山西省晋中市介休第六中学高三数学理测试题含解析

山西省晋中市介休第六中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y＝f（x）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f￠（x），则不等式f￠（x）≤0的解集为

（

）

A．[－，1]∪[2，3）

B．[－1，]∪[，]

C．[－，]∪[1，2）

D．（－，－]∪[，]∪[，3）参考答案：A2.飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km）∴在△ABC中，BC==20sin18°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．故选D．3.一个几何体的三视图如图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为（）A.

B.C.

D.参考答案：C略4.等比数列的前项和为,,则（）A．54 B．48 C．32 D．16参考答案：D5.下列有关命题的说法正确的是

(

) A．命题“若则”的逆否命题为真命题.B．函数的定义域为.C．命题“使得”的否定是：“均有”.

D．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.参考答案：A略6.在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴y轴上一点，且,若P(1，),则的取值范围是

A

B

C

D

参考答案：D设A(，0)，B(0,)，则=(3-,3-),=(3-)+(3-)=37-6(+)=37-12即可求范围7.已知，且是第四象限角，则的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先化简已知得到，再化简=，再利用平方关系求值得解.【详解】因为，所以，因为=，是第四象限角，所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.8.设a、b为实数，若复数=1+i则A．a=，b=

B．a=3，b=1

C．a=，b=

D．a=1，b=3参考答案：A略9.若命题“?x0∈R使得x02+mx0+2m+5＜0”为假命题，则实数m的取值范围是(

)A．[﹣10，6] B．（﹣6，2] C．[﹣2，10] D．（﹣2，10）参考答案：C【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】首先，求解该命题的否定成立时实数m的取值范围，从而得到所求实数m的取值范围．【解答】解：命题“?x0∈R，x02+mx0+2m+5＜0”，它的否定为?x∈R，x02+mx0+2m+5≥0，是真命题，此时满足：△≤0，∴m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，∴命题：?x∈R，x02+mx0+2m+5≥0，成立时，实数m的取值范围为[﹣2，10]，∴m∈[﹣2，10]，故选：C．【点评】本题采用“正难则反”的思想进行求解，注意保持命题的等价性和转化思想的灵活运用，属于中档题．10.函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 ()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4

D．4，－1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于

．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．12.若=2，则sin2x﹣sin2x=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据条件得出sinx，cosx的关系，利用sin2x+cos2x=1解出cos2x，代入式子计算即可．【解答】解：∵=2，∴sinx=﹣cosx．∵sin2x+cos2x=1，∴+cos2x=1，解得cos2x=．∴sin2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx=+=cos2x=．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，三角函数的恒等变换与化简求值，属于基础题．13.长方体的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中，

则四棱锥O-ABCD的体积的最大值为

．参考答案：2

略14.（5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA?sinC，则b的值为．参考答案：3【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件利用正弦定理可得b=6c?cosA，再把余弦定理代入化简可得b=3×，再把a2﹣c2=2b代入化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b的值．解：△ABC中，∵sinB=6cosA?sinC，∴由正弦定理可得b=6c?cosA=6c?=3×．∵a2﹣c2=2b，∴b=3?，化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b=3，故答案为3．【点评】：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为____________.参考答案：【分析】根据三视图作出三棱锥的实物图，计算出三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该四面体侧棱底面，且，，，，是正方体的一个角，所以，该四面体的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查几何体体积的计算，涉及到几何体的三视图，解题的关键就是将几何体的实物图作出，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16.若表示圆，则的取值范围是

参考答案：或17.某校有高级教师26人，中级教师104人其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师

人．参考答案：182三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数的值（2）判断并证明在上的单调性（3）若对任意实数,不等式恒成立,求的取值范围参考答案：（1）由于定义域为的函数是奇函数,∴∴经检验成立

（2）在上是减函数.证明如下:设任意∵∴∴在上是减函数,

（3）不等式,由奇函数得到所以,由在上是减函数,∴对恒成立∴或综上:.19.（本小题12分）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.参考答案：……………6分……………12分20.（本小题满分12分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点。（1）求曲线的方程；（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值。参考答案：（1）设圆心的坐标为，半径为由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切

2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中故圆心的轨迹：

4分（2）设，直线，则直线由可得：，

5分由可得：

6分

和的比值为一个常数，这个常数为

8分（3），的面积的面积，到直线的距离

10分令，则（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值

12分21.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．参考答案：（1）解：∵椭圆过点，

∴.

…………1分

∵，

…………2分∴．

…………3分∴椭圆的方程为.

…………4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）

有且只有一组解．由（*）得．

……6分从而,化简得．①

…7分

，.……………9分∴点的坐标为.

……10分由于，结合①式知，

∴.

……11分

∴与不垂直.

……12分

∴点不是线段的中点.

……13分

∴不成立.

……14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.

………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）

有且只有一组解．由（*）得．

……6分从而,化简得．①

…7分

，

…………………8分由于，结合①式知，

设,线段的中点为,

由消去,得.………………9分

∴.

……10分

若,得,化简得,矛盾.

………………11分

∴点与点不重合.

……12分∴点不是线段的中点.

……13分

∴不成立.