高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义省公开课一等奖新名师获奖课件

3.1.3导数几何意义第1页第2页主题1导数几何意义1.如图(1)l1是否为曲线在点A处切线?l2是否为曲线在点B处切线?l2是否为曲线在点C处切线?第3页提醒:l1不是曲线在点A处切线;l2是曲线以点B为切点切线,不是以点C为切点切线.第4页2.你能不能类比圆割线和切线动态关系,结合图(2)直观地感知,当Pn→P时对应普通曲线切线?提醒:当Pn→P时,割线趋于确定位置,这个确定位置上直线就是曲线在点P处切线.第5页3.问题2从直观上感知了“割线迫近切线”改变过程,深入,如图(3)怎样研究割线方程和切线方程改变关系?第6页提醒:割线迫近切线,不妨设点P(x0,y0),Pn(x0+Δx,f(x0+Δx)).割线PPn方程为y-f(x0)=(x-x0),当Pn→P,即Δx→0时,改变最终止果是=f′(x0),故切线方程就是y-y0=f′(x0)(x-x0).第7页结论:导数几何意义曲线y=f(x)在点___________处切线斜率,用符号表示为f′(x0)=________________=__.P(x0,f(x0))k第8页【微思索】求曲线在某点P(x0,y0)处切线方程时易忽略什么?提醒:易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上.第9页主题2导数概念已知函数y=x2,完成下表:x123456f′(x)______________24681012第10页结论:导函数定义:当x改变时,f′(x)是x一个函数,称它为f(x)导函数(简称导数),即f′(x)=y′=________________.第11页【微思索】导函数f′(x)与函数在x=x0处导数f′(x0)相同吗?它们有什么区分与联络?提醒:不相同.y=f(x)导函数为f′(x),f′(x0)是y=f(x)在x0处导数.第12页【预习自测】1.函数y=f(x)在x=x0处导数f′(x0)几何意义是()A.在点x0处斜率B.在点(x0,f(x0))处切线与x轴所夹锐角正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线斜率D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线斜率第13页【解析】选C.由导数几何意义可知函数y=f(x)在x=x0处导数f′(x0),即为曲线在点(x0,f(x0))处切线斜率.第14页2.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交第15页【解析】选B.曲线在点(x0,f(x0))处切线斜率为0,切线平行或重合于x轴.第16页3.函数f(x)=x3+4x+5图象在x=1处切线在x轴上截距为()A.10B.5C.-1D.-第17页【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5,所以f′(x)=3x2+4,所以f′(1)=7,即切线斜率为7,又f(1)=10,故切点坐标为(1,10),所以切线方程为:y-10=7(x-1),当y=0时,x=-.第18页4.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)割线斜率为________.【解析】依题意得,割线斜率为=1.答案:1第19页5.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只有________是它切线,而________不是它切线.【解析】依据曲线在某点处切线定义知y轴是曲线y2=x一条切线,x轴不是切线.答案:y轴x轴第20页6.如图,函数f(x)图象是折线段ABC,其中A,B,C坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),试求值.第21页【解析】由导数概念和几何意义知,=f′(1)=kAB==-2.第22页类型一求曲线切线方程【典例1】(1)曲线y=x3+11在点P(1,12)处切线与y轴交点纵坐标是()A.-9B.-3C.9D.15(2)已知曲线方程为y=x2,则过点A(2,4)且与曲线相切直线方程为____________________.第23页【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处导数,再求出切线方程,最终求与y轴交点纵坐标.(2)因为点A在曲线上,可利用导数几何意义,求出切线斜率,再利用点斜式写出直线方程.第24页【解析】(1)选C.y′|x=1=所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处切线方程为y-12=第25页3(x-1),即3x-y+9=0,令x=0,解得y=9,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处切线与y轴交点纵坐标是9.第26页(2)因为f′(x)==(2x+Δx)=2x,又点A(2,4)在曲线y=x2上,所以f′(2)=4,所以所求切线斜率k=4,故所求切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.答案:4x-y-4=0第27页【延伸探究】1.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0)”,则结果怎样?第28页【解析】因为f′(x)==(2x+Δx)=2x,又点B(0,0)在曲线y=x2上,所以f′(0)=0,所以所求切线斜率k=0,故所求切线方程为y-0=0(x-0),即y=0.第29页2.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5)”,则结果怎样?【解析】因为点C(3,5)不在曲线y=x2上,所以设切点坐标为(x0,x02).因为f′(x)=(2x+Δx)=2x,所以f′(x0)=2x0,第30页所以切线斜率k=2x0,切线方程为y-x02=2x0(x-x0),又因为点C(3,5)在切线上,所以5-x02=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5.所以切点坐标为(1,1),(5,25).故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即2x-y-1=0或10x-y-25=0.第31页【方法总结】1.求曲线在点P(x0,y0)处切线步骤(1)求出函数y=f(x)在点x0处导数f′(x0).(2)依据直线点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).第32页2.过曲线外点P(x1,y1)求曲线切线方程步骤(1)设切点为Q(x0,y0).(2)求出函数y=f(x)在点x0处导数f′(x0).(3)利用Q在曲线上,点P(x1,y1)在切线上和f′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f′(x0).(4)依据直线点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).第33页【赔偿训练】在曲线y=x2上,点P处切线垂直于直线2x-6y+5=0,则P点坐标为()A.(2,4)B.C.

D.(-2,4)第34页【解析】选B.f′(x)=设P(x0,y0)是满足条件点,因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1,得x0=-,y0=.第35页类型二求曲线切点【典例2】已知曲线y=2x2+a在点P处切线方程为8x-y-15=0,求切点P坐标和实数a值.【解题指南】依据切线方程得到切线斜率为8,即f′(x)=8,解导数方程即可得到结论.第36页【解析】设切点P坐标为(x0,y0),切线斜率为k.由y′==(4x+2Δx)=4x,得k=y′|=4x0.依据题意得4x0=8,x0=2,分别代入y=2x2+a和y=8x-15,得a=-7,y0=1.故所求切点为P(2,1),a=-7.第37页【方法总结】求曲线切点坐标步骤(1)设切点:先设出切点坐标(x0,y0).(2)求斜率:求切线斜率f′(x0).(3)列方程:由斜率间关系列出关于x0方程,解方程求x0.(4)求切点:因点(x0,y0)在曲线上,将(x0,y0)代入曲线方程求y0,得切点坐标.第38页【巩固训练】假如曲线y=x3+x-10一条切线与直线y=4x+3平行,那么曲线与切线相切切点坐标为()A.(1,-8)B.(-1,-12)C.(1,-8)或(-1,-12)D.(1,-12)或(-1,-8)第39页【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x03+x0-10切线斜率为k=

=[(3x02+1)+3x0Δx+(Δx)2]=3x02+1=4,所以x0=±1,第40页当x0=1时,y0=-8,当x0=-1时,y0=-12,所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).第41页类型三导数几何意义综合应用【典例3】(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处切线方程为x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1第42页(2)(·福州高二检测)已知函数f(x)图象如图所表示,以下数值排序正确是()A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2)B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)第43页【解题指南】(1)利用切点在切线上,切点在曲线上,切点处导数等于切线斜率求解.(2)从图象上能够看出f(2)与f(3)大小,且其值大于1;再由导数几何意义,看出f′(2)与f′(3)大小且其值小于1.第44页【解析】(1)选A.将点(0,b)代入x-y+1=0中,得b=1,由导数几何意义得,k=y′|x=0==(Δx+a)=a=1,综上,a=1,b=1.第45页(2)选B.依据导数几何意义,在x∈[2,3]上,曲线在x=2处切线斜率最大,k==f(3)-f(2)>f′(3).第46页【方法总结】相关导数几何意义综合问题求解策略(1)转化:利用导数几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题.(2)数形结合:注意方程思想、数形结合思想应用.第47页【巩固训练】已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上点到直线最短距离.第48页【解析】依据题意可知与直线x-y-2=0平行抛物线y=x2切线对应切点到直线x-y-2=0距离最短.设切点坐标为(x0,x02),则所以x0=,所以切点坐标为切点到直线x-y-2=0距离为所以抛物线上点到直线x-y-2=0最短距离为.第49页【赔偿训练】(·泰安高二检测)假如f′(x)是二次函数,且f′(x)图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任一点切线倾斜角α取值范围是()第50页【解题指南】由二次函数图象可知最小值为,再根据导数几何意义可知k=tanα≥,结合正切函数图象求出角α范围.第51页【解析】选B.依据题意得f′(x)≥,则曲线y=f(x)上任一点切线斜率k=tanα≥,结合正切函数图象可得α∈第52页【课堂小结】1.知识总结第53页2.方法总结(1)函数y