福建省漳州市浦南中学高三数学文测试题含解析

福建省漳州市浦南中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列中，“”是“”的

(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略2.5名志原者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有

（A）150种 （B）180种

（C）200种 （D）280参考答案：A3.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（

）A.向右平移

B.向左平移

C.向右平移D.向左平移参考答案：C4.（5分）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=0，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为（）A．1B．C．2D．2参考答案：B考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结PO，则PO∥SA，从而∠DPO为异面直线SA与PD所成角，由此能求出异面直线SA与PD所成角的正切值．解答：解：连结PO，∵P、O分别为SB、AB的中点，∴PO∥SA，∴∠DPO为异面直线SA与PD所成角，∵CD⊥AB，CD⊥SO，AB∩SO=O，∴CD⊥平面SOB，∴OD⊥PO，在Rt△DOP中，OD=2，OP=SB=，∴tan∠DPO===，∴异面直线SA与PD所成角的正切值为．故选：B．点评：本题考查异面直线SA与PD所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．5.下列四个选项给出的条件中，能唯一确定四面体ABCD的是

A．四面体ABCD三对对棱（即没有公共顶点的棱）分别相等，长度分别是1cm，2cm,3cm

B．四面体ABCD有五条棱长都是1cm

C．四面体ABCD内切球的半径是1cm

D．四面体ABCD外接球的半径是1cm参考答案：A6.已知下面左图是函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|＜的图象，那么(

)

(A)ω＝

(B)ω＝

(C)ω＝2，φ＝

(D)ω＝2，φ＝－

参考答案：答案：C7.对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足与的夹角，且都在集合中，则(

)

参考答案：略8.已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）≤对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：9.下列区间中，函数在其上为增函数的是（

）

参考答案：D略10.若

则A.1

B.－2

C.－2或4

D.4参考答案：D【知识点】定积分B13解析：解得或（舍），故选择D.【思路点拨】根据被积函数找到原函数，然后利用微积分定理计算定积分即可.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若z?C，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，则z的值是________.参考答案：±(1+i)解：如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．∴z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)．12.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝

．参考答案：1113.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．参考答案：【考点】定积分；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==，所以p=．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，点E为CC1上的一个动点，平面与棱AA1交于点F，给出下列命题：①四棱锥的体积为20；②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值；③当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面④存在唯一一点E，使得平面，且其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）参考答案：①②④【分析】①根据，再根据等体积转化，求出和，得到答案；②判断出截面四边形为平行四边形，将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，得到最小为内的长度，从而得到截面四边形的周长的最小值；③取为中点时，在平面中，延长，交于，可得；④以点建立空间直角坐标系，根据线面垂直，得到点坐标，并求出.【详解】长方体中，命题①，易知平面到平面的距离，等于到平面的距离，为，同理到平面的距离，等于到平面的距离，为所以，故正确.命题②，易知平面平面，平面平面，平面平面所以，同理，即四边形为平行四边形将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，可得在内，最小为的长度，此时点为与的交点，所以四边形的周长取得最小值，故正确.命题③，取为中点时，易知为中点在平面中，延长，交于，通过，得到，所以，即此时平面，而此时点在延长线上，不在棱上，故错误.命题④，以点建立空间直角坐标系，设点，，所以，即，要使平面，则需，即所以，得，即，故正确.故答案为：①②④【点睛】本题考查等体积转化求四棱锥的体积，棱柱展开图中最短距离问题，线面平行的判定，已知线面垂直利用空间向量求线段的长，属于中档题.15.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则

▲

．参考答案：略16.定义在上的奇函数当时，则关于的函数的所有零点之和为________________（结果用表示）．参考答案：【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程.【试题分析】函数有零点，则函数的图像与直线有交点，它们的图像如图所示，当时，图像无交点，当时，，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，令，得，当时，由得，，，同理，可得当时，，所以函数的所有零点之和为，故答案为.17.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是__________参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当时，的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2为定值.参考答案：解：（Ⅰ）设由题，解得，则，椭圆的方程为.（Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得，，，则，直线的斜率为，直线的斜率为，，当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线、的斜率存在时，，设直线的方程为，则由消去可得：，又，则，代入上述方程可得，，则，设直线的方程为，同理可得，直线的斜率为，直线的斜率为，.所以，直线与的斜率之积为定值，即.19.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）。现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。（1）求证：BC⊥平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．参考答案：

证:（1）在图1中，过C作CF⊥EB，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1。∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3。∴AE=BF=1。∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。连结CE，则CE=CB=∵EB=2，∴∠BCE=90°。则BC⊥CE。在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE。∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。

（2）用反证法。假设EM∥平面ACD。

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD。∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB//平面ACD矛盾。∵假设不成立。∴EM与平面ACD不平行。

略20.（本小题满分16分） 已知数列中，，前项和为

（I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。参考答案：（I）；（II），18.试题分析：(1)由题意当试题解析：解：（I）由题意，当

当

则

则

即

则数列是首项为1，公差为0的等差数列。…………6分

从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列。

所以，…………8分

（II）…………10分

所以，

…………12分

由于

因此单调递增，故的最小值为…………14分

令，所以的最大值为18。…………16分考点：等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质.21.已知函数，（1）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；（2）若函数有且仅有一个零点，求的值；（3）若函数有两个极值点，且，求的取值范围参考答案：（1）由已知得曲线在点（1，）处的切线方程为

代入得所以，当或时，有两个公共点；当或时，有一个公共点；当时，没有公共点

（2）=，由得令，

所以，在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增

因此，

（3）=，令=∴，即有两个不同的零点，令=且当时，随的增大而增大；当时，所以，，此时

即时，

略22.已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为≥b．构造函数g（x）=，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x?≥b．令g（x）=，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．（2）f′（x）=2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，