2020-2021学年武汉市洪山区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年武汉市洪山区八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下面四个手机4Pp图标中，可看作轴对称图形的是（）

2.使下列式子有意义的实数x的取值都满足％21的式子的是（）

A-嘉B.1

C.V%+1+V1—xD.y/x-1

1~X

3.下列合并同类项正确的是（）

A.2。+3b=SabB.2ab-2ba=0

C.2x2y—3xy3=—xyD.4x2+3x2=7x4

4.如图，△ABC中，角平分线4。、BE、CF相交于点H,过H点作

HGLAC,垂足为G,那么乙/HE和4CHG的大小关系为（）

A.乙AHE>Z.CHG

B.^AHE<乙CHG

C.A.AHE=(CHG

D.不一定

5.下列等式由左边到右的变形中，属于因式分解的是（）

A.mx+nx+k=(m+n)x+kB.x2—9=(x+3)(x—3)

C.x2—4+3x=(x+2)(x—2)—3xD.(a+b)(a—b)=a2—b2

6.我国古代数学家赵爽的佝股圆方图》（也称梅爽弦图》），是由四个全等

的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.如果大正方

形的面积是19,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为a,较长直

角边为b,那么（a+6产的值为（）

A.16B.19C.35D.83

7.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩

形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

aab

A.a2—ab=a(a—b)B.(a+b)2=a?+2ab+b2

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.a2—b2=(a+&)(a—b)

8.如图所示，点4、8分别是2/702、4知8平分线上的点，力81OP于点E,

BC上MN于点C,ADJ.MN于点D,下列结论错误的是（）

A.40+BC=ABB.4AOB=90°

C.点。是CD的中点D.与NCB。互余的角有两个

9.某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用48两种不同的包装箱进行包装，已知每个8型

包装箱比4型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用4型包装箱可少用12个，设

B型包装箱每个可以装x件文具，根究题意列方程为（）

A10801080v仁D10801080.

A•丁=装6-12B--=^+12

c10801080.cc10801080.

C.---=------12D--=^+12

xx+15

10.如图，菱形ABC。中，AB=4,乙4BC=120。，点E是边4B上一点,

点尸在BC上，在以下四个结论中不正确的是（）

A.若AE+CF=4,则△力BDF

B.若DF1AD,DE1CD,则EF=2M

C.若4DEB=ADFC,WJABEF周长的最小值（4+2遍）

D.若DE=DF,则乙4DE+Z.FDC=60°

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.如图，在△力BC中，L.A=m°,和Z71CD的平分线交于点

得NAiBC和N41CD的平分线交于点42,^A2；...AA2012BC

和242012c。的平分线交于点4013，则乙的013=度.

12.一个氧原子的直径为0.000000000148小，用科学记数法表示为

______m.

13.己知m>0,如果％2+20—1）%+16是一个完全平方式，那么小的值为

14.如图，在平面直角坐标系中有两点a(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(C

与4不重合)，当点C的坐标为或时，使得由点B、。、

C组成的三角形与AAOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).

15.有理数混合运算的顺序是：

(1)先算高级运算，再算低级运算，即先算①，再算乘除，最后算;

(2)同级运算，按照从到的顺序进行；

(3)如果有括号，就先算括号里的.

16.若多项式/+—6有一个因式是(x-2),则卜=.

三、解答题(本大题共8小题，共72.0分)

17.先化简，再求值：(2x+3)(2x-3)+3x(x-2)-(3x-1产，其中x是百的小数部分.

18.因式分解：

(l)a3-4ab2；

(2)2a3-8a2+8a.

计算：

2a1

⑶a2—4a-2

3a-15

(%+

5a

19.(1)计算:|一㈣一(-4尸+(丘)°-2cos30。；

(2)先化简分式(言-.)十号，再从不等式组｛jf］号的解集中取一个合适的值代入,

求原分式的值.

20.在边长为1的小正方形网格中(如图)，△4。8的顶点均在格点上

(1)在图中画出AAOB关于y轴对称的△AOB',并写出对应点4(,_____)的坐标,

(2)请在x轴上画点P,使得P4+PB最短.(保留作图痕迹，不写画法)

(1)证明：在运动过程中，点。是线段PQ的中点;

(2)当4BQD=30。时,求AP的长;

(3)在运动过程中线段EC的长是否发生变化？如果不变，求出线段EC的长；如果变化请说明理由.

22.某游乐园门票的价格为每人80元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠

(1)一旅游团共18人，你认为他们买18张门票便宜还是多买2张，买20张购团体票便宜？

(2)如果旅游团不足20人，那么人数达到多少人时购团体票比购买普通门票更便宜？

23.【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.

【结论应用】如图②，在RtZiACB中，^ACB=90°,NA=30。，。是AB的中点.过点。作DE//BC

交2C于点E.则线段4B与。E的数量关系为.

【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△48£)和4BCD.其中〃。8=乙BCD=90°,

心=60°.乙CBD=45。.点E为AB的中点，过点E作EF1CD于点尺若48=8cm.则EF的长为

______cm.

24.在AABC中，乙4cB=90。，AC=BC=6,0为中线4E上一点，连接BD,以0为旋转中心，将

线段DB逆时针旋转90。得到线段DP,连接BP、CP.

(1)如图1,当。为力E的中点时;求CP的长；

(2)如图2,当CP//4E时,求证：AD=2CP；

(3)如图3,当点P落在4c的延长线上时，求CP的长.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：4、不是轴对称图形，不合题意；

8、是轴对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，不合题意；

。、不是轴对称图形，不合题意.

故选:B.

根据轴对称图形的概念判断即可.

本题考查的是轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.答案：D

解析:解:⑷由鼠

可得：x>0iLx*1»故A不选；

(8)由x+1>0,

可得：x>-1,故B不选；

⑹崎二竟

可得：-1SxS1,故C不选；

故选：D.

根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求出答案.

本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属

于基础题型.

3.答案:B

解析：解：4、不是同类项，不能合并；

B、符合同类项的定义；

C、不是同类项，不能合并；

D、4/+3%2=7/,故不正确.

故选:B.

所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关.

合并同类项的法则：系数相加减，字母与字母的指数不变.

本题考查了同类项的合并法则和同类项的定义，熟练掌握法则是关键.

4.答案：C

解析：解："AD,BE、CF为AABC的角平分线

•••可设=Z.CAD=x,Z.ABE=乙CBE=y,Z.BCF=Z.ACF=z,

2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°

•.•在△AHB中，A.AHE=x+y=90°-z,

在ACHG中，ACHG=90°-z,

•••Z.AHE=Z.CHG.

故选：C.

先根据4。、BE、CF为△ABC的角平分线可设NB4D=NCW=x,/.ABE=Z.CBE=y,乙BCF=

Z.ACF=z,

由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180。即x+y+z=90。在△中由三角形外角的性质

可知乙4HE=x+y=9(T-z,在ACHG中，Z.CHG=90°-z,故可得出结论.

本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180。，三角形的外角

等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.

5.答案：B

解析：

本题主要考查的是因式的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键.依据因式分解的定义求解即可.

解：4mx+nx+k=(m+n)x+k不是因式分解；

B.x2-9=(x+3)(x-3)是因式分解；

C.x2—4+3x=(x+2)(x—2)—3x不是因式分解；

D.{a+b)(a-b)=a2-炉不是因式分解.

故选B.

6.答案：C

解析：解：•••大正方形的面积是19,小正方形的面积是3,

••・直角三角形的斜边的平方为19,

•••直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b,

a2+b2=19,

•••大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积,

4x|ad=19-3,即2ab=16,

:.(a+b^2=a2+2ab+62=19+16=35.

故选：C.

先利用正方形的面积得到直角三角形的斜边的平方为19,则。2+/)2=19,则利用大正方形的面积

减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积得到2防=16,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=35.

本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.

7.答案：D

解析：解：左图的阴影部分的面积为a?-炉，右图的阴影部分的面积为(a+b)(a-b),

因此有为-炉=(a+6)(a-b),

故选：D.

用代数式表示粗两个图形阴影部分的面积，即可得出等式.

本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出等式的前提.

8.答案：D

解析：解：•••点4,B分另I是4N0P,NMOP平分线上的点，

•••AD=AE,BC=BE,

•：AB=AE+BE,

：.AB=AD+BC,故A选项结论正确；

^.Rt^AOD^Rt^AOE^p,

(AO=AO

UD=AE'

•••Rt△AOD^Rt△AOE(HQ,

OD=OE,Z.AOE=4AOD,

同理可得OC=OE,乙BOC=KBOE,

・••乙408=1x180。=90。，故8选项结论正确；

■:BC上MN,

・・・Z,CBO+Z.COB=90°；

・・,点4、B分另I」是NNOP、4MOP平分线上的点，

:.乙COB—乙EOB,Z.AOD=Z-AOE,

・・・乙BOE+匕AOE=90°,乙EOB+Z-AOE=90°,

・・・4CBO+NEOB=90。,

•••/^，。2于点七，ADLMN于点D,

:.Z.AOE+Z.OAD=90°,Z.AOD+Z-OAE=90°,

・・・乙CBO+Z.OAD=90°,Z-CBO+Z.OAE=90°,

与NCB。互余的角有匕COB,乙EOB,LOAD,共4个，故。选项结论错误；

•1,OC=OD=OE,

二点。是CD的中点，故C选项结论正确.

故选：D.

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AC=4E,BC=BE,再利用“HL”证明Rt△4。。和

RtAZOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE,^AOE=^AOD,同理可得OC=OE,

乙BOC=ABOE,然后求出N40B=90。，然后对各选项分析判断即可得解.

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，余角的定义，

熟记各性质并准确识图是解题的关键.

9.答案：A

解析：解：根据题意，得：

10801080._

=12,

xx-is

故选A

关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用力型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包

装箱的数量=所用4型包装箱的数量-12,由此可得到所求的方程.

此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数十每个包装箱装的文具

个数是等量关系解答.

10.答案:D

解析：解：4、•••四边形ABCD是菱形，/.ABC=120°

AD=DC=BC=AB=4,Z.ABD=乙DBC=60°,

：.t^ADB.ABOC都是等边三角形，

•••AD=BD,4DAE=乙DBF=60°,

vAE+CF=4,BF+CF=4,

•••AE=BF,

AD=BD

在AADE和ABCF中，\/.DAE=/.DBF,

.AE=BF

・••△/DEwZkBDF,故A正确.

B、-DFLAD,AD//BC,

・•・DF1BCy

♦.•△DBC是等边三角形，

•••乙BDF=30。，DF=—CD=2次,

2

同理NBDE=30°,DE=2百，

•••DE=DF,AEDF=60°,

••.△EOF是等边三角形，

EF=DE=2旧,故B正确.

C、在△BDE和△CDF中，

NDBE=乙DCF

乙DEB=Z.DFC>

.DB=DC

**•△DBE=^DCF,

DE=DF,乙BDE=cCDF,BE=CF,

•••乙EDF=4BDC=60°,

*'-△OEF是等边三角形，

•••△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

•••等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，

当DEIAB时，DE最小=2百，

・•.△BE尸的周长最小值为4+2遍，故C正确

D、错误，当EF〃4C时，DE=DF,此时乙4DE+NFCC是变化的不是定值.故。错误.

故选：D.

A、正确，只要证明△ADE三△BDF即可证明.

B、正确，只要证明OF1BC,AOEF是等边三角形即可.

C、正确，只要证明ADBE三ADCF得出ADEF是等边三角形，因为ABEF的周长=BE+BF+EF=

BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，只

要求出△OEF的边长最小值即可.

C、错误，当E/7/AC时，DE=DF,由此即可判断.

本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，

解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，

属于中考常考题型.

11.答案：湍5

解析：

本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出并能找出规律.

利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证进而可求乙4。由于22=

：乙生=套乙4,…，以此类推可知乙42013=3看乙4=意5。

解：,41B平分N48C,A1C平分N4CD,

11

AZ-ArBC=-Z-ABCtZ-A^D=-Z-ACD,

vZ-A^D=Z-At+Z,A1BC,

即1*CD=/A+1*BC,

1

・・・N4i=；(4ACD—匕ABC),

vZ-A+乙ABC=Z.ACD,

***Z-A=Z-ACD-Z-ABC,

・•・Z-Ar=

・•・乙4i=1m°,

・"1=2,〃2=2=缸4

以此类推4&013=3磊乙4=遥1。.

故答案为哀［7.

12.答案：1.48x10-1。

解析：解：0.000000000148=1.48x1O-10.

故答案为：1.48x10-10.

科学记数法的表示形式为axICT*的形式，其中1式同＜10,n为整数.确定n的值是易错点，由于

0.000000000148有10个0,所以可以确定n=-10.

此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定71值是关键.

13.答案:5

解析：

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键.根据形如。2±2就+炉的式子叫做

完全平方式求解即可.

解：•••/+2(巾一1)》+16是一个完全平方式，

.,•±2x1x4=2(m—1),

即2(m-1)=±8,

m=5或一3,

m>0,

m=5.

故答案为5.

14.答案：(-1,0);(1,0)

解析:

此题考查了相似三角形的判定，坐标与图形的性质.

分类讨论：①当△AOBs/iCOB时，求点C的坐标；②当△AOB-ABOC时，求点C的坐标.

解：•点C在#轴上,

.••点C的纵坐标是0,且当NBOC=90。时，由点B、。、C组成的三角形与AAOB相似，即NBOC应该

与NB04=90。对应，

①当△AOBFCOB,即OC与04相对应时，贝iJOC=。4=4,C(-4,0)；

②当△40B“AB0C,即OC与。8对应，则OC=1,C(—1,0)或者(1,0).

故答案可以是(-1,0);(1,0),

15.答案：乘方；加减；左；右

解析：解：有理数混合运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

故答案为：乘方，加减；左，右.

根据有理数混合运算的法则进行解答即可.

本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解答此题的关键.

16.答案：1

解析：解：设另一个式子是(x+a),

则Q-2)・(％+a),

=x24-(a—2)x—2a,

=%2+fcx—6,

Q-2=k,-2a=-6,

解得a=3,k=1.

故应填1.

多项式/+kx—6有一个因式是(x-2),则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设

另一个式子是(x+a)，根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解.

本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相

同.

17.答案：解：原式=4x2—9+3%2—6%—9x2+6%—1

=-2x2—10,

•••x是旧的小数部分，

x=V3—1,

原式=-2(V3-I)2-10

=-2(4-2V3)-10

=-8+4V3-10

=-18+4V3.

解析：此题主要考查了整式的混合运算，正确运用平方差公式和完全平方公式运算法则是解题关

键.解答此题首先直接利用乘法公式进而化简，再利用二次根式的性质得出值的小数部分代入求值

计算得出答案即可.

18.答案：解：(1)原式=以小4。2)

=a(a+2b)(a—2d)；

(2)原式=2a(a2—4a+4)

—2a(a—2产；

(3)原式=g+2)(a-2)—(a+2)(a-2)

2Q—a—2

(a+2)(Q—2)

a—2

(a+2)(a—2)

-a+2；

(4)原式若+富

15+a-15

二5a

a

=拓

_1

-5,

解析：(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(3)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值；

(4)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值.

此题考查了分式的加减法，以及因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.答案：解：⑴原式=遮+工+1-2x更

42

=li.

4

。、后T_3x(x+l)-x(x-l)(x-l)(x+l)

(2)原式一(x-l)(x+l)X---

3x24-3%—x2+%

x

=2x+4.

解不等式组1一39一2)1得一3<%42.

取％=2时，原式=8.

x

解析：(1)|-V3|=V3；(-4)-=J；(vfc)°=O.

(2)先对三-W通分，再对/一1分解因式，进行化简求值.

'Jx-1X+1

考查实数的有关运算、分式化简求值及解不等式组.注意X的取值必须使原式有意义.

20.答案：解：(1)如图所示:hA'OB',即为所求，4(一3,2)；

(2)如图所示；P点即为所求.

解析：(1)利用关于y轴对称点的性质找出点4、B关于y轴的对称点4、夕的位置，再与。顺次连接即

可，然后根据平面直角坐标系写出点A的坐标；

(2)找出点B关于x轴的对称点B“位置，连接4B”,根据轴对称的性质可得，48〃与x轴的交点即为所

求的点P.

解：(1)如图所示：△40B',即为所求，4(—3,2)；

(2)如图所示；P点即为所求.

21.答案：⑴证明：过P作PF〃QC交48于F,则AAFP是等边三角形,

•:P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP,

BQ=PF,

SADFP中，

ZDQB=Z.DPF

Z.QDB=乙PDF,

BQ=PF

■.^DBQ^^DFP(AAS),

DQ=DP.

(2)解：VADBQ=^DFP,

:.BD=DF,

•・•乙DBC=乙BQD+乙BDQ=60°,乙BQD=30°

・•・乙BQD=乙BDQ=乙FDP=乙FPD=30°,

BD=DF=PF=FA=-AB=2,

3

：・AP=2；

(3)解：由(2)知BO=D?，

•••△4”是等边三角形，PE_L力氏

・•・AE—EF,

・•・DE=DFEF

11

=-BF^--FA

22

1

=-AB

2

=3为定值，即DE的长不变.

解析：(1)过P作P/7/QC交4B于尸.则AAFP是等边三角形，根据44s证明三角形全等即可.

(2)想办法证明BD=DF=4F即可解决问题.

(3)想办法证明DE=1AB即可解决问题.

本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及平行线的性质，掌握全等三

角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

22.答案：解：(1)购买18张门票，所需费用为80x18=1440(元)，

购买20张门票，所需费用为80x0.8X20=1280(元).

•••1440>1280,

••・购买20张团体票更便宜.

(2)设人数达到x人时购买团体票比购买普通票更便宜，

依题意，得：80X0.8x20<80%,

解得：x>16.

「X为整数，

•••人数达到17人时购买团体票比购买普通票更便宜.

解析：(1)利用总价=单价x数量，分别求出购买18张门票及20张门票所需费用，比较后即可得出结

论；

(2)设人数达到x人时购买团体票比购买普通票更便宜，根据购买团体票比购买普通票更便宜，即可

得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小值整数值即可得出结论.

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数字之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关

健.

23.答案：AB=4DEV2+V6

解析：解：(1)如图①，作斜边AB上的中线CD,贝iJCC=BD=4D,

v乙4cB=90°,乙4回30°,

•••乙B=90°-乙4团90°-30°=60°,

*'•△BCD是等边三角形，

BC=CD=-AB.

2

(2)如图②,取B如的中点,连接。F,

•••乙4cB=90°,乙4=30°,

BC=-AB,

2

•••D,F分别是AB,BC的中点，

•••DF//AC,

■■■DE//BC,

图②

.••四边形CEDF是平行四边形，

•••DE=CF=-BC,

2

DE=-BC,

4

即BC=4DE.

故答案为：BC=WE.

(3)如图③，过点4作4G1CD交CD的延长线于点G,

•・・^ADB=乙BCD=90°,乙4=60°.ZCBD=45°,

:.Z.ABD=30°,

・•・AD=gx8=4(cm),

・•・BD=AB♦sinZ-A=8sin60°=4V3(cm),

・•・BC=BD•cosZ-CBD=4遍cos45。=2V6(cm)»

vz.ADC=90°-乙CBD=45°,

Z.ADG=180°-乙ADB-乙BDC=45°,

・・・乙G=90°,

・••AG=AD-sinzTlDG=4sin45°=2>/2(cm)，

vEFLCD,BC1CD,AG1CD,

:.AG//EF//BC,

•・•点E为的中点，

・・.EF=+BC)=4x(2V2+2A/6)=(V2+V6)cm；

故答案为：V24-V6.

(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD=BD=AD,再证明△BCD是等边三角形，

即可证明结论；

(2)取BC的中