CD段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？返回时，多长时间到达丙港(B)?

④从丙港(B)返回到出发点甲港(E),用多长时间？

(2)你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返回的平均速度快呢？

(3)如果轮船往返的机器速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺水还是逆水？

【教学说明】通过例题培养学生分析图象、提取信息的能力.

三、运用新知，深化理解

1.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑到公园，打了一会儿太极拳，然

后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系

的大致图象是（B）

2.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水

面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容

器的形状是下列选项中哪一个（C）

3.小红星期天从家里出发骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物

送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本

根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小红家到舅舅家的距离是米，小红在商店停留了分钟.

（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？

（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？

【解】⑴1500,4.

（2）观察图象，当12Wx<14时，直线最陡，小红在此段骑车速度最快，最快速度

啊-6%0（米/分）,

14-12

（3）观察图象可知小红共行驶了1500+2X（1200-600）=2700（米），共用了14分钟.

四、师生互动，课堂小结

本节课学会了分析图象信息，解答有关问题.通过解决实际问题体会数形结合的思想.

乱课后作业

完成练习册中相应的作业.

'教学反思

通过本节学习让学生学会观察，分析函数图象信息，提高了识图、分析函数图象信息能

力，体会数形结合思想并利用它解决问题，提高解决问题能力.

12.2一次函数

第1课时正比例函数的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

了解正比例函数的定义、图象、性质及画法.

【过程与方法】

经历描点法绘制图象的过程探究正比例函数图象及性质.

【情感与态度】

通过交流合作解决实际问题，培养学生的数学交流能力和团队协作精神.

【教学重点】

重点是理解正比例函数意义及解析式特点，掌握正比例函数图象的性质特点.

【教学难点】

难点是正比例函数图象性质特点的掌握.

教学日ili呈

一、提出问题，创设情境

一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环.4个月（按每月30天

算）零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.

1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到0.1千米）？（201.6千米）

2.这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？（y=201.6x）

3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？（9072千米）

【教学说明】通过具体情境引发思考，为本节内容作准备.

二、导入新课

首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些

函数有什么共同特点？

1.圆的周长L随半径r的大小变化而变化.

2.铁的密度为7.8g/cm：',铁块的质量m（g）随它的体积V（cm，）的大小变化而变化.

3.每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h（cm）随着练习本的

本数n的变化而变化.

4.冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃.物体的温度T（℃）随冷冻时间t（分）

的变化而变化.

【参考答案】l.L=2nr2.m=7.8V3.h=0.5n4.T=-2t

引导发现：上述函数的表达式都可以写成丫=1«的形式.

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且kWO）的函数叫做一次函数（其中k叫做比例

系数）.当b=0时，形如y=kx（k是常数，kWO）的函数叫做正比例函数.正比例函数是一次

函数的特殊情形.

我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？

由上节可知：

正比例函数y=kx（k是常数，k#0）的图象是经过原点的直线，通常我们把正比例函数

y=kx（k是常数，kWO）的图象叫做直线丫=1«.

思考：经过原点与点（1,k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样

画最简单？为什么？

画正比例函数图象的方法：经过原点与点（1,k）.

例在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象：

（1）y=—X；（2）y=x；（3）y=3x.

2

【解】列表：（为便于比较，三个函数值计算表排在一起）

・

X••♦01••

1・♦♦x•・♦

产万工07

y=%・・♦0i・•♦

y=3x・•♦03••♦

如图，过两点（0,0）,（1,L）画直线，得y=_Lx的图象;

22

过两点（0,0）,（1,1）画直线，得y=x的图象；

尝试练习：

在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较.

2.y=-3x

【教学说明】让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关

系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.

【归纳结论】

一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且kWO）有下列性质：

当k>0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）；

当k<0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的）.

三、运用新知，深化理解

1.下列函数中，是正比例函数的是（）

A.y=-8xB.y=-8x+l

28

C.y=8x+1D.y=--

x

2.正比例函数y=x的大致图象是（)

3.已知正比例函数y=kx(kWO),点(2,-3)在函数上，则y随x的增大而(增大或

减小).

4.已知y=(2〃Ll)是正比例函数，且函数图象经过第一、三象限，求m的值.

5.已知y与x-3成正比例，当x=4时，y=-3.求y与x之间的函数关系式.

【参考答案】1.A2.C3.减小

2

zn-3=1

4.解：根据题意得：<,解得：m=2.

2m-l>0

5.解：与x-3成正比例,设出函数的关系式为：y=k(x-3)(kWO),

把当x=4时，y=-3代入得:-3=k(4-3,

，y与x之间的函数关系式为：y=-3(x-3).

四、师生互动，课堂小结

本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与

关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法及图象的

简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础.

；'课后作业

1.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？

(1)长为8cm的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cni)；(L=2(8+b),一次函数)

(2)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y(吨)；(y=120—5x,一

次函数)

(3)汽车每小时行40千米，行驶的路程s(km)和时间t(h)；(s=40t,正比例函数)

(4)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的

关系式；(y=60x,正比例函数)

(5)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y(厘米).

(y=50+2x,一次函数)

2.己知函数y=(k—2)x+2k+l,若它是正比例函数，求k的值.若它是一次函数，求k

的值.

解：由题意和正比例函数、一次函数的定义可知：

①当k—2#0,2k+l=0,即1<=--且k#2时，该函数为正比例函数；

2

②当k-2W0,即kW2时，该函数为一次函数.

3.完成练习册中相应的作业.

教学反思

本节课内容是在学生学习了变量和函数的基本概念的基础上进行的，由于刚接触函数，

学生对于变量之间的关系理解得还不是很透彻，对于这节课学习有关于正比例函数图象的性

质，有一定的困难，而且这节课中两个变量成正比例和正比例函数这两个概念之间的联系和

区别是学生较难理解的内容.通过本节学习让学生了解正比例函数的定义、图象、性质及画

法，经历描点法绘制图象的过程探究正比例函数图象及性质，通过合作解决实际问题的能力

培养学生的数学交流能力和团队协作精神.

第2课时一次函数的图象和性质

「教学目标

【知识与技能】

1.进一步掌握一次函数图象的画法；

2.掌握一次函数系数k,b与图象位置的关系；

3.掌握一次函数的性质并会运用.

【过程与方法】

让学生通过画图、观察、讨论，探究一次函数的图象及性质，培养学生数形结合的意识

和能力以及分类讨论的思想.

【情感与态度】

让学生全身心地投入到教学活动中，积极参与组内讨论，合作交流探索，发展实践能力

与创新精神.

【教学重点】

重点是一次函数的性质.

【教学难点】

难点是一次函数的性质的掌握.

教与亘睚

一、提出问题，创设情境

1.回顾作函数图象的一般步骤.

2.在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.

(l)y=-6x(2)y=-6x+5

(3)y=3x(4)y=3x+2

【教学说明】引导学生回顾作函数图象的一般步骤，并动手画出函数图象.

二、导入新课

问题1：以上四个一次函数图象是什么形状呢？

问题2：一次函数丫=1«+1)(1<,b为常数，kWO)的图象都是一条直线吗?举例验证.

问题3：几个点可以确定一条直线？

问题4：画一次函数图象时，只要取凡个点？

画一次函数图象时，取直线与x轴和y轴的交点比较方便.

问题5：观察下列各组一次函数并画出图象，比较下列各组一次函数的图象有什么共同

点，有什么不同点.

(l)y=-6x与y=-6x+2；

(2)y='x与y=1x+2；

22

(3)y=-6x+2与y=—x+2.

2

能否从中发现一些规律？

问题6：对于直线丫=1«+1)(1<、b是常数，kWO).常数k和b的取值对于直线的位置各

有什么影响？

让学生讨论，交流，然后填空：

两个一次函数，当k一样，b不一样时，有

共同点_________________________________________________

不同点:_________________________________________________

当两个一次函数，b一样，k不一样时，有

共同点：_________________________________________________

不同点：_________________________________________________

在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象

(l)y=2x与y=2x+3

(2)y=2x+l与y=—x+1

2

请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样.

【归纳结论】

一般地，一次函数丫=1«+6（k、b为常数，且kWO）的图象是平行于丫=1«的一条直线,

我们以后把一次函数y=kx+b（k、b为常数，且kWO）的图象叫做直线丫=1«+1）.

直线y=kx+b与y轴相交于（0,b）,b叫做直线丫=1«+13在y轴上的截距，简称截距.

直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移b个单位的长度得到（当b〉0时，向上平移；

当b<0时，向下平移）.

2

例1画出直线y=yx-2,并求它的截距.

2_

【解】对于y=1X-2,有

03

—20

2

过两点（0,-2）,（3,0）画直线，即得y=-x-2的图象.它的截距是-2,如下图.

3

探究（见课本第39页）

让学生独立思考：从中能发现什么规律？

【归纳结论】

一次函数y=kx+b有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升;

（2）当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为:

图象

例2已知一次函数y=(2m-l)x+m+5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

【解】当2m—1<0,即时，y随x的增大而减小.

2

三、运用新知，深化理解

1.函数y=x-l的图象是()

2.在平面直角坐标系中，下列直线中与直线y=2x-3平行的是()

A.y=x-3B.y=-2x+3

C.y=2x+3D.y=3x-2

3,对于函数y=-2x+l,下列结论正确的是()

A.y的值随x值的增大而增大

B.它的图象经过第一、二、三象限

C.它的图象必经过点(-1,2)

D.当x>1时,y<0

4.已知一次函数y=(1-m)x+m-2,当m时，y随x的增大而增大.

5.已知一次函数y=kx+3的图象与直线y=2x平行，那么此一次函数的解析式

为.

【参考答案】l.D2.C3.D4.<1

5.y=2x+3

四、师生互动，课堂小结

1.一次函数的图象是什么形状呢？

2.画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便？

3.一次函数有哪些性质？

.'课后作业

1.课本第38页练习2、3,39页练习2、3、4.

2.完成练习册中相应的作业.

空教学反思

以“问题情境”的模式展开教学，通过学习让学生进一步掌握一次函数图象的画法；掌

握一次函数系数k,b与图象位置的关系；掌握一次函数的性质并会运用.让学生通过画图、

观察、讨论，探究一次函数的图象及性质，培养学生数形结合的意识和能力以及分类讨论的

思想；让学生全身心地投入到教学活动中，积极参与组内讨论，合作交流探索，提升实践能

力与创新精神.

第3课时用待定系数法求一次函数的表达式

敦与目标

【知识与技能】

使学生理解待定系数法.

【过程与方法】

能用待定系数法求一次函数，用一次函数表达式解决有关现实问题.

【情感与态度】

1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函

数式；

2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化.

【教学重点】

重点是待定系数法确定一次函数解析式.

【教学难点】

难点是待定系数法确定一次函数解析式.

教学国睚

一、提出问题，创设情境

一次函数关系式丫=1«+13(鼠b为常数，kWO),如果知道了k与b的值，函数解析式

就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？

二、导入新课

例1如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5;当x=5时，y=2.写出函数

表达式并画出它的图象.

X

\

\V=-3J;4-17

5卜\(4.5)

3

2

1

0

【解】因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b.

,Ak+b=5,k=_3

由题意,得1,解方程组，得《

5k+b=2.b=Yl.

所以函数表达式为y=-3x+17.图象如上图中的直线.

例2已知弹簧的长度y(cm)在一定的限度内是所挂物体质量x(kg)的一次函数.现已

测得不挂重物时弹簧的长度是6cm,挂4kg质量的重物时，弹簧的长度是7.2cm,求这个一次

函数的关系式.

【分析】这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6cm和挂4kg质量的重物时，弹簧的长度

7.2cm,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？具体来看，我们可以作如下分析.

已知y是x的一次函数，则关系式必是y=kx+b的形式，所以要求的就是系数k和b

的值.而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x=0时;y=6；当x=4时;y

=7.2.可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b的二元一次方程组，进而求得k与b

的值.

【解】设所求函数的关系式是丫=1«+1)(1<#0),由题意，得16=b,

7.2-4k+b.

伏=0.3,

解这个方程组，得《

b=6.

所以所求函数的关系式是y=0.3x+6.(其中自变量有一定的范围)

【教学说明】教师应向学生阐明两点：

(1)本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二

元一次方程组的问题.

(2)这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围.

【归纳结论】

先设待求函数的关系式(其中含有未知的常数系数)，再根据条件列出方程或方程组，

求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.

例3已知一次函数y=kx+b的图象经过点(T,1)和点(1,-5),求当x=5时，函数y

的值.

【分析1】图象经过点(T,1)和点(1,-5),即已知当x=-l时，y=l；x=l时，y

=-5.代入函数解析式中，求出k与b.

【分析2】虽然题意并没有要求写出函数关系式，但因为要求x=5时，函数y的值，

仍需从求函数解析式着手.

【解】由题意，得《一,;

-5=k+b.

k--3,

解这个方程组,得4

b--2.

这个函数解析式为y=-3x-2.

当x=5时，y=-3X5-2=-17.

三、运用新知，深化理解

1.已知函数y=kx+b(k,b为常数且k#0)的图象与y轴交点的纵坐标为-2,且当x=2

时，y=l.那么此函数的解析式为.

2.设一次函数y=kx+b(k、b为常数且k/0)的图象经过A(1,3),B(0,-2)两点,

试求k,b的值.

3.已知一次函数的图象如图，写出它的关系式.

第3题图