安徽省亳州市小涧中学高三数学理模拟试卷含解析

安徽省亳州市小涧中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 （

）A． B． C． D．参考答案：A2.已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：双曲线的定义．【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上点到焦点距离时，要考虑圆锥曲线的定义．本题涉及双曲线的上点到焦点的距离，定义的应用有两个方面，一个是应用第一定义把曲线上点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，一个是应用第二定义把点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，特别可得结论：双曲线上的点到左焦点距离为，到右焦点距离为．3.已知，则a，b，c大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：A略4.已知命题＞lnx；命题q：?a＞1，b＞1，logab+2logba≥2，则下列命题中为真命题的是（）A．（?p）∧q B．p∧q C．p∧（?q） D．p∨（?q）参考答案：A【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题＜1＜lnx，可得p是假命题；命题q：?a＞1，b＞1，logab，logba＞0，转化为logab+2logba=logab+，利用基本不等式的性质即可判断出真假，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：命题＜1＜lnx，因此是假命题；命题q：?a＞1，b＞1，logab，logba＞0，∴logab+2logba=logab+≥2=2，当且仅当logab=时取等号．因此q是真命题．则下列命题中为真命题的是（￢p）∧q．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性、基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（

）

A．31

B．13

C．41

D．32参考答案：B由三视图知几何体是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为正方形，高为，球心在高的延长线上，球心到底面的距离为，所以，所以，故此几何体外接球的半径为1球的体积，表面积为，所以球的体积与表面积之比为，故选B．点睛：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，由三视图可以看出，几何体是正四棱锥，求出高，设出球心，通过勾股定理求出球的半径，再求球的体积、表面积，即可求出球的体积与表面积之比.

6.若x，y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最小值是()．A.10 B.

C. D.参考答案：B略7.如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1+，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1，求出点P的坐标，再根据∠APF是锐角，则＜0，得到b2＜ac，继而得到e2﹣e﹣1＜0，解得即可．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1，由题意可得A（a，0），F（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），故直线AF的方程为y+b=x，直线NF的方程为y﹣b=﹣x，联立方程组，解得x=，y=，即P（，），∴=（，），=（，），∵∠APF是锐角，∴=?+?＜0，∴b2＜ac，∴c2﹣a2＜ac∴e﹣＜1，即e2﹣e﹣1＜0，解得e＞，e＜（舍去），故选：A8.已知集合，，则=（

）

参考答案：D9.若点在第一象限，且在直线上，则的最小值为（

） A．8

B．9

C．10

D．12参考答案：B略10.若集合，B={1，m}，若A?B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或参考答案：A【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由已知中集合，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A?B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A?B则m=2故选A【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解根式方程确定集合A是解答本题的关键，解答中易忽略根成有意义的条件，而错解为A={﹣1}二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“，”的否定是

．参考答案：12.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_________．参考答案：略13.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为

．参考答案：

考点：利用导数研究函数图像14.若数列满足：，则前6项的和

.参考答案：6315.当时，幂函数为增函数，则实数m的值为

参考答案：-116.有一个底面圆半径为1高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.参考答案：17.若x，y满足，则x+2y的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线上一点的极坐标为，其中.射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.参考答案：（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为曲线的普通方程为，极坐标方程为..............4分（Ⅱ）∵点在直线上，且点的极坐标为∴∵

∴∴射线的极坐标方程为联立，解得∴.....................................................10分19.坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，通过消去参数将直线l参数方程化成直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，利用圆心到直线l的距离列出关于m的方程即可求得实数m值．解答：解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0直线l的直角坐标方程为：y=x﹣m（Ⅱ）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，∴圆心到直线l的距离，∴、∴m=1或m=3．点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆相交的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．极坐标方程化成直角坐标方程关键是利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．属于基础题．20.（本小题满分12分）设抛物线C：的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点.(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.参考答案：解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)，p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.因为m的截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.略21.（本小题满分12分）已知动点M到定点与到定点的距离之比为3.（I）求动点M的轨迹C的方程，并指明曲线C的轨迹；（II）设直线,若曲线C上恰有两个点到直线的距离为1，

求实数的取值范围。参考答案：

22.已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程； （Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数）． 参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（I）利用导数的几何意义即可得出； （II）利用导数研究函数的单调性极值、最值，数形结合即可得出； （III）由于f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，得到．可得=．经过变形只要证明，通过换元再利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx﹣x2+2x，，切点坐标为（1，1）， 切线的斜率k=f′（1）=2， ∴切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1． （Ⅱ）g（x）=2lnx﹣x2+m，则， ∵，故g′（x）=0时，x=1． 当时，g′（x）＞0；当1＜x＜e时，g′（x）＜0． 故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m﹣1． 又，g（e）=m+2﹣e2， ，∴， ∴g（x）在上的最小值是g（e）． g（x）在上有两个零点的条件是 解得， ∴实数m的取值范围是． （Ⅲ）∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）， ∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，