第4课时二次函数（解析版）-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第4课时二次函数

【回归教材】

i.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)=ax2-hbx+c(a^0)；

（2）顶点式：f（x）=a（x-mf+n（a0）；其中，（九九）为抛物线顶点坐标，工=机为对称轴方程.

⑶零点式：/0）=。0-须）。一工2）（。。0），其中，％,工2是抛物线与x轴交点的横坐标・

2.二次函数的单调性

hh

①当〃〉0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在［-上+8）上递增,

2a2a

山b2/,、4ac-h2

当x=-五时，/(4"K

②当。<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在

bb

（-8,-2］上递增，在［―2,+8）上递减，

2a2a

、□b小、^ac-b1

当X二一五时'；/⑴max=F-

3.二次函数图像与x轴相交的弦长

2

当△=力2—4ac>0时，二次函数/（X）=ax+bx+c{aH0）的图像与x轴有两个交点M{（玉,0）和

2

M(X,,0),|M}M21=|X1-x21=J(x1+x2)-4X,X=.

2'2\a\

4.二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数f（x）=ax2+bx+c{a*0）,当a>0时，/（x）在区间［p,g］上的最大值是M,最小值是加，

令T

(1)若一二＜〃，则帆=/(p),M=/(夕)；(2)若p〈一二〈尤0,则/"=/(一二),M=/(q)；

2a2a2a

bb

(3)若/V-丁＜4，则加=/(一二),M=/(p)；(4)若---＞q,则机=/(p).

2a2a2a

5•一元二次方程ox?+法+。=0（。工0）的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x=-2与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

2a

设为实系数方程如2+法+。=0（。＞0）的两根，则一元二次法+c=O（a〉O）的根的分布与其限

定条件如表所示.

根的分布图像限定条件

▲V

A>0

b

m<x<x----->m

]22a

XJ(m)>0

1

玉<

in<x2/(m)<0

DI\iy

yA>0

b

-----<m

2a

x]<x2<mLJ।

J(M>0

mX

"(/〃)>0

〃

在区间（m,ri）\JJ()<0

内

有且只有一个L

丁(㈤<0

实根\

../,(«)>0

y^nx

A>0

在区间（加,〃）

iyb

m<------

内2a

有两个不等实f(m)>0

n.

根O1,/(»)>o

【典例讲练】

题型一二次函数的解析式

【例1-1]若二次函数/(X)满足/(0)=1,/(x+1)-/(%)=2%,求/(X).

【答案】d-X+L

【解析】

【分析】

由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可.

【详解】

因为二次函数/(x)满足/(0)=1：所以设/(X)=*+&¥+1,

则：f(x4-1)=a(x4-1)2+b(x4-1)+1=ax2+bx+1+lax+a+b-

因为/(x+l)_/(x)=2x,

2

所以ox?+^x+\^2cix+a+b-ax-bx-\=2x;

\2a=2

2ax+a+b=2x；s八；，a=l,b=-\；

[a+bf=0

/.f(X)=X2-X4-1.

故答案为：Y-x+l.

归纳总结：

【练习1・1】设二次函数7U)满足/U—2)=A—x—2),且/U)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被X轴截得的线

段长为2&，则/U)的解析式为一,<2)=一.

【答案】^X)=1X2+2X+17

【解析】

【分析】

设二次函数解析式为火x)=ax2+6x+c(a翔)，由人幻的图象与y轴交点的纵坐标为1知c=l,由/(x—2)=汽一

x—2)可得〃和〃的关系，设〃/+〃%+c=0的两根为X、x2,则根据已知条件知|芭-引=2a,结合韦达定

理即可求得〃和b.

【详解】

设/W=cix2+bx+c(ar0).

由——2)=4一二一2),得4a—6=0；①

又•小7=耳逅=2收，

Ab2—4ac=Sa2;②

又由已知得C=1.③

由①②③解得b=2a=-<?=1,

f2f

/./(x)=+2jt+1.

・・・贝2)=1x22+2x2+1=2+4+1=7.

故答案为：/U)=；d+2x+l,7.

题型二二次函数的图像与单调性

【例2-1】如图是二次函数丫=以?+法+c的部分图象，图象过点4(-3,0),对称轴为直线x=-l.给出以下结

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称轴可判断②；由对称性知1加+法+c图象过点(1,0)可判断①；根据x=-l时，j>04

判断③；根据开口向下。<0可判断④；进而可得正确答案.

【详解】

因为y=aV+A:+c的对称轴为x=-l,所以=即为-匕=0,所以②不正确；

因为广4+法+《图象过点A(-3,0),对称轴为x=-l,

所以y=〃x2+Z?x+c图象过点(1,0),所以〃+Z;+c=0,故①正确；

当x=-l时，y=a-b+c>0t故③正确；

因为二次函数y=♦+fer+c开口向下，所以avO,所以3。<2。二人，故④正确;

故答案为：①③④.

【例2-2】已知a,b,c,d都是常数，a>b,c>d.若段)=2021—(x—a)(x—〃)的零点为c,d,则下列不等

式正确的是()

A.a>c>h>dB.a>b>c>d

C.c>d>a>bD.c>a>h>d

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意画出二次函数的图像即可判断“、仄c、d的大小关系.

【详解】

/(x)=2021—(x—匕)=—+(a+/?)x—而+2021,

由解析式知〃。)=/"㈤=2021>0,於)对称轴为x=审,

''c,d为函数7U)的零点，且a>b,c>d,

可在平面直角坐标系中作出函数_Ax)的大致图象，如图所示：

由图可知c>a>b>d,

故选：D.

归纳总结：

【练习2-11【多选题】如图，二次函数，=如2+桁+，(“=0)的图像与x轴交于A3两点，与>轴交于C点，且

对称轴为x=l,点B坐标为(-1,0),则下面结论中正确的是()

A.2a+b=0B.4a-2b+c<0

C.h2-4ac>0D.当y<0时，x<—1或x>4

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.

【详解】

因为二次函数y=o?+bx+c(aHO)的图象的对称轴为X=1,所以x=—=H'.J2«+/>=0,故A正确；

2a

当x=-2时，y=4a-2b+c<0,故B正确；

该函数图象与x轴有两个交点，则从_4ac>0，故C正确；

因为二次函数y=^+6+c(a*o)的图象的对称轴为工=1,点8坐标为(-1,0),所以点A的坐标为(3,0),所以

当yVO时，x<-l或x>3,故D错误.

故选：ABC.

【练习2-2］若函数f(x)=F2+(“-l)x+l在区间(7,1］上为减函数，则实数m的取值范围为.

【答案】0,1

【解析】

【分析】

分类讨论，加力0时根据二次函数的性质求解.

【详解】

加=0时，f(x)=-x+l满足题意；

ni>0

/??工0时，,解得°(三，

------213

2m

综上加w［0,§］,

故答案为：［0,5.

题型三二次函数的值域与最值

【例3-1】已知二次函数/(x)=d—2x+3.

(1)当xw【-2,0］时，求f(x)的最值；

(2)当xe［-2,3］时，求/(x)的最值；

(3)当时,求/(x)的最小值g«).

【答案】⑴最小值为『(0)=3,最大值为八-2)=11

(2)最小值为/⑴=2,最大值为〃-2)=11

?+2j<0

⑶g(f)=.2,0<Z<l

?-2r+3,r>l

【解析】

【分析】

(1)根据二次函数对称轴情况求最值;

(2)根据二次函数对称轴情况求最值;

(3)分情况讨论函数最值的情况.

(1)

解：二次函数图象如图所示，

函数的对称轴为x=l，

所以当x=0时，/(X)取最小值为f(0)=3,

当x=-2时，/(x)取最大值为/(-2)=11；

⑵

解：由(1)得当x=l时,/(X)取最小值为/>⑴=2,

当x=-2时，f(x)取最大值为/(-2)=11；

⑶

解：由图象可知：

当f+lMl,即140时,F(x)在<f+1］上单调递减,

故最小值g(f)="+l)="+2；

当即0<f<l时,f(x)在匕1］单调递减，在上单调递增,

故最小值g(r)=/⑴=2；

当£21时，f(x)在上/+1］上单调递增，故最小值g(/)=/(f)=/-2r+3,

?+2j<0

综上所述：g(f)=<2,0<f<1.

t2-2t+3,t>\

【例3-2】已知函数/")=/+2m+1.求f(x)在-24xM2上的最小值；

【答案】⑴当，“>2时，最小值为“-2)=-4〃?+5；

—24加42时，最小值为f(~,n)=—"+1；

当初<一2时，最小值为/(2)=4,〃+5.

(3)%=-1或一!

4

【解析】

【分析】

(1)结合二次函数草图可得函数在x=3处取最大值，在x=-l处取最小值；

(2)利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与-2,2两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种

可能情况；

(3)结合(2)的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在T或2处取得，进而解

出小的值再代回检验即可.

•.•/(力=/+2,依+1的对称轴是x=-m,

①当—机<一2,即m>2时，函数在—24xV2上递增，

当x=-2时，取到最小值4-2)=9〃+5；

②当-24-加〈2,即一24m42时，函数在-2Wx42上先递减后递增，

当x=-m时,取到最小值〃-6)=-加+1；

③当-,“>2,即加<-2时，函数在-2Wx42上递减，

当x=2时，取到最小值〃2)=4加+5,

综上所得，当加>2时，最小值/(—2)=T〃?+5：

当一24m42时，取到最小值/(一加)=一加+1：

当机<-2时，取到最小值/(2)=4//7+5.

【例3-3】二次函数8(月=，/一2痛+〃+1(6>0)在区间［0,3］上有最大值4,最小值0.

⑴求函数g(x)的解析式；

⑵设/(x)=g(x)+(2-a)x,且〃x)在［-1,2］的最小值为一3,求“的值.

【答案】(Dg(x)=d—2x+l

(2)。的值为-5或4

【解析】

【分析】

(1)结合二次函数的性质求得g(x)的解析式.

(2)求得了(X)的表达式，对。进行分类讨论，结合人功在［T,2］的最小值来求得a的值.

(1)

依题意，二次函数g(x)=/n/—2松+〃+1(帆＞0),开口向上，对称轴x=l,

g2=T"+"+l=°n相=1,〃=0

所以

g(3)=3m+〃+1=4

所以g(x)=V-2x+l.

(2)

/(x)=g(x)+(2-a)x=x2-ax+1,开口向上，对称轴x=£,

当产_l,a«_2时，/(-l)=2+«=-3,«=-5,

zx222

当一1<@<2,-2<“<4时，/-=--^-+1=-—+1=-3=>«=±4(舍去).

212J424

当时，/(2)=5-2a=—3,a=4.

综上所述，〃的值为-5或4.

归纳总结:

【练习3-1］函数/(X)=X2-2X-2

⑴当xe-2,2］时，求函数“X)的值域；

(2)当xeg+l］时，求函数“X)的最小值.

【答案】⑴［—3,6］

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

(I)化简函数f(x)=(x-l)2-3,结合二次函数的图象与性质，即可求解：

(2)根据函数的解析式，分£40,0</<1^1/>1,三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.

(1)

解：由题意，函数/0)=%2-2x-2=(x-l)2-3,

可得函数/(x)在［-2,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增，

所以函数/(x)在区间［-2,2］上的最大值为/(-2)=6,最小值为/(-1)=-3,

综上函数“X)在上的值域为［-3,6］.

(2)

解：①当区0时，函数在区间上"+1］上单调递减，最小值为/«+1)=r-3：

②当0<f<1时，函数在区间［M］上单调递减，

在区间口,什1］上单调递增，最小值为了⑴=-3；

③当此1时，函数在区间上+1］上单调递增，最小值为，。)=产-2/-2,

综上可得：当fVO时，函数f(x)的最小值为产-3;当函数外力的最小值为-3；当C1时，函数

/(X)的最小值为产-2-2.

【练习3-2】一次函数“X)是R上的增函数，且/［〃x)］=4x+3,g(x)=〃x)(x+m)

⑴求/(x);

(2)当xe［—1,3］时,g(x)有最大值13,求实数m的值.

【答案】(l)/(x)=2x+l；

8

(2)m=—或机=-12.

7

【解析】

【分析】

(1)设/1(力=如+6,。>0,代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得f(x)的解析式；

(2)求得g(x)的解析式和对称轴方程，再由单调性可得一言解不等式即可得到所求范围:

(3)由g(x)的图象可得g(x)的最大值只能在端点处取得，解方程，加以检验即可得到所求值.

(1)

解：,一次函数f(x)是R上的增函数，，设/(x)=ox+b(a>0).

则f{f(x')j>=a(ax+b')+b=a2x+ab+b=4x+3,

2

a=4［a=2［a=-2zx

L.解得，।或八式不合题意，舍去).x)=2x+L

ab+b=3也=1［6=-3

(2)

解：5(x)—2^+(1+2m)x+m,对称轴为》=一上^

当疣［-1,3］时，g(x)有最大值13,

由于g(X)的图象开口向上，则g(x)的最大值只能为端点处的函数值，

若g(—1)是最大值13,即有2-1-2m+m—13,解得m=-12,

此时8(力=*-23x-12在［-1,3］上递减,符合题意;

Q

若g(3)是最大值13,即有18+3+6皿+〃2=13,解得历=-亍，

QQOO

此时g(x)=2/-^龙一7在［-1,有)递减，在(有，3］递增，

772828

且g(-l)=/<13,符合题意.

Q

综上可得，加=-12或加=一］.

题型四二次函数中的恒成立(有解)问题

【例4-1］(1)若函数丫=他(62+2奴+3)的定义域为R,求实数a的取值范围.

(2)若函数y=Jar2+2奴+3的值域为［。，叱)，求实数。的取值范围.

【答案】(D［0,3)；(2)［3,+a>).

【解析】

【分析】

⑴函数y=lg(加+2利+3)的定义域为R,则真数部分大于0恒成立；

⑵y=y/ax2+2ar+3的值域为［。，+°°)，则t=ax1+lax+3值域包含［。,+00).

【详解】

(1)函数丫=吆(加+2"+3)的定义域为R,

则办2+2办+3>0对xCR恒成立，

①a=0时，3>0,符合题意；

_［a>Q>0

②awO时，\,、=<，2c=>0<a<3,

［A<0［4a-12a<0

综上：0Ka<3；

(2)由题可知［0,+e)=卜I/=ar2+2ar+3|,

①a=0,/=3,不符题意；

(a>0

②awO时，\=>a..3,

［A>0

综上：a..3.

【例4-2］已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间［0,1］上的最大值比最小值大3,且/⑵=-3.

⑴求。，b的值；

(2)若在区间［7,1］上，不等式/(x)>-x+m恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】⑴。=6=1;

⑵y,-i).

【解析】

【分析】

(1)依题意，f(x)在［0,1］单调递减，了(力四一了意):=3及〃2)=—3,联立可求得明匕的值；

(2)方法一：分离参数m,则机<丁/x+i恒成立，求当时(唾-3x+l)1n用,可得实数，〃

的取值范围；

方法二：问题转化为Vxe［-1J,g(x)=x2-3x+l-相>0恒成立，利用二次函数的性质可求得g(x),„M=g(l)>0,

求机的取值范围.

(1)

令/(%)=a(x2-4x)+b=a(x-2)2+b-4a,又。>。，

，/(x)的开口向上，对称轴方程为x=2,

•・・/(X)在［0,1］单调递减,

•••fMmm-/(x)min=/(0)—/⑴=6-3-30=3a=3,乂f(2)=b-4a=-3,

a=。=1.

⑵

方法一：Vxe[-l,l],/(x)>-x+，〃ox2-4x+l>-x+"恒成立，

Vxs[-l,l],me/—3x+]恒成立，只需，w<(AT2-3x+1)而“，^e[-l,l],

因此，满足条件的实数也的取值范围是(YO,-1).

方法二：Vxe[-l,l],f(x)>-x+〃z=x?-4x+l>-x+加恒成立，

二一一3*+1-刃>0在[-1,1]上恒成立，

只需使g(x)=xZ-3》+1-》2>0在[-1,1]上恒成立,

3

g[x)=x1-3x+\-m的开口向上，对称轴方程为x=5，

•・g(x)在[TJ上单调递减,

二当X=1时，g(x)取得最小值，即g(x)min=g6=-m一1>0,解得加<一1,

因此，满足条件的实数用的取值范围是

归纳总结：

【练习4-1】已知函数〃x)=f-，nr—2.

(1)若%>0且/(x)的最小值为-3,求不等式/(x)<l的解集；

⑵若当V41时，不等式“X)-2x<0恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)(T3)；

(2)(-3,-1).

【解析】

【分析】

(1)利用二次函数的最值可求得正数机的值，再利用二次不等式的解法解不等式/(x)<l,即可得解；

(2)令g(x)=/(x)-2x=x2-(m+2)x-2,根据题意可得出关于实数机的不等式组，由此可解得实数m的

取值范围.

(1)

解：“X)的图象是对称轴为X=£,开口向上的抛物线，

所以，/(4*=/(£)='-苧-2=-'-2=-3,因为机>°，解得加=2，

由/(x)<l得X2-2X-3<0,即(X-3)(X+1)<0,得

因此，不等式/(x)<l的解集为(-1,3).

⑵

解：由41得一1VxWl,设函数g(x)=f(x)-2x=f-(m+2)x-2,

因为函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，

要使当炉41时,不等式f(x)-2x<0恒成立,即使x)vO在上恒成立,

［g⑴<0［l-w-2-2<0

则八2可得〈八，解得一3<“<一1.

［1+"2<0

【练习4-2】已知函数“X)是定义在［-2,2］上的奇函数，且xe(O,2］时，/(x)=2r-l,g(x)=f-2x+,〃.

⑴求/(x)在区间［-2,0)上的解析式；

⑵若对内e［-2,2］,则叫2,2］,使得/(耳卜8仁)成立，求掰的取值范围.

【答案】(1)〃同=一(；)+1.-2<x<0

⑵［-5,-2］

【解析】

【分析】

(1)设x+2,0),由奇函数的定义可得出"X)=-/(T),即可得出函数f(x)在区间［-2,0)上的解析式;

(2)求得函数“X)在区间［-2,2］上的值域为［-3,3］,分析函数g(x)在区间［-2,2］上的单调性，可得出

'(XL=

即可求得实数机的取值范围.

省(力而43

⑴

解：设x«-2,0),则—xe(0,2],/(x)=-/(-x)=-(2-x-l)=-(1j+1,

即当xe[-2,0)时，〃x)=_(£|+1.

(2)

解：当xe(O,2]时，/(x)=2^-lS(0,3];当xe[-2,0)时，/(x)=-flT+le[-3,0)；

又因为"0)=0,所以，函数“力在［T2］上的值域为［-3,3］,

•••g(x)=工2-2x+m在［-2,1)上单调递减，在(1,2］上单调递增，

当xe［-2,2］时,g(x)n.n=g(1)="一1，g(x)1rax=max{g(-2),g(2)}=g(-2)=〃z+8,

因为2,2],则叫e[—2,2],使得〃与)=8(9)成立，则|“+8；；，解得-5W/n<-2.

题型五一元二次方程根的分布

【例5-1】函数/(力=/一2》+。在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点，求实数。的取值范围.

【答案】-3<«<0

【解析】

【分析】

利用二次函数的零点分布求解.

【详解】

因为函数〃力=幺-2犬+。在区间(一2,0)和(2,3)内各有一个零点，

'/(-2)=4-2x(-2)+a>0

/(0)=«<0

所以

/(2)=4-2x2+a<0

/(3)=9-2x3+a>0

解得-3<a<0.

【例5-2]已知关于x的方程炉+2(a+2口+/-1=0.

(1)当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围：

(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数〃的取值范围.

【答案】

(2)(-1,1).

【解析】

【分析】

(1)根据♦>()，以及两根之和小于零，两根之积大于零列出不等式求解即可;

(2)只需一元二次方程对应的二次函数在x=0时的函数值小于零即可；

(1)

若关于x的方程/+2(。+2»+/_1=。有两个负根，

只需:♦=4(a+2)——4(“—-1)>0,即a>—“

且两根之和-2(a+2)<0：,BPa>-2；

以及两根之积4?-1>0，即或。<-1.

综上所述，j-lluU+oo),

即实数0的取值范围为

(2)

关于x的方程/+2(a+2)x+/-1=0有一个正根和一■个负根时，

只需其对应的二次函数〃x)=+2(a+2)x+a2-1满足“0)<0,

即储_i<o,解得aw(—1,1).

故实数。的取值范围为：(-1,1).

【例5-3】设函数f(x)=x?，其中加eR.

(1)函数/(x)在区间［-1,2］上有唯一的零点，求〃?的取值范围；

(2)函数Ax)在区间［-2,4］上有两个零点，求机的取值范围.

【答案】(1)m<—^或，〃=0或加云4：(2)--</w<0fiJc4<m<—,

233

【解析】

【分析】

根据/(*)函数性质：开口方向、判别式，讨论对称轴与给定区间的位置情况，结合区间零点个数列不等式组，

求参数的取值范围.

【详解】

由题设，/(x)开口向上且对称轴为*=£,△=

A=0

(I)当!即〃z=0或%=4时，f(x)在区间上有唯一零点；

—1W—W2

2

当A>0,即〃2<0或加>4时，要使/⑺在［T2］上有唯一的零点,只需“—1)/⑵=(1+2㈤(4—〃2)<0,解得

综上，机<-：或加=0或时，(X)在［-1,2］上有唯一的零点.

(2)由题设△>(),即m<0或m>4,

m.m,

——1—>1416

/.\2或《2,可得——<m<0^4<m<一,

,/(-2)>0伍4)2033

416

综上，-33"＜0或4＜，"4?时，。)在［-2,4］上有两个零点.

【练习5-1］若关于x的方程2X2-8X+,〃+3=0有两个实数根，且一根大于1,另一根小于1,则实数加的取

值范围为.

【答案】(",3)

【解析】

【分析】

^f(x)=2x2-8x+m+3,根据题意，由/(1)＜0求解.

【详解】

令/(x)=2x2-8x+m+3,

因为方程2x2-8x+m+3=0有两个实数根，且一根大于1,另一根小于1,

所以/(1)=2-8+帆+3＜。，解得加＜3,

所以实数用的取值范围为(―,3),

故答案为：(e,3)

【请完成课时作业(十)】

【课时作业（十。

A组基础题

1.函数/（同=丁+3升2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是（）

A.12,--B.2,12

4

C.42,-：D.最小值是-，，无最大值

44

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数在闭区间上的性质即可求解最大值和最小值.

【详解】

y=x2+3x+2=fx+|J-l,抛物线的开口向上，对称轴为x=-|,

在区间[-5,5]上，当*5时，y有最小值-；；x=5时，y有最大值42,

函数/（力=幺+3了+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是：42,

故选：C.

2.若函数〃x）=x2-侬+10在（一2,-1）上是减函数，则实数机的取值范围是（）

A.[2,+oo）B.[-2,+oo）C.（-oo,2]D.（-00,-2]

【答案】A

【解析】

【分析】

结合二次函数的对称轴和单调性求得加的取值范围.

【详解】

117

函数/（X）="2一如+10的对称轴为工=§,

由于〃x）在（-2,1）上是减函数，所以葭*1=m22.

故选：A

3.已知函数“*）=一+4犬+%xe[0,l],若的最小值为-2,则的最大值为（）

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次函数性质求得最小值，由最小值得。值，从而再求得最大值.

【详解】

v/(x)=-x2+4x+a在[(),1]上单调递增，.•.其最小值为/(O)=a=-2,

,其最大值为f（l）=3+a=l.

故选：A.

4.若方程-f+0c+4=。的两实根中一个小于t,另一个大于2,则。的取值范围是（）

A.(0,3)B.[0,3]

C.(—3,0)D.(7O,0)U(3,+<»)

【答案】A

【解析】

【分析】

设/（力=/-融-4,根据二次函数的零点分布可得出关于实数。的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.

【详解】

由一刀2+5+4=0可得》2-ax-4=0，

A=<72+16>0

-1<-<2

令/（耳=』一公—4,由已知可得•2,解得0<a<3,

f(-l)=a-3<0

/(2)=-2«<0

故选：A.

5.若函数/（刈=卜?（一?‘：9"：?的值域为[—3,+8）,则4的取值范围是（）

A.[―e\0）B._/,」）C.-e3,--D.\e，,」）

【答案】C

【解析】

【分析】

求出当04x43和a4x<0时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可

【详解】

当04x43时，f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1e[-3,1]

当a4x<0时，/(x)=-ln(Wln(-a),+co)

要使/(x)的值域为[-3,+8)

则-3V-ln(-a)41,:.-e3<a<--

e

故选：C

6.已知二次函数y=/-4x+a的两个零点都在区间(1,田)内，则。的取值范围是()

A.(^»,4)B.(3,+co)C.(3,4)D.(^»,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于。的不等式，进而求解.

【详解】

二次函数y=/-4x+a,对称轴为x=2,开口向上，

在(f,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

要使二次函数/(%)=丁-4x+a的两个零点都在区间(1,+8)内,

/(1)=1-4+«>0

，解得3<a<4

/(2)=4-8+a<0

故实数a的取值范围是(3,4)

故选：C

7.若二次函数/。)="+法+或"0),满足/(l)=f(3),则下列不等式成立的是()

A./(1)</(4)</(2)B./(4)</(1)</(2)

C./⑷<f(2)</(l)D.〃2)</(4)</⑴

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据/⑴=/(3),判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.

【详解】

因为/(1)=/(3),所以二次函数/(》)=江+法+。的对称轴为x=2,

又因为"0,所以7(4)</(3)V/(2),

又/⑴=/(3),所以/(4)</(1)</(2).

故选：B.

「25-

8.若函数y=V-3x-4的定义域为［0,〃力，值域为-芋-4,则实数机的取值范围是()

A.(0,4］B.-^,-4C.D.习+°°)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质并结合图象即可求出实数m的取值范围.

【详解】

函数了=/-3*-4的图象如图所示，

因为y=d-3x-4=(x-g)-亨

当x=0或x=3时，y=-4；

当x=3寸，＞=-2?5，

「3

因为函数的定义域为［0,机］,所以me-.3

故选：C.

9.在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当“Wb时,a*b=a；当时，a*b=b2.设函数

f(x)=(-2*x)-(2*x),xe(-2,2],则函数.f(x)的值域为()

A.[-6,-2]B.[一2⑵C.(-2,2]D.[-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得，f(x)=x2-2,xe(-2,2］,再由二次函数的单调性即可求出〃x)的值域.

【详解】

因为f(x)=(-2*x)-(2*力,尤e(-2,2|,

由题意可得，f(x)=x2-2,xe(-2,2],

则fM在xe(-2,0]上单调递减，在xe(0,2]上单调递增.

所以/。焉"⑼=一2Ja、=7"⑵=2,

所以f(x)的值域为[-2,2].

故选：D.

10.【多选题】二次函数丫=取2+法+。的图象如图所示，则下列说法正确的是(）

B.4ci+2b+c<0C.9a+3b+c<0D.abc<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由题知0<0,进而根据对称性得〃0)>0,/(2)=/(0)>0,〃3)=/(-1)<0判断即可得答案.

【详解】

解：由二次函数图象开口向下知：«<0,对称轴为x=-2=i,即2a+6=0,故6>0.

2a

又因为〃0）=c>0,/（2）=/（0）=4a+2/?+c>0,/（3）=/（-l）=9a+3/?+c<0,

所以abc<0.

故选：ACD.

11.已知函数，。)=丘2+》-5在口,2]上单调，则实数%的取值范围是

【答案】(-co，-5]u[-w，+00)

【解析】

【分析】

根据题意，分％=0和％片0,两种情况，结合一次、二次函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】

由题意，函数/*)=履2+/5,

当k=0时，f(x)=x-5,此时函数/(x)在区间口⑵上为单调递增函数，符合题意；

当％HOH寸，/(*)="2+犬_5的对称轴的方程为》=_乙，

2k

要使得了(X)在［1,2］上为单调函数，则满足-圭41或2,

M军得上4—g或；且�,

综上可得实数%的取值范围是(―二皿一收).

24

故答案为：(-°0,-］,+00).

12.已知函数,f(x)=x2+2x+3+m,若〃x)20对任意的xe［l,2J恒成立，则实数，"的取值范围是.

【答案】［-6,+00)

【解析】

【分析】

对任意xe［l,2］,/(x)N0恒成立，等价于/+2工+32-m在［L2］上恒成立，令g(x)=/+2x+3,求其在［1,2］

上的最小值即可.

【详解】

对任意xeU，2］,/(x)20恒成立，

等价于x2+2x+32-机在口，2］上恒成立，

令gM=x1+2x+3,

则其在口,2］上的最小值为g(l)=6,所以6W-m,得加2-6.

故答案为：r-6,+a))

13.已知函数“力=f+2〃比+1.

⑴若机=1,求“X)在-14x43上的最大值和最小值；

⑵求/(x)在-24x42上的最小值；

(3)在区间-14x42上的最大值为4,求实数加的值.

【答案】(1)最大值是16,最小值是0

⑵当机＞2时，最小值为/(-2)=-4m+5；

当一时,最小值为/(-，〃)=一疗+1；

当机＜一2时，最小值为/(2)=4〃z+5.

⑶%=-1或

4

【解析】

【分析】

(1)结合二次函数草图可得函数在x=3处取最大值，在x=-l处取最小值；

(2)利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与-2,2两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种

可能情况；

(3)结合(2)的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在-1或2处取得，进而解

出加的值再代回检验即可.

(1)

，"=1时，/(x)=x2+2x+l=(x+l)2,结合函数图像得：

/(x)a-l<x<3上的最大值是/(3)=16,最小值是1)=0；

(2)

•.•/(力=/+2痛+1的对称轴是欠=-机，

①当-〃?<—2,即机>2时，函数在-24x42上递增，

当x=-2时，取到最小值/(-2)=9〃+5；

②当一24一帆<2,即-24加42时，函数在-2《尤42上先递减后递增，

当X=T"时，取到最小值〃一加)=一疗+1；

③当即/"<-2时，函数在-24x42上递减，

当x=2时，取到最小值〃2)=4加+5,

综上所得，当〃?>2时，最小值/(—2)=T〃?+5；

当一24mV2时，取到最小值f(-«?)=-w2+1：

当机<-2时，取到最小值/(2)=4/M+5.

(3)

由(2)的讨论思路结合函数图像在-14x42内的

可能情况知/(-1)，#2)中必有一个是最大值；

若/(-1)=2-2，〃=4,6=一1,代回验证：

/(X)=X2-2A+1=(X-1)2,符合〃T)最大；

若/⑵=5+4〃?=4,/«=--,代回验证：

4

/(x)=x2-lx+l=(x-l)2+l1,符合八2)最大；

2416

4

B组能力提升能

1.已知关于x的方程以2-2|x|+a=0有4个不同的实数解，则实数“的取值范围是.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】

已知关于x的方程以2-2|x|+a=0有4个不同的实数解，可以分别三种情况讨论：①。=0,方程有4个根；

②X20,方程有两个正根；③x<0,方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.

【详解】

由题意可知关于X的方程以2-21X|+。=0有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：

①当a=0时，方程以2-2|x|+a=0,化为-2国=0,解得x=0,不满足题意，舍掉；

②当xNO时，方程加-2|x|+a=0,化为⑪2-2x+a=0,此方程有两个正根，即

A=4-4a2>0

2

<X]+x,=—>0,解得0<avl；

a

XfX2=l>0

③当x<0时.，方程-2|x|+a=0,化为以2+21+々=0,此方程有两个负根，即

A=4-4/>0

2

<x+x=—<0,解得0vav1；

12a

xfx2-1>0

由①②③可知，实数。的取值范围是OVaVl.

故答案为：(0,1).

(x-a)2,x<0

2.设/*)=]/八，若/(0)是/(力的最小值，则。的取值范围为______.

x+—+〃+4,x>0

【答案】[0,3]

【解析】

【分析】

利用定义可知/(x)=x+^+a+4在(0,1)上递减，在(1,—)上递增，所以当x=l时，/(x)=x+1+a+4取得

XX

最小值为6