新教材 人教B版高中数学选择性必修第二册 第三章 排列、组合与二项式定理 课时练习题及章末测验 含解析

第三章排列、组合与二项式定理

1.基本计数原理........................................................-1-

2.基本计数原理的应用..................................................-5-

3.排列及排列数........................................................-8-

4.排列数的应用.......................................................-12-

5.组合与组合数.......................................................-15-

6.组合数的性质及应用.................................................-18-

7.二项式定理.........................................................-22-

8.二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用......................-25-

章末综合测验...........................................................-29-

1.基本计数原理

一、选择题

1.图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第

3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取书方法共有（）

A.120种B.64种

C.39种D.16种

D[由于书架上共有3+5+8=16（本）书，则从中任取1本，共有16种不同的取法.]

2.已知aC{3,4,5},{112},{1,4,9,16）,则方程（*—a）"+（y-"6）'=步可表示不

同圆的个数是（）

A.6B.9

C.16D.24

D[确定一个圆可以分三个步骤：第一步，确定a,有3种选法；第二步，确定6,有2

种选法；第三步，确定八有4种选法，由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3X2X4=

24.]

3.李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙五

一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有（）

A.24种B.14种

C.10种D.9种

B[不选连衣裙有4X3=12种方法，选连衣裙有2种.共有12+2=14种.]

4.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）

A.5,种B.3,种

C.8种I）.15种

B［每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3X3X3X3X3=35种投

法.］

5.如果x,yCN,且1WXW3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（）

A.15B.12

C.5D.4

A［利用分类加法计数原理.

当x=l时，y=0,1,2,3,4,5,有6个；当x=2时，y=0,1,2,3,4,有5个；当x=3时,

y=0,1,2,3,有4个.据分类加法计数原理可得，共有6+5+4=15个.］

二、填空题

6.有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.若

从三个袋子中任取1个小球，有种不同的取法.

15［有3类不同方案：

第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；

第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法：

第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.

其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这

件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6+5+4=15种.］

7.某班2020年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，

如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为.

42［将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目

插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插

入方法：6X7=42（种）.］

8.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,

则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有种.（用数字作答）

9［分为两类：两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时,

有2X3=6（种）选法，即共有9种不同选法.］

三、解答题

9.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，0型血的共有28人，A型血的共有7人，

B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；

（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

［解］从0型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可

以完成，所以用分类加法计数原理，有28+7+9+3=47种不同的选法.

(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献

血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28X7X9X3=5292种不同的选法.

10.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人,

学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.

(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？

(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？

［解］(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类

是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中

产生，有6种不同的选法.由分类加法计数原理可得，共有川=8+10+6=24(种)不同的选法.

(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步

从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀

团员中选1名小组长，有6种不同的选法.由分步乘法计数原理可得，共有*=8X10X6=

480(种)不同的选法.

(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8X10

种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10X6种不同的选法；第

三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8X6种不同的选法.因此，共有川=8X10

+10X6+8X6=188(种)不同的选法.

11.从集合{1,2,3,…，8}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的

等比数列的个数为()

A.3B.4

C.6D.8

B［以1为首项的等比数列为1,2,4;以2为首项的等比数列为2,4,8.把这两个数列的

顺序颠倒，又得到2个数列，.•.所求数列为4个.］

22

12.(多选题)已知集合力={-1,2,3,4},m,n^A,则对于方程》+1=1的说法正确的

是()

A.可表示3个不同的圆

B.可表示6个不同的椭圆

C.可表示3个不同的双曲线

D.表示焦点位于x轴上的椭圆的有3个

22

ABD［当勿=〃>0时，方程*+匕=1表示圆，故有3个，选项A正确；当加且勿，〃>0

mn

22

时，方程上+工=1表示椭圆，故有3X2=6个，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，所以

mn

初>/7>0.当m=4时,〃=2,3；当卯=3时，〃=2；即所求的椭圆共有2+1=3（个），选项D正确；

XV

当山水。时，方程一I■­=1表示双曲线，故有3X1+1义3=6个，选项C错误.］

mn

13.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的

种数是.

64［因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，

跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，

所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4X4X4=64（种）.］

14.（一题两空）若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有种不

同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有种不同的方法.

56［对于图1,按要求接通电路，只要在/中的两个开关或8中的三个开关中合上一

个即可，故有2+3=5（种）不同的方法.

对于图2,按要求接通电路必须分两步进行：

第一步，合上］中的一个开关；

第二步，合上8中的一个开关，

故有2X3=6（种）不同的方法.］

15.已知集合,井={-3,-2,-1,0,1,2},P（a,⑸表示平面上的点（a,be删.

（1）一可以表示平面上的多少个不同点？

（2）。可以表示平面上的多少个第二象限的点？

（3）户可以表示多少个不在直线y=x上的点？

［解］（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，人的取法有6种.由分步乘法计

数原理知，户可以表示平面上的6X6=36（个）不同点.

（2）根据条件需满足a<0,核0.

完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，6的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P

可以表示平面上的3X2=6（个）第二象限的点.

（3）因为点P不在直线y=x上，所以第一步。的取法有6种，第二步b的取法有5种，根

据分步乘法计数原理可知，P可以表示6x5=30（个）不在直线y=x上的点.

2.基本计数原理的应用

一、选择题

1.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是

（）

A.2160B.720

C.240D.120

B[第1张门票有10种分法，第2张门票有9种分法，第3张门票有8种分法，由分步

计数原理得共有10X9X8=720（种）分法.]

2.用0,1,…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243B.252

C.261D.648

B[0,1,2,…，9共能组成9X10X10=900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有

9X9X8=648（个），所以有重复数字的三位数有900—648=252（个）.]

3.某城市的电话号码由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数

是（）

A.9X8X7X6X5X4X3X2

B.8X96

C.9X10°

D.8.1X106

D[电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9X105部，同理升为七位时为9X10",

可增加的电话数是9义1。5=8.IX10".故选D.]

4.有48两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两

种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的

选派方法有（）

A.6种B.5种

C.4种D.3种

C[不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法;

若选乙、丙，有1种方法.根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2+1+1=4（种）.］

5.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能

在本班监考，则监考的方法有（）

A.8种B.9种

C.10种D.11种

B［设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d.若A监考b,则余

下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法.同理，若4监考c,"时，也分别有3种不同

方法.由分类加法计数原理，得监考方法共有3+3+3=9（种）.］

二、填空题

6.小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这

5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种植一种作物），若小张已决

定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有种.

48［当第一块地种茄子时，有4X3X2=24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有

4X3X2=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案.］

7.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类

的书，共有不同的取法______种.

242［取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10X9=90（种）不

同取法；

取两本书中，一本语文、一本英语，有9X8=72（种）不同取法；

取两本书中，一本数学、一本英语，有10X8=80（种）不同取法.

综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80=242（利。不同取法.］

8.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参

加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

种.

20［分三类：若甲在周一，则乙丙有4X3=12种排法；若甲在周二，则乙丙有3X2=

6种排法；若甲在周三，则乙丙有2X1=2种排法.所以不同的安排方法共有12+6+2=20

种.］

三、解答题

9.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相

邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种？（用数字

作答）

［解］不妨将图中的4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有6X5X1X5=150

种方法；当①③异色时，有6X5X4X4=480种方法.所以共有150+480=630种方法.

10.用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列.

(1)求这个数列的项数；

(2)求这个数列中的第89项的值.

［解］(1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位，再确定十

位，最后确定个位，因此要分步相乘.

第一步：确定百位数，有6种方法.

第二步：确定十位数，有5种方法.

第三步：确定个位数，有4种方法.

根据分步乘法计数原理，共有

*=6X5X4=120个三位数.

所以这个数列的项数为120.

(2)这个数列中，百位是1,2,3,4的共有4X5X4=80个，

百位是5的三位数中，十位是1或2的有4+4=8个，

故第88项为526,故从小到大第89项为531.

11.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从一点处进，0点处出，沿图中线路游览4

B,。三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点。外)的不同游览线路有()

A.6种B.8种

C.12种D.48种

D［每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种

选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6X4X2=48种不同的游览线路.］

12.如图所示，一环形花坛分成力，B,C,〃四块，现有4种不同的花供选种，要求在每

块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()

A.96B.84

C.60D.48

B［可依次种4B,C,〃四块，当。与4种同一种花时，有4X3X1X3=36种种法;

当C与力所种花不同时;有4X3X2X2=48种种法.

由分类加法计数原理，不同的种法种数为36+48=84.］

13.从集合｛1,2,3,4,5｝中任取2个不同的数，作为方程〃+的=0的系数48的值，

则形成的不同直线有条.

18［第一步，取/的值，有5种取法；第二步，取8的值，有4种取法，其中当/=1,

6=2时与4=2,6=4时是相同的方程：当月=2,6=1时与4=4,6=2时是相同的方程，故

共有5X4-2=18条.］

14.(一题两空)从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产

生不同的分数的个数是,其中真分数的个数是一—.

2010［产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种

方法，共有5X4=20个分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分

数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1,共有4+3+2+1=10个真

分数.］

15.用〃种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四

(1)若〃=6,为甲着色时共有多少种不同方法？

(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求〃的值.

［解］完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①，②，③，④着色时各自的方

法数，再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.

(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4

种方法.所以共有着色方法6X5X4X4=480种.

(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是〃(〃

—1)(n~2)(n~3).由〃(〃一1)一2)(〃-3)=120,所以(一一3。)(//—3〃+2)—120=0.

即(P-3/7)2+2(/72-3/J)-12X10=0.所以/72-3/7-10=0.所以n=5.

3.排列及排列数

一、选择题

1.A；2=9X10X11X12,则卬等于（）

A.3B.4

C.5D.6

B［由排列数公式可知277=4,故选B.］

2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲;

B.甲乙丙，乙丙甲;

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙;

D.甲乙，甲丙，乙丙.

C［这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故C正确.］

3.下列问题属于排列问题的是（）

①从10个人中选2人分别去种树和扫地;

②从10个人中选2人去扫地;

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log,中的底数与真数.

A.①④B.①②

C.④D.①③④

A［根据排列的概念知①④是排列问题.］

4.计算，r=（）

A.12B.24

C.30D.36

7X6X5X4X3X2—6X5X4X3X2

D［原式==7X6—6=36.]

5X4X3X2

5.不等式片一一水7的解集为（）

A.{n\—1〈水5}B.（1,2,3,4）

C.{3,4}D.{4}

C[由A3—/X7,得（/?—1）（〃一2）—/7<7,即一又因为+且〃-122,所以〃

=3,4.故选C.]

二、填空题

6.（一题两空）从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成个以上

为首的不同排列，它们分别是.

12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed［画出树状图如

下：

可知共12个，它们分别为bac,bad,bae,bea,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,

bed.］

7.集合—{x|*=A；,RWN+},则集合一中共有个元素.

3［因为0GN+,且加＜4,所以尸中的元素为A：=4,AI=12,A；=A：=24,即集合户中

有3个元素.］

8.若把英语单词“%rd”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有种.

23［因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现的错误种数为A；-1=23.］

三、解答题

9.下列问题中哪些是排列问题？

(1)5名学生中抽2名学生开会；

(2)5名学生中选2名做正、副组长；

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；

⑷从2,3,5,7,11中任取两个数相除；

(5)6位同学互通一次电话；

(6)6位同学互通一封信；

(7)以圆上的10个点为端点作弦；

(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线.

［解］(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列.

io.证明:A：+%AL=A3.

［证明］左边=—吟下+4———r

n~k!n~k+!

〃！刀一一++左］

n~k+!

n+n\________〃+!

n—k+!n~k+!

右边=Aj+I=777~~r~,

n~K-V!

所以A：+AA：T=A3.

11.若5=八；+人；+用+A；+…+A黑，则S的个位数字是（）

A.8B.5

C.3D.0

C[因为当众5时，解的个位数是0,故S的个位数取决于前四个排列数，又A；+A：+

用+A：=33,所以S的个位数字是3个

12.（多选题）下列各式中与排列数A：相等的是（）

n-m!

B.〃（〃一1）（〃一2）…（〃一血

商-\

*H—///+1

D.

AD［因为篮=--~故A正确;

n-m!

.•.A!AU；=A：,故D正确.]

13.（一题两空）如果A：=15X14X13X12X11X1O,那么〃=,m=.

156[15X14X13X12XllX10=A；s,故"=15,R=6.]

14.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售

票员，则可能的分配方法有种.

576[司机、售票员各有A：种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A：A：种不同的安排

方法.]

15.沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为

沪宁线上的这六个大站准备（这六个大站间）多少种不同的火车票？

[解]对于两个大站｛和无从/到6的火车票与从8到/的火车票不同，因为每张车

票对应于一个起点站和一个终点站.因此，每张火车票对应于从6个不同元素（大站）中取出2

个元素（起点站和终点站）的一种排列.所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素

的排列数解=6X5=30.

故一共需要为这六个大站准备30种不同的火车票.

4.排列数的应用

一、选择题

1.某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（）

A.25种B.5,种

C.解种D.5,种

C［其不同的轮流放映相当于将5所大学的全排列，即2.］

2.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天

上午课程表的不同排法共有（）

A.6种B.9种

C.18种D.24种

C［先排体育有排种,再排其他的三科有眉种，共有AbA：=18（种）.］

3.从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数

的个数为（）

A.6B.12

C.18D.24

D［先从2,4中选一个数字，有2种选法；再从1,3,5中选两个数字并排列，有屋种选

法；最后将从2,4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法.综上所述，奇数

的个数为2X底X2=24.］

4.将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为（）

A.480B.360

C.120D.240

D［甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A：=720（种），甲、乙、丙的排列有用=6（种），

720

因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有B

2X6=

240（种）.故选D.］

5.生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安

排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能

从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）

A.24种B.36种

C.48种D.72种

B［分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限

制，有A：种排法；

第2类，若甲不在第一道工序（此时乙一定在第一道工序），则第四道工序有2种排法，

其余两道工序有解种排法，有2A：种排法.

由分类加法计数原理，共有8+2解=36种不同的安排方案.］

二、填空题

6.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为.

48［从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在

前三位，有种排法.由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2XA：=48个.］

7.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动.若其中

甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有种.

240［翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法（除甲、乙外），其余活动共有用种选

法，由分步乘法计数原理知共有4XA1=24O种选派方案.］

8.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一

定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为.

24［分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有席=2种排法，

②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有解=2种排法，

③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A：=6种排法.

则共有2X2X6=24种排法.］

三、解答题

9.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有多少

个？

［解］第1类，个位数字是2,首位可排3,4,5之一，有A；种排法，排其余数字有解种

排法，所以有A；A；个数；

第2类，个位数字是4,有个数；

第3类，个位数字是0,首位可排2,3,4,5之一，有A；种排法，排其余数字有A；种排法,

所以有A；A：个数.

由分类加法计数原理，可得共有2A；A；+A：A；=240个数.

10.有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6,

从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数.

［解］所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246,共4种方法.3个球颜色互不相同

有A；=4X3X2X1=24种，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有

4X24=96种.

1L将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也

互不相同，则不同的排列方法共有（）

A.10种B.12种

C.9种D.8种

B[先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有6种不同的排法.

再排第二列，其中第二列第一行的字母共有酎种不同的排法，第二列第二、三行的字母

只有1种排法.

因此共有Ah1=12（种）不同的排列方法.]

12.（多选题）用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）

A.A：+A；•Aj•As

B.A；+A；,（As-As）

C.As•As•As+A.；•Aj•As

D.Aio—Ag—As（As-As）

ABCD[法一：先排个位，若个位是0,则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，

有A；种，若个位不是0,则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有解种

方法，所以没有重复数字的四位偶数共有A；+A；XAlX解=2296种.

法二：个位是0的不同四位数偶数共有A；种，个位不是0的不同四位偶数有A；XA；个，

其中包含个位是偶数且千位为0的A：XAl种，故没有重复数字的四位偶数共有：A；+A；（A；-A。

=2296个.

法三：若千位为奇数，则有A；XA炽展个，若千位是偶数，有A：XA：X解个，故共有A；XA!

XA：+A；XA；XA；=2296个.

法四：没有重复数字的四位数有“一抬个，没有重复数字的四位奇数有A；（解一腌个，故

没有重复数字的四位偶数有A：o-A^-AJ（A^-Ai）=2296个.

故选ABCD.]

13.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两

种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有种.

24[甲、乙作为元素集团，内部有心种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有

A；种排法.将丙、丁插在3个空中有收种方法.所以由分步乘法计数原理，共有A次熟;=24种

排法.]

14.（一题两空）六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停

放的方法数为一;若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为一

2496[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有

A：=4X3X2X1=24种.不考虑任何限制，共有生=120种不同放车方法，若三个空车位不连

A3

在一起，则共有120—24=96种停放方法.]

15.从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方

程a/+6x+c=0?其中有实数根的有几个？

［解］（Da只能在1、3、5、7中选一个有A；种，b、。可在余下的4个中任取2个，有

片种.故可组成一元二次方程A；•心=48个.

（2）方程要有实根，需/=炉一4ac20.

c=0,a、6可在1、3、5、7中任取2个，有A；种；

c#0,6只能取5、7,方取5时，a、c只能取1、3,共有心个；6取7时，a、c可取1、

3或1、5,有2A；个.故有实根的一元二次方程共有A：+A；+2A：=18个.

5.组合与组合数

一、选择题

1.以下四个命题，属于组合问题的是（）

A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

C［从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.］

2.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直

线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（）

A.4B.8

C.28D.64

C［由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建《=28条公路.］

3.异面直线a,人上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（）

A.20B.9

c.dD.CiCs+CsCi

B［分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线6可确定C：个平面；第2类，在直

线6上任取一点，与直线a可确定个平面.故可确定C；+C［=9个不同的平面.］

4.组合数1,n,rdN）恒等于（）

A.B.（/?+1）（r+l）C^!

C.〃心；D.筹；

5.将标号为力、B、aD、E、尸的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张

卡片，其中标号为4、6的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（）

A.12种B.18种

C.36种D.54种

［由题意，不同的放法共有C；C：=3X-y-=18种.］

6.设集合力=（&,a-i,a3,团，a},则集合力中含有3个元素的子集共有个.

10［从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合4的子集，则共有程=10个子集.］

7.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为.（用

数字作答）

210［从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C,；o=

210种分法.］

8.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是

3［甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为

组合问题，不同票价的种数为戊=f=3.］

三、解答题

9.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可

以得到多少个不同的这样的最小三位数？

［解］从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个

元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有*=聆*=20个.

117

10.（1）求式子区一至=标中的X；

（2）解不等式cr'>3&.

［解］（1）原式可化为：士一―—>一一,.-.^_23x

0»U•1v,（•

+42=0,

・.,0WxW5,

・..x=21（舍去）或x=2,即x=2为原方程的解.

得：.m>27~3ni,

9—7/n

271

.*./77>-=7—T.

44

又TOW加一1W8,且0WrW8,勿WN,

即1W%W8,・・・勿=7或8.

11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆

内的交点有（）

A.36个B.72个

C.63个D.126个

D[此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为

所求，所以交点为己=126个.]

12.（多选题）Cj+C：二的值是（）

A.7B.9

C.20D.46

"+1W10

17-xWlO

CD，，7WxW9,

x+leO

、17—x20

又xGN,'.x=l,