【冀教版】八年级上：第12章《分式和分式方程》全章教学案（含答案）

第十二章分式和分式方程

L了解分式的概念，掌握分式的全然性质,并能用其停顿约分和通分.

2.了解和掌握分式加、减、乘、除的运算法那么会停顿复杂的分式的加、减、乘、除的运算.

3.了解分式方程的概念，会解一些复杂的可化为一元一次方程的分式方程，明白得解分式方程能够发生

增根，了解检验的必要性，并会停顿检验.

4.经过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能树立分式方程模型处置有关的实践征询题.

1.在推断分式的进程中，让先生会区分整式和分式.

2.在了解分式的全然性质的基础上，掌握分式的约分和通分法那么.

3.能依照分式的四那么运算法那么停顿分式的加、减、乘、除及混合运算，掌握计算的办法和技巧，会解

分式方程并停顿检验.

1.在看法分式的进程中，让先生体验知识之间的肯定联络，体会类比思想的运用，激起先生爱数学、学数

学的兴味.

2.培育先生育成仔细细心计算的良好适应，看法数学是处里实践征询题和停顿交流的重要工具.

3.结合剖析和处覆实践征询题，讨论能够化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法，体会

解方程中的化归思想.

本章要紧内容是经过理想情境树立分式的概念，探求分式的全然性质,停顿分式的加、减、乘、除运算,

树立分式方程并解分式方程.

分式的运算实质是转化为整式的运算来停顿的，分式的通分与约分普通需求分解因式，因而，分式的运的

确是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步展开,也是学习分式方程、函数等外容的重要基础.

本章内容出现方式及特点:

(1)突出了模型的树立进程.教材经过用代数式表示理想征询题中的数量关系，并对代数式停顿分类、比

拟,树立起分式的概念;在与已学过的方程停顿比拟的进程中，抓住了知识的“生长点”，树立了分式方程的概

念.本章突出了模型思想和树立模型的进程，落低了概念过火方式化的要求.

⑵突出了“类比”进程，类比是合情推理的重要方式之一，是“察觉”和"创新”的重要手腕，也是处置征

询题的常用办法.本章让先生充沛阅历了与分数类比、提出猜测、取得分式的全然性质和运算法那么的进

程.

(3)突出了“转化”进程，转化是处置征询题常用的思想办法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方

程中都突出了转化的进程，进一步使先生感悟数学思想,积存处置征询题的阅历.

【重点】

1.能用分式的全然性质停顿约分和通分，会停顿分式的混合运算.

2.能解可化为一元一次方程的分式方程.

3.能用分式方程处置普通的实践征询题.

【难点】

1.对分式概念及其全然性质的了解.

2.能停顿分式的约分、通分，体会方程是描写理想世界的一个无效的数学模型.

1.让先生充沛阅历概念的构成进程，先生取得知识必需树立在数学思索的基础上，因而，关于分式、分式

方程和分式方程的增根等概念，要创设情境，向先生提供充足的素材,促进数学思索的展开.教学中,还能够

补充一些更具有理想性和应战性的征询题.

2.分式的通分、约分和运算的教学，实践上是分式全然性质、运算法那么的运用,应经过适当的运算让

先生进一步了解运算的意义，掌握算法，在了解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧，不

要添加简易的计算题.

3.解分式方程时，要了解去分母的目的和由此发生增根的缘故，从而体会去分母的意义和对根停顿检验

的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不用添加难度和停顿少量的训练.

总之，本章的知识是传统的代数全然知识，但在知识的出现方式上作了较大的改进，在教学要求上也有

所不同.在教学进程中，不要以为知识太复杂而不留给先生探求与思索的时辰和空间，“一讲究竟”.对每一

个新知识的教学,要有与先生一同思索的活动，要有与先生一同探求的进程,要有与先生一同分享成功的喜悦.

本教材内容严厉依照课程规范的要求，真实改动简易偏旧的状况，教学时要掌握教材的要求，不要随意添加例

题和习题的难度，不要随意拔高要求，以免添加先生不用要的担负.

12.1分式2课时

12.2分式的乘除2课时

12.3分式的加减2课时

12.4分式方程1课时

12.5分式方程的运用2课时

回想与思索1课时

12.1分式

1.了解分式的概念，明白分式中分母不能为0是分式成立的条件.

2.了解分式的全然性质，掌握分式的约分法那么.

阅历与分数类比学习分式的进程，学会与不人协作，并取得代数学习的一些常用办法:类比转化、合情推

理、笼统概括等.

1.看法和体会专门与普通的辩证关系,提高数学运用才干.

2.经过类比分数、分数的全然性质及分数的约分,揣测出分式、分式的全然性质及分式的约分,在先生

已无数学阅历的基础上，提高先生学数学的乐趣.

【重点】分式的意义、分式的全然性质、最简分式和约分.

【难点】分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.

第课时

1.使先生了解分式的概念，明白整式和分式的区不，能用分式表示理想情境中的数量关系.

2.明白分式中分母不能为0是分式成立的条件.

3.使先生能求出分式有意义的条件.

4.使先生初步掌握分式的全然性质,并能用它停顿分式的约分.

启示先生学会观看、剖析、寻寻解题的途径,提高剖析征询题、处置征询题的才干.

1.经过丰厚的数学活动，取得成功的阅历，体验数学活动充溢着探求和创新，体会分式的模型思想.

2.经过火数与分式的比拟，培育先生良好的类比活应和思想办法，并培育先生严谨的迷信态度.

【重点】

1.分式的概念,分式有意义的条件.

2.分式的全然性质.

【难点】分式有意义的条件，分式的值为0的条件及分式的全然性质.

【老师预备】相关课件.

【先生预备】温习小学学过的分数和初中学习过的整式.

导入一：

某种商品，原来每盒售价为〃元，如今每盒的售价落低了2元.用500元钞票置办这种商品，如今比原来

可多买多少盒？

如何样用代数式表示如今比原来可多买多少盒？盒.

［设计意图］经过教材章前图，引导先生列出分式，感知分式的特点，为学习本课时做认知预备.

导入二：

假定在一条公路上，同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的均匀距离为4米辆），车辆的均

匀速度为«m/s）,那么（辆秒）叫做这条公路的同向行驶的车流量.

征询题:假定明白中两个字母所代表的数量,你能求出如今的车流量吗？

［设计意图］经过教材中习题的车流量的情境，协助先生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性

和精确性.

导入三：

面对日益严峻的土地沙化征询题,某县决议分期分批固沙造林，一期工程方案在一活期限内固沙造林

2400公顷，实践每月固沙造林的面积比原方案多30公顷，结果延迟-1个月完成原方案义务.原方案每月固沙

造林多少公顷？假定设原方案每月固沙造林x公顷，那么原方案完成一期工程需求个月，实践完成一

期工程用了个月.

让先生讨论并填空:

生:原方案完成一期工程需求个月，实践完成一期工程用了个月.

［设计意图］经过土地沙化征询题，进一步丰厚征询题的实践背景，激起先生的求知愿望，让先生探求

征询题中的数量关系,同时体会爱护人类生活环境的重要性.

活动一:做一做——感知分式

［过渡语）（针对导入一）刚刚我们列出的式子是不是整式呢?接上去我们就•同探求那个征询题.

（一）出示教材第2页做一做

1.一项工程，甲施工队5天能够完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少？

假定乙施工队a天能够完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？式伙a）天完成的工程量又

是多少？

2.曾经明白甲、乙两地之间的路程为0km.假定A车的速度为〃km/h,B车比A车每小时多行20km,那

么从甲地到乙地,A车和B车所用的时辰各为多少？

（二）尝试对所列代数式分类

师:同窗们能列出这两个征询题中的相关代数式吗？

生:（列代数式、老师随时板书）

，，，，，•

师:刚刚同窗们列出的代数式有什么共同特点?你能把它们分红两类吗？

预设：

生1:全然上分数.

生2：依照分母能否含有字母分两类.

生3:依照分子能否含有字母分两类.

［设计意图］经过火类活动，让先生积极参与到课堂思索活动当中,在分类中察觉分母含有字母那个重

要特征，为总结和了解分式的概念奠定基础.

活动二:大伙儿谈谈——总结分式定义

［过渡语］大伙儿依照分母能否含有字母把这些式子分红两类，我们给这些分母中含有字母的式子下

个定义吧！

思绪一

征询题：

1.以上代数式中哪些是整式？哪些不是整式？

2.不是整式的代数式有哪些共同特征？

老师向先生指出，类比和归结是探求新概念的重要办法.

在先生观看、归结的基础上，老师板书分式定义:普通地，把形如的代数式叫做分式，其中,4人全然上整

式，且/，含有字母.A叫做分式的分子”叫做分式的分母.

类比分数剖析分式概念：

方式:与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成.

内容:分数的分子、分母全然上整数,分式的分子、分母全然上整式.

要求:分式的分母中必需含字母;分子中能够含字母，也能够不含字母.

思绪二

师:下面请同窗们看一下这四个式子，看它们有什么一样点和不同点？

»>»•

先生依照本人的观看，说出:,是分数，是整式.

师:而另两个式子,看它们有什么特点？请同窗们本人总结一下.

先生思索后说:分母中有字母.

引导先生归结:普通地，把形如的代数式叫做分式，其中,48全然上整式，且/，含有字母.,4叫做分式的分

子/叫做分式的分母.

活动三:例题解说——深化对分式的看法

指出以下各式中，哪些是整式，哪些是分式.

x-2„5/„„.

思索：

1.含有分母的式子的确是分式吗？（不是，分式的分母中必需含有字母）

2.分式和整式有什么关系？（分式能够看成两个整式相除的商,除式中要含有字母）

先生剖析，得出结论.

解:x-2,,5式全然上整式；

由于,，的分母中都含有字母，因而它们全然上分式.

［设计意图］经过观看、归结、总结出整式与分式的异同，类比分数，合理联想,取得分式概念，经过征询

题剖析加深先生对分式概念的了解，从而提示分式概念的实质.

活动四:大伙儿谈谈——分式的字母能够恣意取值吗

在什么状况下，以下各分式有意义？

»>,

征询题：

1.分数在什么状况下有意义？

2.分式中分母的字母能够恣意取值吗？

3.在什么状况下下面的三个分式有意义？

［处置方式］先生交流、老师总结强调.

⑴分式有意义，需求分母不为0,需求解一个带“片”的不等式;反之，当分式有意义时，那么分母为0.

(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.能够用方程和不等式组成条件组表示上述条件.

［设计意图］由先生本人察觉征询题、处置征询题并寻出关键所在，既能激起先生的求知愿望，又能

无效深化知识.同时经过笼统比喻“分数线是路面,分母是圈套”使先生品尝数学的兴味性.

(补充例题)当x取什么值时，以下分式有意义？

(1)；(2)；(3)-.

(解析)只要当分母不为零时，分式才有意义.

解:⑴要使有意义,必需使4户1/0,即X*-.因而当杼T寸，有意义.

⑵要使有意义，必需使1-W0,即xW±l,因而当杼±1时，有意义.

(3)要使-有意义，必需使x+3#0且X-2K0,即xW-3且#2.因而当£-3且杼2时，韦意义.

强调:在解答分式有意义、有意义、值为零的题型时，一定要紧扣分式的概念.如分式有意义时，必需满足

回0;有意义时，必需满足左0;值为零时，必需满足走0且回0.其中值为零曾经隐含了分式有意义，只是值为

零而已，留意区不.

［知识拓展］关于分式的定义和成立的条件要留意以下几点：

L分式的方式与分数相似，但它们是有区不的，分数是整式，不是分式,分式是两个整式相除的商式，其全

然区不如下表：

分式分数整式

分母中含分子、分母中都

区不分母中不含有字母

有字母不含有字母

2.分式与分数是相互联络的，由于分式中的字母能够表示不同的数，因而分式比分数更具有普通性;

分数是分式中字母取专门值后的专门状况.

3.留意分母含m的代数式容易推断错误,如:不是分式，由于n不是字母，而是常数.

4.留意分式的值为0时，容易疏忽分母不为0的条件.

活动五:分式的全然性质

［过渡语］刚刚我们研讨了分式有意义的条件，小学我们学过火数.请同窗们思索:你觉得,和三个数相

等吗？

下面我们来看看分式能否具有相似的性质？

1.请看下面的征询题：

填空：

先生独立思索，依照分数的全然性质，的分子、分母同乘2,可得，的分子、分母同除以10,得.

思索:分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值会如何样？

归结:分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

用式子表示为:,（材是不等于0的整式）.

【留意】由于0不能作除数，因而分式的分子、分母同乘（或除以）的那个整式不能等于0.

2.“做一做”.

分式与相等吗？还有与它们相等的分式吗？假定有，请你写出两个如此的分式.

引导先生失掉:把的分子、分母同除以（aV）失掉;把的分子、分母同除以。失掉，因而两个分式相等.

先生举出具有异样特点的两个分式.

［知识拓展］了解分式的全然性质应留意以下几点：

分式的全然性质与分数的全然性质相似，要特不留意“不等于0"“同乘（或除以）”这些关键词.“同乘

（或除以）”阐明分子与分母都乘或都除以，同时分子与分母乘或除以的整式是一样的;“不等于0”是对分子

与分母乘或除以的整式的限制条件.假定原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式的全然性质时，要先把

分式的分子（或分母）用括号括上，再乘（或除以）非零整式.

知识总结

知识方关键总结本卷须知

法要点

普通地，把形如的代

数式叫做分式，其中

分式的4/夕是整式，且4中含

分母含n的代数式容易推断错误.

概念有字母叫做分式的

分子心叫做分式的分

母.

(1)分式有意义:分母

分式有意

不为0;

义或有意

(2)分式有意义:分母

义或分式推断分式的值为0时，容易疏忽分母不为0的条件.

为0;

值为0的

(3)分式值为0:分子

条件

为0且分母不为0.

分式的分子与分母

分式的

同乘(或除以)一个不

全然

等于0的整式，分式

性质

的值不变.

规律办法总结

1.推断分式的依照是看分母中能否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.

2.(1)分式的全然性质的作用:分式停顿变形的依照.

(2)在运用分式全然性质时，必需留意乘或除以的是同一个整式,且不为0.

(3)分式全然性质的研讨办法:从分数一分式;从专门一普通.

1.假定分式有意义，那么A的取值范围是()

A.恣意数B.产1

C.xW1D,产0

解析:分式有意义，分母xTXO,据此能够求得x的取值范围是应选C.

2.假定将分式(a,4均为正数)中的字母a,4的值分不扩展为原来的2倍,那么分式的值()

A.扩展为原来的2倍

B.增加为原来的

C.不改动

D.增加为原来的

解析:分式中的字母分不扩展为原来的2倍，分式的分子扩展为原来的2倍，分式的分母扩展为原来的4

倍，因而分式的值增加为原来的.应选B.

3.以下代数式是分式的有.(填序号)

ab-ac,.

解析:推断一个代数式是不是分式，看分母中能否含有字母，假定分母含有字母，那么是分式;假定分母不

含有字母,那么不是分式中分母都含有字母，是分式,a6ac和是整式,不是分式面于n不是字母，而是常数.

故填②③④⑤.

4.曾经明白分式，当x=时,分式有意义.

解析:依照分式有意义，分母等于0列式计算即可得解.依照题意，得x+3=0,解得产-3.故填3.

5.推断以下从左到右的变形能否正确.

(1).()

(2).()

⑶-(

(4).()

解析:此类题要紧调查分式的全然性质.关于，条件中隐含;*0,分子、分母同时乘a,可得成立,因而⑴

正确;分子、分母加上c,只要当c=0时一定成立，其他条件下不一定成立,因而⑵错误;当^0时,不成立，因而

(3)错误;在中，隐含cWO,分子、分母同时除以c,式子成立，因而(4)正确.

答案:⑴口⑵X⑶X(4)0

6.曾经明白分式，当尸-3时，该分式没有意义;当A=-4时,该分式的值为0,求(研〃的值.

解析:分式没有意义时,分母为0;分式的值为0时,分子为0,分母不为0.

解:依照分式没有意义的条件，有广后0,那么产力，当尸-3时，"尸3,再依照分式的值为0的条件，可求得n

的值为Y,因而(砒"产N3Y而”=1.

7.不改动分式的值，把式子的分子与分母的系数化为整数.

解析:应用分式的全然性质，分子与分母同时乘6即可.

解:.(答案不独一)

第1课时

活动一:做一做——感知分式

活动二:大伙儿谈谈——总结分式定义

分式定义

活动三:例题解说——深化对分式的看法

例1

活动四:大伙儿谈谈一分式的字母能够恣意取值吗？

例2

活动五:分式的全然性质

,“/是不等于()的整式)

一、教材作业

【必做题】

1.教材第3页练习第1题.

2.教材第4页习题第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题第3题.

二、课后作业

【基础稳定】

1.代数式的家中来了几位主人其中属于分式家族成员的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.当分式没有意义时/的值是（）

A.2B.1C.OD.-2

3.以下关于分式的推断，正确的选项是（）

A.当尸2时，的值为零

B.当xW3时,有意义

C.不论x为何值，不能够得整数值

D.不论x为何值，的值总为正数

【才干提升】

4.假定是一个整数，那么x的最大的整数值为（）

A.8B.13C.16D.18

5.当产3时，分式的值是.

6.当ZZF时，分式的值为零.

7.某工厂方案a天消费60件产品，那么均匀每天消费该产品件.

8.观看以下式子:4=4-,5=5-,6=6-,设"表示正整数（"24）,用含"的等式表示那个规律是.

9.以下各式中,哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区不？

a,2x+y„„3a,5.

【拓展探求】

10.在学习中小明和小丽都遇到了“当工取何值时，有意义”？小明的做法是:先化简，要使有意义，必需X-2W0,

即在2;小丽的做法是:要使有意义，必需/MW0,即PW4,因而小片-2/2*2.假定你与小明和小丽在同一个

学习小组,请你宣布一下本人的意见.

【答案与解析】

1.C（解析:分式与整式的区不要紧在于分母中能否含有未知数这3个式子分母中含有字母，因而是分式.其

他式子分母中均不含有字母，是整式,而不是分式.应选C.）

2.A（解析:分式有意义的条件:分母为零.）

3.D（解析:依照分式的值为0的条件，以及分式有意义的条件即可求解.当尸2时,有意义，故A错误;当杼0时,

有意义，故B错误;当尸2时海整数值，故C错误;分母A1大于0,分子大于0,故不论x为何值，的值总为正数,

故D正确.）

4.A（解析:假定是一个整数，那么x-3是5的约数，那么x-3=±l或±5.即尸4或2或8或-2,因而x的最大整

数值是8.）

5.1（解析:将尸3代入分式，即可求得分式的值.）

6.3（解析:由（0T）（0-3）=O,/-3研2W0,解得"尸3.故填3.）

7.（解析:任务效率=任务总量+任务时辰，把相关数值代入即可.）

8.炉解析:观看等式可得等号左边的第一个因数与第二个因数的分子、等号左边的被减数、等号左边减

数的分子一样;等号左右两边的分母均为前面所得的数加1.）

9.解:整式:a,2内％,3a,5；不是整式:，.它们的区不在于分母中能否含有字母，假定含有字母,那么不是整式，假定

不含有字母,那么是整式.

10.解:要使有意义，必需V/W0,即产片4,因而MW-2,XZW2.故小丽的做法正确,小明的做法使原来的分式中

字母x的取值范围扩展了，从而出错.

从相等分数的变形依照，分数的全然性质作为温习引入,类比到相等分式的变形依照，归结概括出分式

的全然性质.对分数的全然性质和分式的全然性质做了对比研讨，完成了从“数”到“式"的提升.

1.在教学进程中，关于先生的指点还有些不够到位的地点，如:对分式有意义、有意义和值为零类解答题

的解答进程示范不够到位.

2.让局部因式分解不熟练的先生没有积极投入到分式全然性质的学习中来.

1.留意加深整式和分式的区不，增强解答标题进程的示范，进一步关注数学与生活的紧密联络.

2.在例题选配上,还需求进一步打破运用分式的全然性质对分式停顿变形这一难点，增设推断从左到

右的变形能否正确这一类例题.

练习（教材第3页）

1.解:⑴r#=l.（2）xK-.

2.解:（1）正确.（2）不正确.（3）正确.（4）正确.

习题（教材第4页）

1.解:当片20m/s,值10米/辆时,=2（辆/秒）.

2.解:要使分式有意义，那么必有产1#0,因而因而当xKT时,分式有意义.要使分式的值为0,那么

必有因而产0,因而当户0时，分式的值为（）.

3.解:（1）是分子、分母同时乘V失掉的.（2）是分子、分母同时除以x失掉的.（3）是分子、分母同时乘5

失掉的.（4）是分子、分母同时除以x-2失掉的.

4.解:答案不独一.如，等.

重难点打破建议

分式是在先生学过火数、整式的基础上对代数式的进一步研讨.分式与分数相似，但又有所不同,分数是

分式的详细化，分式是分数的普通方式，这种普通与专门以及“数式相通”的类比思想先生依然比拟完善的.

但是八年级的先生具有一定独立思索、概括归结的才干，也有特不强的协作看法.本课时的重点为分式的概

念，难点为了解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能打破这一重、难点，为后续的学习奠定坚实的基础，

因而本节的设计中，突出了先生观看、猜测、剖析、思索、归结等进程，让先生真正地参与到学习中去，提

高他们的学习兴味.

当x时，分式的值为正数.

〔解析）分子犬+4>0,分子与分母异号时，分式的值为正数，即%-2<0,K2.先生小组协作，并交流解析进

程.故填<2.

［设计意图］虽然有一定的难度，但先生经过小组协作交流，没有畏惧感，发扬了先生处置征询题的自动

性，使每个先生在探求中有所播种.

以下各式中,哪些是整式？哪些是分式？

（解析）区分整式与分式的标精的确是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.

解:整式有:,/旺卜分式有:,

［解题战略］留意辨析一些专门的代数式，如中n是常数，故是整式;-容易看出是分式,是整式，类比，一

个整数减去一个分数结果是分数"得出美分式.

X取什么值时,分式有意义？

解:dT且丘-2时,分式有意义.

［解题战略］要使分式有意义，应使分式的分母不为零，对(x+l)(*+2)W0来说，欲使其成立，必需杼-1,同

时-2,即xW-1且xW-2.

［办法提示］只需分式中的分母不等于0,分式就有意义.

第课时

1.类比分数的约分，了解分式约分的意义.

2.会用分式的全然性质停顿约分，掌握分式约分的办法与步骤.

经过类比分数的约分，探求分式的约分法那么，学会运用类比转化的思想研讨数学征询题.

1.经过研讨处置征询题的进程，培育先生协作交流的看法与探求肉体.

2.经过对分式约分的探求，让先生充沛参与到数学学习的进程中来，使他们体验到成功的乐趣.

【重点】运用分式的全然性质正确地停顿分式的约分.

【难点】约分时，最简公因式的确定.

【老师预备】课件CL

【先生预备】温习分数的约分和分式的全然性质.

导入一：

【课件1】如何样把分数，约分？你做这些标题的依照是什么？与相等吗？什么缘故？

先生将，约分后,仿照分数约分的办法，依照分式的全然性质，约去分式的分子与分母的公因式2战,失掉.

【老师点拨】分式化为，如此的分式变形进程的确是分式的约分.

导入二：

【课件2]下面的等式中右式是如何样从左式失掉的？这种变换的实际依照是什么？

(1)；(2).

解:(1)式中的左边，分式的分子与分母都除以2才尻失掉右式，这里aW0,6X0.(2)式中的左边，分式的分

子与分母都除以(x+y),失掉右式，这里(x+0片0.这种变换的依照是分式的全然性质:分式的分子与分母都乘

(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.

【课件3]化简:(1),(2),并说出这是什么运算？运算的依照是什么？

解:(1).(2).这种运的确是分数的约分，运算的依照是分数的全然性质.

师:什么是分数的约分？约分的办法是什么？约分的目的是什么？

生:把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比拟小的分数，这种运算叫做分数的约分.关于一个分数

停顿约分的办法是:把分子、分母都除以它们的条约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数.

师:分式的约分和分数的约分相似，下面讨论分式的约分.

导入三：

同窗们，想一想,对分数如何样化简？

【课件4]思索:以下分式是如何样从左边变形到左边的？

⑴yo)；(2)；

(3).

反过去，把一个分式的分子、分母都除以公因式之后，就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板

书课题)

［设计意图］按由专门到普通的思绪让先生回想有关内容，为学习新知识做好铺垫.在那个活动中，首

先激活先生原有的知识，表达了学习是在原有知识的基础上自我生成的进程.

活动一:分式的约分和最简分式

［过渡语］如何样停顿分式的约分?分式的约分的依照是什么？

思绪一

1.分式的约分

分式能不能化简？假定能，那么化简的依照是什么？化简的结果又是什么？

老师指点先生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.

展现【课件5】

老师依照先生化简的进程停顿解说.

归结：

(1)分式约分的依照是依照分式的全然性质.

(2)约分:依照分式的全然性质,把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

思索:假定分子、分母全然上单项式时,如何寻公因式？当分子、分母全然上多项式时，又如何寻公

因式？

生讨论回答后总结：

约分的步骤:①先寻分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式.

公因式的确定办法:①当分子与分母全然上单项式时，所不离出的公因式的系数应是分子系数与分母

系数的最大条约数，字母因式是分子、分母一样字母的最低次事的乘积.②当分子与分母全然上多项式时,

应先分不停顿因式分解，再寻出它们的公因式.

进一步了解以上几句话

【课件6】寻出以下分式中分子与分母的公因式(口答)：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5).

2.最简分式

先生思索并交流:假定几个分式约分后，分不失掉了,,，这几个分式有什么特点？还能接着约分吗？

生交流讨论后回答:不能再约分了.

师总结:这几个分式的分子与分母，除1以外没有其他的公因式，不能接着约分了，如此的分式叫最简分

式.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.

【课件7]在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：

小颖:；

小明:.

你对他们俩的解法有何看法？说说看！

引导先生剖析得出小颖在化简时，没有化成最简分式，她的做法是错误的.

思绪二

【课件8】我们观看：

⑴5)；

(2)(a+Z>^0).

这一进程由左到右是如何样变形的？依照的是什么？(小组讨论回答)

生:(1)式分子与分母同乘34,(2)式分子与分母同乘(9班依照的是分式的全然性质.

师:将以上两个式子倒过去，又是如何样变形的？依照的是什么？

生:(1)式分子与分母同除以34(2)式分子与分母同除以(a+4),依照的是分式的全然性质.

我们把以上两式由右到左的变形进程叫分式的约分.(1)中的3。与(2)中的(广9分不是分子与分母的公

因式.

由以上的学习进程,先生总结约分的定义(小组讨论回答)：

应用分式的全然性质,把分式中分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

强调:分式约分的依照:分式的全然性质.分子、分母(除1以外)没有公因式的分式，叫做最简分式.

【课件9】是最简分式.这种说法对吗？什么缘故？

解:不正确.由于分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,因而不是最简分式.

［知识拓展］分式的化简,的确是把复杂的分式化为整式或最简分式，分式的约分是依照分式的全然性

质，约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.

活动二:例题解说

［过渡语］掌握了分式约分和最简分式的概念，明白了分式约分的目的确实是把分式化成最简分式或整

式.下面我们来做几道例题,共同来稳定一下约分的办法.

【课件10］

约分：

(1)；(2)；(3).

老师引导先生察觉：①确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大条约数和一样因式的最低次幕的

积;②分式约分的最初结果应为最简分式或整式，即分子、分母(除1以外)没有公因式.

先生先练，老师再依照状况指点.

解:⑴.

(2).

(3).

［办法归结］(1)假定分式的分子、分母全然上单项式，那么直截了当约去分子与分母的公因式;(2)假

定分式的分子、分母是多项式，那么能因式分解的先因式分解,由此寻出公因式，再停顿约分.⑶约分后，分子

与分母(除1外)不能再有公因式.

【课件11】教材第6页“做一做”

指点先生分不用直截了当代入求值和化简后代入求值这两种办法解答，并比拟哪种办法复杂.

【拓展延伸】约分,为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与

分母的公因式是什么？

师:由于分式的分子与分母全然上单项式，因而取分子、分母中一样因式的最低次第和分子、分母的

系数的最大条约数,把它们的积作为那个分式的分子与分母的公因式.

解:=

师:分子或分母的系数是正数时，普通先把负号移到分式自身的前边,这就同时改动了分式自身与分子或

分母的符号，因而分式的值不变.

［设计意图］经过详细实例让先生归结出约分的详细步骤，明白在停顿分式约分时,关键是确定分子和分

母的公因式.

1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)假定分式的分子或分母是多项式,可先思索把它分解因

式，失掉因式乘积方式，再约去分子与分母的公因式.假定分子或分母中的多项式不能分解因式，如今就不能

把分子、分母中的某些项独自约分.

2.最简分式:推断一个分式是不是最简分式，关键是确定其分子和分母(除1以外)能否有公因式.

3.分式停顿约分的目的是要把那个分式化为最简分式或整式.分式约分时要留意正确运用乘方的符号

法那么，如X-尸Yy-x),(x-y)2=(y-x)［(x-yy=Xy-x))

1.化简的结果是()

A.B.C.D.

解析:.应选A.

2.以下约分正确的选项是()

A.=xB.=0

C.D.

解析:A.二日故A选项错误;B.二1,故B选项错误;C.,故C选项正确;D.,故I)选项错误.应选C.

3.以下分式是最简分式的是()

A.B.

C.D.

解析:A.不能约分,是最简分式,B.£.,【).二T.应选A.

4.以下各式中，正确的选项是()

A.=2B.=0

C.=1D.=-1

解析:A.=2,故此选项正确;B.,故此选项错误;C.二T,故此选项错误;D.=1,故此选项错误.应选A.

5.将以下分式约分.

⑴X2)；⑶;(4).

解析：(1)依照分式的全然性质,分子、分母同时除以5a2儿;(2)约去分子、分母的公因式(a+为即可;(3)先

把分子中的(ar)」转变成(x-a),再约分即可;(4)依照平方差公式和完全平方公式停顿因式分解,再约分即可.

解:⑴二-.

⑵二-•

⑶.

(4).

6.在给出的三个多项式:六+4不尸"4//+2切中，请你任选出两个分不作为分子和分母组成分式，并

停顿化简运算.

解析:恣意选出两个多项式，一个作为分子，另一个作为分母，停顿因式分解,再约分即可.

解:(此题答案不独一)选户4中”作分子作分母，那么.

第2课时

活动一:分式的约分和最简分式

⑴把分式中分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

⑵分式的分子、分母（除1以外）没有公因式的分式叫做最简分式.

活动二:例题解说

例题

一、教材作业

【必做题】

1.教材第6页练习第1,2题.

2.教材第6页习题第1题.

【选做题】

教材第6页习题第2,3题.

二、课后作业

【基础稳定】

1.以下式子是分式且不能再约分的是（）

A.B.

C.1）.

2.以下各式不成立的是)

A.=-bB.

C.=2aSD.-ayb

3.化简的结果是（）

A.B.

C.I).

4.以下各分式变形正确的选项是)

A.B.=a+Z?

C.=l-aD.

【才干提升】

5.当A<0时,的化简结果是（）

A.y-iB.y+i

C.-x-l1）.-x+1

6.约分.

⑴；⑵；（3）；

（4）.

7.假定，求2a-3。的值.

【拓展探求】

8,将分式约分,再讨论x取哪些整数时，能使分式的值是正整数？

【答案与解析】

1.C（解析:A.=x,能约分;B.不是分式;C.分式的分母与分子中除1以外没有公因式，不能停顿约分;D.=处尸,能约

分.）

2.A（解析:A.原式==a-Z>,此选项错误.）

3.口（解析:.）

4.C（解析:A.,故本选项错误;B.是最简分式，不能化简为界。，故本选项错误;C.正确;D.=-,故本选项错误.）

5.C（解析:由于x<0,因而=-V-l.）

6.解:⑴.（2）.（3）=3时、.（4）.

7.解:，即2a=34因而2a-3b=0.

8.解:，当A=-1,0,3,8时,分式的值是正整数.

本节课表达了先生是学习的主人，学习了类比的思想办法，培育了先生言语表达和概括知识的才干.在分

数约分的基础上,学习分式约分的办法.这一进程由先生本人学习、归结，如此先生能够把新旧知识联络起

来,学起来也不觉得困难，从而激起先生学习的积极性.

高估了先生的基础,局部先生求最大条约数不会，形成约分时先生对公因式的确定还不够精确.

针对一些对分数约分困难的先生，给予帮扶,为进一步学习分式的约分奠定基础，另外老师在讲分式约分

前应先花一段时辰温习因式分解，使得基础比拟差的先生学习新知识时能较容易接受.

练习(教材第6页)

1.解:(1)正确.(2)不正确，应为.(3)不正确，应为.(4)正确.

2.解:⑴.(2).(3).

习题(教材第6页)

1.解:⑴.(2)=-(3)=x-3.(4).(5).(6).

2.解:.当尸2,尸3时，原式=.

3.解:=(3a6)：(6ab)==l：2,因而小三角形与大三角形的面积比为1：2.

化简.

(1)；(2).

解:(1)原式=.

(2)原式=.

［解题战略］此题调查了分式的约分的运用，解此题的关键是寻出分式中分子和分母的公因式.

李红在化简分式时，给出了两种不同的解法.

解法\\-x-y.

解法2:二

-x-y.

你以为这两种解法都正确吗？谈谈你的办法.

〔解析）解法1正确，解法2不正确，当x-y=O时，使分式没有意义.

解:解法1正确，解法2不正确，当仁尸0时,不能在分子、分母上乘"-力.

12.2分式的乘除

1.使先生掌握分式乘除法的运算法那么.

2.会停顿分式乘除法的运算.

3.进一步掌握分式的全然性质，并能用它化简分式或停顿分式变形.

1.让先生类比分数乘除法的运算法那么，探求分式乘除法的运算法那么.

2.在分式乘除法的运算进程中，体会因式分解

在分式乘除法中的作用.

3.启示先生学会观看、剖析、寻寻解题的途径，提高他们剖析征询题、处置征询题的才干.

经过师生共同交流、讨论,使先生在掌握知识的基础上，看法事物之间的内在联络，取得成就感，培育先生

的创新看法和运用数学的看法.

【重点】掌握分式乘除法运算.

【难点】分子、分母为多项式的分式乘除法运算.

第课时

1.了解和掌握分式的乘法法那么.

2.阅历探求分式乘法法那么的进程，体会分式乘法法那么的合感性.

1.总结分式的乘法法那么，会停顿分式的乘法运算,进一步运用类比的数学思想去观看、剖析征询题.

2.在分式乘法的运算进程中，体会因式分解在分式乘法中的作用，展开有条理的思索和言语表达才干.

1.让先生经过类比，体会到取得成功的喜悦，激起先生的学习热情.

2.在探求分式乘法法那么的进程中，进一步体会分类和转化的思想.

【重点】分式的乘法法那么.

【难点】分子和分母是多项式的乘法.

【老师预备】课件12

【先生预备】温习已学过的分数乘法和因式分解.

导入一：

用下面的话引入新课：

上节课，我们学习了分式的全然性质，我们能够察觉它与分数的全然性质相似.那么，分式的运的确

能否也和分数的运算相似呢？下面我们看投影片，停顿探求和交流.

【课件1】观看以下算式：

>

回想分数与分数相乘的法那么.

（分数与分数相乘，用分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母）

猜一猜:=?与同伴交流.

【先生活动】细心观看，先独立思索，然后在组内交流.

导入二：

师:我们一同来看一道计算题，你会做吗？（黑板出示）.

生:.（老师黑板书写答案）

师:你能用文字来表达出你做这道题的思绪吗？

生:分子乘分子失掉分子，分母乘分母失掉分母.

师:对，这的确是小学所学的分数的乘法，这位同窗说得特不好.我们大伙儿一同来看看分数的乘法法

那么.（多媒体出示分数乘法法那么:两个分数相乘，分母与分母相乘的积作为积的分母,分子与分子相乘的积

作为积的分子）

师:刚刚我们做的是分数之间的乘法运算，那换成我们刚学过的分式,（黑板出示）,大伙儿来猜测一下应

该等于多少呢？

生:等于.

师:同窗们还有没有不同的答案？（让先生讨论）

师:对，分式的乘法与分数乘法相似,那你能说出分式乘法的法那么吗？

［设计意图］导入一和导入二运用类比的办法，让先生察觉分式的乘法法那么，表达知识迁移的进程.

导入三：

【课件2】受浪费动力宣传的障碍，一向毫不在意的小刚也开场浪费用水了，他想明白本人过去究竟

用了多少水，因而他经过调查材料得出一个信息:他均匀每天的用水量是千克，而他本人的无效应用率为，他想

了半天也没有弄明白每天实践无效应用多少水.你能通知他吗？

列式为：•，提出征询题：

（1）那个式子是分式的哪种运算？

(2)又应该如何样计算呢？

这节课我们就来学习一分式的乘法.(板书课题)

［设计意图］经过情境引入，使先生会列分式的乘法算式，从而引出本节课的课题,为下面的学习设下悬

念，惹起先生的学习兴味.

活动一:分式的乘法法那么

［过渡语)依照刚刚导入的征询题，我们不难得出：•.你能依照分数与分数相乘的法那么，总结出分式

与分式相乘的法那么吗？

阐明:以小组为单位，细心观看，并归结、交流，得出分式乘法的运算法那么.

归结:言语表述:分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.

字母表述：♦.

活动二:例题解说

思绪一

1.分式的分子和分母是单项式的乘法

【课件3】

计算以下各式：

(I)*；(2)*.

〔解析〕(1)将算式对照分式的乘法运算法那么，停顿运算;(2)强调运算结果如不是最简分式时,一定要

停顿约分,使运算结果化为最简分式或整式.

［先生活动】尝试独立完成，假定有困难，再小组讨论解答.

阐明:先生本人能完成的，一定要让先生本人完成.

解.

［过渡语］刚刚我们接触到的是分式的分子和分母是单项式的乘法，假定遇到分式的分子和分母是多项

式的时分又应该如何样计算呢？

回想:(1)因式分解的概念;(2)因式分解的办法.

2.分子和分母是多项式的分式乘法

【课件4】

计算以下各式：

⑴”(2)-.

师:(1)中的x,Yx和(2)中的a'Y与a'+6a+9能否能停顿因式分解？能分解成什么？

生:y-4A=A(^-4)；a2-4=(a+2)(a-2)；a2+6a+9=(a+3)2.

师:下面请你独立完成.

解:⑴--x.

(2)-.

强调:当分式的分子和分母是多项式的时分，一定要留意多项式假定能停顿因式分解的先因式分解，然后

再依照分式的乘法法那么停顿计算，所得结果要化成最简分式或整式.

3.教材第8页做一做

【课件5】计算以下各式：

⑴-3孙J；(2)..

引导先生观看(1)那个分式如何样相乘.

生：-3外：能够看成分母是1的整式，然后与前面的分式相乘.

解:⑴-3犷•=-Z

⑵.-

［设计意图］经过"例题”和"做一做”让先生进一步感受分式乘法的两种方式，即一种是分子和分母是

单项式的分式乘法;另一种是分子和分母是多项式的分式乘法.从而让先生掌握计算的办法，提高先生解题的

才干.

思绪二

【课件6】

计算：•(分子、分母全然上单项式).

【思绪点拨】运用分式乘法法那么，转化成,然后寻出分子、分母的最大公因式2xy,即,再约分即得.

这里尽量不要各自字母约各自字母，容易漏约或丧失.

【老师活动】操作投影仪,剖析例3,并引导先生积极参与.

【先生活动】参与老师的剖析，对每一步骤说出其依照，归结运用法那么的办法是:⑴运用分式乘法法

那么;(2)确定分子、分母的最大公因式;(3)约分;(4)反省结果能否最简.(小组讨论、归结运用法那么的办法)

［设计意图］经过老师启示，引导先生学会剖析、学会运用法那么，然后在小组讨论中归结分式乘法运算

的办法.

【课件7】

计算：•(分子、分母全然上多项式).

【思绪点拨】由于各分式分子、分母全然上多项式，因而，首先应将这些多项式能分解因式的分解因

式,而且要留意分解完全，然后再运用分式的乘法法那么停顿运算.

【老师活动】剖析例4,引导先生正确运用分解因式、分式乘法法那么停顿运算.

【先生活动】参与老师剖析，体会法那么的运用，小组讨论、归结分式运算办法:(1)分子、分母分解因

式;(2)运用分式乘法法那么;(3)约分;(4)检验分式的运算结果能否最简.

【老师点评】实践上，今后对分式乘法运算熟练之后，分式运算中的乘法法那么能够疏忽，直截了当

停顿约分.

解:.

在老师的引导下，共同完成例4,再以小组讨论的方式归结总结分式运算的办法，感受良好的课堂氛围.

【课件8】计算:⑴，；(2)-

解:⑴.(2).

［知识拓展］(1)分式乘法运算结果假定不是最简分式,要停顿约分.

(2)依照分式乘法法那么有:①分式与分式相乘时，假定分子与分母是多项式，那么应先分解因式，看能否

约分，再与分式相乘.②整式与分式相乘时，能够直截了当把整式看成分母是1的代数式,再与分式相乘.③

分式的乘法实质的确是约分，因而计算结果如能约分,应约分，或经过火解因式后能约分的也要约分,把结果

化为最简分式或整式.

［设计意图］在先生独立完成的基础上，老师讲评，以“暴露〃先生身上存在的征询题，从而也让先生稳

定了本节所学的知识.

1.分式的乘法法那么：

分式与分式相乘月分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.

字母表述：•.

2.本卷须知：

⑴在运算进程中，当分子、分母全然上单项式时，可直截了当约分再计算;当分子、分母是多项式时，

能分解因式的要先分解因式，再约分、计算.

(2)运算结果一定要化成最简分式或整式.

1.计算d•的结果是()

A.aB./C.a6D.a'

解析:原式=a，•=a.应选A.

2.计算•的结果为)

A.B.

C.D.1

解析:原式二•.应选A.

3.化简­的结果是（）

A.B.aC.D.

解析:原式二・-a.应选B.

4.计算的结果是（）

A.-B.-C.-D.

解析:原式分子、分母分不立方，计算即可失掉结果.原式二-=二应选C.

5.计算«的结果是（）

A.-m-lB.-Ml

C.-rnrr^niD.-mn-m

解析:原式二・二-ml.应选B.

6.计算­的结果为（）

A.-B.C.D.-

解析:原式二-二-.应选A.

7.计算•，其结果为（）

A.B.

C.D.-

解析:原式二・应选D.

8.（2021•宁德中考）化简・.

解析:先把分子、分母分解因式，再进一步约分计算得出答案即可

解:原式二・.

9.计算・.

解析:先计算乘方,再计算乘法即可失掉结果.

解:原式二-•二-.

10.计算.