湖南省永州市大忠桥镇第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省永州市大忠桥镇第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数为纯虚数，那么实数a的值为

A．-1

B．0

C．1

D．2参考答案：B2.当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(－∞,3] B．[3,+∞) C．[,+∞) D．(－∞,]参考答案：【答案解析】D

解析：因为不等式x+≥恒成立，所以有恒成立，令，，即在恒成立，而函数在上是增函数，故，故选D.【思路点拨】先根据已知条件把原式转化为在恒成立的问题，再借助于函数的单调性即可.3.在四面体ABCD中，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体的外接球的表面积为（） A．6π B．8π C．14π D．16π参考答案：C【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积． 【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=10，x2+z2=5，y2+z2=13， 则有（2R）2=x2+y2+z2=14（R为球的半径），得R2=， 所以球的表面积为S=4πR2=14π． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一． 4.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）A． B． C．0 D．1参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得：cosA===．故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．5.下列命题中的真命题是A．,使得

B.C．

D.

参考答案：B略6.集合则，(

)

参考答案：C7.函数的定义域是

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.将y=cos（2x+）图象上每点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位得到的函数表达式是y=（）A．cos（x+） B．cos（4x+） C．cos4x D．cosx参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】按照左加右减的原则，求出将函数y=cos（2x+）图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式，再求出将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式．【解答】解：将函数y=cos（2x+）图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为：y=cos（4x+）；再将得到的图象向右平移个单位长度，记所得图象的函数解析式为：y=cos[4（x﹣）+]=cos4x，故选：C．10.设函数f（x）＝ax2＋b（a≠0），若f（x）dx＝3f（x0），则x0＝

A．±1

B．

C．±

D．2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某同学在借助题设给出的数据求方程＝2－x的近似数(精确到0.1)时，设＝＋x－2，得出＜0，且＞0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为

．参考答案：1.7512.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是

参考答案：【知识点】指数函数

复合函数的单调性

B6

B3设，需满足，即，因为，所以，从而，可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，所以，即为，故答案为.【思路点拨】因为函数在上有意义，所以满足，求得，而可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，然后利用复合函数同增异减对进行分类讨论，可得结果.13.令Z的最大值为12，则Z的最小值为__________参考答案：-6最大值时:x+y=Z=12

最大在A处取得k=6

y=6Z=x+y最小值在B取得14.已知，则=

.参考答案：

15.已知，则不等式的解集是_________.参考答案：16.已知，则________参考答案：【分析】利用两角差的余弦公式展开，再逆用两角和的正弦公式即可得解.【详解】解：故答案为：.【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题.17.已知函数，则

.参考答案：，所以，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间。（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？参考答案：（1）如图建立直角坐标系，设角是以ox为始边，op0为终边的角，op每分钟内所转过的角为，得z＝4sin，当t＝0时，z＝0,得sin＝－，即＝，故所求的函数关系式为z＝4sin＋2 （2）令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，取，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4S。 19.某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm）：南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163；北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.(Ⅰ)根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；(Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的身高不低于170的大学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率.参考答案：(1)茎叶图如右：

统计结论：（给出下列四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给出其他合进的答案也给分）

①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；

②南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐；

③南方大学生的身高的中位数为169.5cm,北方大学生的身高的中位数为172cm；④南方大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散.

(2)南方大学生身高不低于170的有170,180,175,171,176,从中抽取3个相当于从中抽取2个，共有10种抽法，低于175的只有2个，所以共有3种，概率为20.在四棱锥中，平面是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1）证明：在正三角形中，.在中，因为为的中点，，所以，因为，所以，所以.在等腰直角三角形中，，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2）在正三角形中，.又因为平面平面，所以.而，因此平面.连接，因此就是直线与平面所成的角.在直角三角形中，，因此.21.如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，、、、是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。（Ⅰ）求甲经过的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人相遇经点的概率；（Ⅲ）求甲、乙两人相遇的概率.参考答案：解：（Ⅰ）甲经过到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过的方法数：种；第二步：甲从到Ｎ的方法数：种；所以：甲经过的方法数为；所以：甲经过的概率（Ⅱ）由（１）知：甲经过的方法数为：；乙经过的方法数也为：；所以甲、乙两人相遇经点的方法数为：＝81；甲、乙两人相遇经点的概率（Ⅲ）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以：＝164甲、乙两人相遇的概率略22.（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题： 综合题．分析： （Ⅰ）求出函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间（Ⅱ）a＞0时，用导数研究函数f（x）在[1，2]上的单调性确定出最小值，借助（Ⅰ）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞）∵f（x）=lnx﹣ax∴f′（x）=﹣a当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数；当a＞0时，令导数为0解得x=，当x＞时，导数为负，函数在（，+∞）上是减函数，当x＜时，导数为正，函数在（0，）上是增函数（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知当[1，2]?[，+∞）时，即a≥1时，函数函数f（x）在[1，2]上是减函数，故最小值为f（2）=ln2﹣2a当[1，2]?（0，]时，即0＜a＜时，函数函数f（x）在[1，2]上是增函数，故最小值为f（1）=﹣a当∈