江苏省常州市市横山桥高级中学高三数学文期末试题含解析

江苏省常州市市横山桥高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如下图所示，其中A，B分别为函数f（x）图象的一个最高点和最低点，且A，B两点的横坐标分别为1，4，若?=0，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A．（﹣6，﹣3） B．（6，9） C．（7，10） D．（10，13）参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出函数的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐标运算可求M，利用A（1，2）在函数图象上可求φ，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由题意可得：周期T=2×（4﹣1）=6=，解得：ω=，可得坐标：A（1，M），B（4，﹣M），=（1，M），=（4，﹣M），由于：?=0，可得：1×4﹣M2=0，解得：M=2，可得：2sin（×1+φ）=2，解得：×1+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：0＜φ＜，可得：φ=，解得函数解析式为：f（x）=2sin（x+），令2kπ+＜x+＜2kπ+，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，可得：当k=1时，函数f（x）的一个单调减区间为：（7，10）．故选：C．2.若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为 （

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.函数的最大值与最小值之和为（

）。(A)

(B)0

(C)

(D)参考答案：A4.若变量满足约束条件，则的最大值为（A）6

（B）7

（C）8

（D）9参考答案：C5.已知、是双曲线（a>0,b>0）的两个焦点，为双曲线上的点，若，则双曲线的离心率为（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：C

6.设集合，则(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.Ｄ.参考答案：B略7.函数f（x）＝xsin2x＋cosx的大致图象有可能是A．B．C．D．参考答案：A8.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(

)

A．若，，则

B．若，，则

C．，，则

D．若，，则参考答案：B略9.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A．B．C．D．参考答案：D略10.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3…（2n﹣1）”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2（2k+1） C．

D．参考答案：B【考点】数学归纳法．【分析】从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为．现在发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．参考答案：68

12.已知函数在点处的切线方程为，则__________．参考答案：4【详解】，，，则13.为定义在上奇函数，时，，则 。参考答案：﹣3略14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.

参考答案：略15.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．上面命题中，真命题的序号是

▲

（写出所有真命题的序号）．参考答案：略16.若函数，则=

。参考答案：3因为，所以。17.如图4，⊙的直径，是延长线上的一点，过点作⊙的切线，切点为，连接，若，

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.不等式选讲设函数.（I）当，解不等式；（II）若的解集为，，求证：.

参考答案：（I）;（II）证明：略.解析：（I）由已知可得，原不等式可化为等价于或或解得或或原不等式的解集为

……5分（II）依题可知，所以，即……7分

…………9分当且仅当，,即时取等号

…………10分【思路点拨】（I）当a=2时，原不等式为，分段讨论去绝对值得：或或解得或或原不等式的解集为.（II）依题可知，所以，即，所以，当且仅当，,即时取等号.

略19.已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.（12分）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．参考答案：【考点】：数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】：计算题；综合题．【分析】：（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．21.(本小题满分14分)（I）已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为

坐标原点,求证:为定值;

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知:过抛物线的焦点的动直线l交抛物线于两点,存在定点,

使得为定值.请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.参考答案：解:(I)若直线l垂直于x轴,则,.……………2分若直线l不垂直于x轴,设其方程为,.由……………4分.综上,为定值.……………6分(II)关于椭圆有类似的结论:过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点,存在定点,使为定值.……………7分证明:不妨设直线l过椭圆的右焦点其中若直线l不垂直于x轴,则设其方程为:,.由得:……………9分由对称性可知,设点在x轴上,其坐标为所以要使为定值,只要即此时……………12分若直线l垂直于x轴,则其方程为,,.取点,有……………13分综上,过焦点的任意直线l交椭圆于、两点,存在定点使为定值.

……………14分22.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点()在函数的图像上，其中为正整数．（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（Ⅱ）设(1)中“平方递推数列”的前项之积为，即

，求数列的通项及关于的表达式；（Ⅲ）记，求数列的前项和．参考答案：解：（I）因为

所以数列是“平方递推数列”．

--------2分

由以上结论，