高中数学导数及其应用典型例题专题练习40题(详解版)

试卷第=page2020页，总=sectionpages4444页试卷第=page1919页，总=sectionpages4444页高中数学导数及其应用典型例题专题练习40题（详解版)一、单选题1．函数的单调递增区间是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【详解】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.2．若函数在上为增函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】转化为，即对恒成立，继而得解.【详解】由题意函数在上为增函数,可知，即对恒成立，所以．故选：C【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.3．设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且满足，则当时，有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，结合可得出结论.【详解】构造函数，则，所以，函数为减函数，，，即，故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法比较函数值的大小关系，利用导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.4．函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性与导数符号的关系判断即可.【详解】根据导函数为正，则原函数递增，导函数为负，则原函数递减，导函数从左到右的符号依次为负、正、负、正，则原函数的单调性从左到右依次为减、增、减、增，且在附近单调递增，通过对比可知，D中的图象正确.故选：D.【点睛】本题考查利用导数的图象判断原函数的图象，一般利用导数符号与原函数单调性之间的关系来判断，考查推理能力，属于中等题.5．对于函数，将满足的实数称为的不动点.若函数（且）有且仅有一个不动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】令，可得，利用换底公式得出，进而得出，由题意得出函数与函数的图象有且只有一个公共点，利用导数研究函数的单调性与极值，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.【详解】函数有且仅有一个不动点，则方程仅有一个根.由可得，即，设，其中.则，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，函数的极大值为，且当时，.函数的图象如图所示，所以或，即或.故选：C.【点睛】本题考查函数新定义“不动点”问题的求解，将问题转化为函数的零点个数，并利用参变量分离法求解是解答的关键，在作函数的图象时，可利用导数分析函数的单调性与极值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．已知函数的导函数为，在上满足，则下列一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出和的大小关系，由此可得出结论.【详解】令，则.由已知得，当时，.故函数在上是增函数，所以，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.7．设曲线f(x)=ex+2x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)=-ax+sinx上某点处的切线l2，使得A．[-1,2] B．(-1,2) C．【答案】D【解析】【分析】求得f(x)的导数，设(x1,y1)为f(x)上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g(x)的导数，设g(x)图象上一点(x2,y2)可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1【详解】f(x)=ex+2x的导数为f'(x)=ex+2，设(x1,y1)为f(x)上的任一点，则过(x1,y1)由l1⊥l2，可得任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立,则有y1=-a+由B⊆A，即(-12,0)⊆[-a-1，-a+1]解得：[-12,1]【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．8．若不等式有且仅有两个正整数解，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解，令，，则问题转化为函数的图像有两个交点。【详解】由题得，，∴不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解.记，∴函数的图象是过定点的直线.又记，∴，令，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，如图所示，要使有且仅有两个正整数解，数形结合可知，只需满足，即.故选A.【点睛】含参的不等式可转化为函数问题，解本题的关键是能构造函数，利用导函数解决，属于难题。9．已知函数，曲线上总存在两点使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据在两点处的切线互相平行，得到，从而得到，再设，利用导数求出其最大值，从而得到答案.【详解】函数，可得曲线在两点处的切线互相平行，所以即，（，故等号取不到）即恒成立，设，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以时，取最大值，为所以，即，故选D项.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，解决恒成立问题，属于难题.10．已知与轴有3个交点，，且在，时取极值，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．不确定【答案】C【解析】【分析】先确定，由韦达定理可求，再求导函数，由，是的根，结合方程的根与系数关系即可得出结论．【详解】，，，又，，是两根，且．由韦达定理，，且在，时取得极值，，．故选：C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．11．一质点按规律运动，则其在时间段内的平均速度为（），在时的瞬时速度为（）.A．12，3 B．10，5 C．14，6 D．16，6【答案】C【解析】【分析】根据题意，由变化率公式可得在时间段内的平均速度为，计算可得答案，求出函数的导数，进而可得的值，由瞬时变化率公式计算可得答案．【详解】根据题意，一质点按规律运动，则其在时间段内的平均速度为，其导数，则，则在时的瞬时速度为故选：C．【点睛】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率与瞬时变化率的定义，属于基础题．12．下列求导结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出、、、选项中正确的结果即可．【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．13．已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】由，即，得，令，其中，，令，得，列表如下：极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，函数的最小值为，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式能成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值是一种常见的解法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．已知函数在是单调增函数，则的取值范围是（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】【分析】由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，即可得出实数的取值范围.【详解】，，由题意知，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，并借助参变量分离法求解，考查运算求解能力，属于基础题.15．函数，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出导数，然后代值计算可得出的值.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.二、解答题16．已知函数，定义在上的函数的导函数，其中．（1）求证：；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）证明见解析（2）增区间为，减区间为【解析】【分析】（1）转化为，利用导数分析的单调性，求解最小值即可；（2）分，讨论，的正负，得到函数的单调区间.【详解】（1）证明：的定义域为，①当时，，所以，②因为当时，，所以在上单调递增，所以当时，，综上，成立.（2）解：①若，则当时，，所以由，得，即；由，得，即，所以的增区间为，减区间为②若，则，由（1）知，即，所以由，得或，由，得，所以的增区间为，减区间为【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.17．已知函数.（1）若时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在时取得极值，当时，求使得恒成立的实数的取值范围；（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据函数在某点处导数的几何意义，可得切弦的斜率，利用点斜式可得结果.（2）根据，可得，然后利用导数判断函数在的单调性，并根据的最值与的关系，可得结果.（3）采用等价转化的思想，可得在恒成立，并使用分离参数，构建新函数，根据的最值与的大小关系，可得结果.【详解】（1）时，，，，，故切线方程是：，即；（2），，解得：，∴，，令，解得：或，令，解得：，∴在递增，在递减，∴的最小值是或，而，，∴；（3）若函数在区间上单调递减，则在恒成立，即在恒成立，令，，在恒成立，∴在递减，，∴.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构建新函数以及分离参数，达到化繁为简，学会构建新函数，使目标更加明确，属基础题.18．已知函数．（1）求在上的单调区间；（2）若函数在上只有一个零点，求的取值范围．【答案】（1）单减区间：，单增区间：（2）【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，然后对函数求导，令导数等于0，得到，通过导函数的正负，得到函数的单调性；（2）令，根据函数在上只有一个零点，得到，即得a的取值范围.【详解】（1）的定义域为，令令，故的单增区间为；令，或，故的单减区间为.（2）由，由（1）的单增区间为，单减区间为且结合图像，所以.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.19．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当时，对x分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.【详解】（1）当时，所以，令得，或.当变化时，的变化情况如下表：所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是.(2)当时，若，则，所以因为，所以若，则，所以令，所以有两个不相等的实根，且不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：因为函数图象是连续不断的，所以当时，即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．20．已知函数，曲线在处的切线与轴平行.（1）求实数的值；（2）设，求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求出导数，由可求出实数的值；（2）利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的极值以及端点的函数值，比较大小后可得出该函数的最值．【详解】（1），，由于曲线在处的切线与轴平行，则，解得；（2）由（1）可得，该函数的定义域为，，令，可得.当时，，，此时；当时，，，此时.所以，函数在上单调递增，在上单调递减.，，当时，.，，令，则，所以，函数在时单调递增，即，则，因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用切线斜率求参数以及函数的最值的求法，考查转化思想的应用，是难题．21．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调区间.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由即可得函数的解析式，进而求出函数的导数，据此计算可得与的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，变形即可得答案；（2）根据题意，求出函数的导数，对的值进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案．【详解】（1）若，，导函数为，则，.则所求切线方程为，即；（2）当时，，令，可得或.①当时，即当.令，可得或；令，可得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；②当时，即当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，即当时.令，可得或；令，可得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算切线的方程，注意函数的定义域以及对的范围进行讨论．22．已知函数，向量，，函数.（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）判断在区间内的零点个数.【答案】（Ⅰ）极小值为，没有极大值；（Ⅱ）在区间内有一个零点.【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，由此可求出函数的极值；（Ⅱ）求出函数的解析式，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合零点存在定理即可判断出函数在区间上的零点个数.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，，令，则，令，得，由，得，由，得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增.所以，于是，由得，由得，所以，函数在上递减，在上递增.所以，函数的极小值为，没有极大值；（Ⅱ）.，当时，，，所以，，所以，所以，函数在上单调递增又因为，，因此，函数在区间内有一个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数判断函数的零点个数，一般利用导数研究函数的单调性与极值，结合零存在定理求解，考查推理能力，属于中等题.23．设f（x）＝xex﹣ax2﹣2ax．（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．【解析】【分析】（Ⅰ）求f'（x）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;（Ⅱ）分a≤0，a＞0两种情况分析导数极值，得到f（ln2a）是极大值，由极大值小于0，求a的取值范围.【详解】（Ⅰ）f'（x）＝ex+xex﹣2ax﹣2a＝（x+1）（ex﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，所以由题意得：0，∴a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a≤0时，即a≤0时，ex﹣2a≥0，∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）有极小值，无极大值；当a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝ln2a，当ln2a＞﹣1时，即a，∴x∈（﹣∞，﹣1）和（ln2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣1＜x＜ln2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（﹣1）为极大值，且f（﹣1）a，由题意得：f（﹣1）＜0，∴；当ln2a＜﹣1时，即0＜a，∴x∈（﹣∞，ln2a）和（﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（ln2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（ln2a）是极大值，且f（ln2a）＝2aln2a﹣aln22a﹣2aln2a＝﹣aln22a＜0恒成立；当ln2a＝﹣1时，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）单调递增，无极值，舍去；综上所述：符合条件的a的取值范围：（0，）∪（，）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.24．已知函数，其中a为非零常数．讨论的极值点个数，并说明理由；若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，转化为证明只有一个零点，结合函数与导数知识可证；由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．【详解】解：解：由已知，的定义域为，，①当时，，从而，所以在内单调递减，无极值点；②当时，令，则由于在上单调递减，，，所以存在唯一的，使得，所以当时，，即；当时，，即，所以当时，在上有且仅有一个极值点.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；证明：由知．令，由得，所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，所以是的唯一极值点．令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以．从而当时，，且又因为，故在内有唯一的零点．由题意，即，从而，即．因为当时，，又，故，即，两边取对数，得，于是，整理得．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．25．已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【答案】（1）取得极大值0，无极小值（2）见证明【解析】【分析】（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值.（2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，，可证在上存在零点.当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.【详解】（1）当时，，定义域为，由得．当变化时，，的变化情况如下表：极大值故当时，取得极大值，无极小值．（2），．当时，因为，所以，在单调递减．因为，，所以有且仅有一个，使，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减．所以，而，所以在存在零点．当时，由（1）得，于是，所以．所以．于是．因为，所以所以在存在零点．综上，当，时，函数在上存在零点．【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，通过对导函数求导，得到导函数的单调性来判断其正负，得到原函数的增减，再由零点存在定理证明函数存在零点，题目涉及知识点较多，综合程度高，属于难题.26．对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减；②存在常数p，使其值域为，则称函数为的“渐近函数”；（1）证明：函数是函数的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数，证明：当时，不是的渐近函数.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）通过令，利用“渐近函数”的定义逐条验证即可；（2）通过记，结合“渐近函数”的定义可知，问题转化为求时，的最大值问题，进而计算可得的范围，从而证明结论.【详解】（1）根据题意，令，则，所以，所以在区间上单调递减，且，所以，于是函数是函数，的渐近函数，此时实数.（2）即，，假设函数，的渐近函数是，则当时，，即，令函数，，则，当时，，当时，，在区间上单调递增，且所以，所以，所以当时，不是的渐近函数.【点睛】本题考查新定义函数的理解与应用，利用导数求函数的单调性，属于中档题.27．设函数.（1）求的单调区间；（2）设函数，若当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）【解析】【分析】（1）求出定义域、，分，两种情况进行讨论，通过解不等式，可得单调区间；（2）令，则，则问题转化为当时，恒成立，进而转化求函数的最大值问题．求导数，根据极值点与区间的关系进行讨论可求得函数的最大值；【详解】（1）解：因为，其中.所以，当时，，所以在上是增函数.当时，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数.（2）令，则，根据题意，当时，恒成立.所以，①当时，时，恒成立.所以在上是增函数，且时，，所以当时，不会恒成立，故不符题意.②当时，时，恒成立.所以在上是增函数，且，时，，所以当时，不会恒成立，故不符题意.③当时，时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．28．已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线平行.（1）求实数，的值；（2）若对任意的，函数在区间上总不是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由的图象经过可得，求得的导数，可得切线的斜率，由条件可得的方程，解得，即可得到；（2）求出函数的导数，结合函数零点存在定理，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，所以，即.因为函数在点处的切线与直线平行，所以，所以，所以，解得，从而.（2）由（1）知，，因为，所以，所以，令，则，此时.所以有两个不等的实根，，因为，所以方程有一正一负的两个实根.又，，又在上总不单调，所以在上只有一个正实根，所以，所以，所以，因为，所以.令，易知在上单调递减，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的运用、求切线的斜率和单调性、函数零点存在定理、分离参数法，考查化简整理的运算求解能力、推理能力，属于中档题．29．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：函数在单调递减，若命题与命题都为假命题，求：实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】由已知可得命题、的真假，再根据两个简单命题的真假得的取值范围.【详解】若真，则，解得：；若真，则在恒成立，∴；若命题与命题都为假命题，可知真，假；∴实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、复合命题的真假判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意、非，的真假判断.30．已知函数,．(1)求函数的极值；(2)对,不等式都成立,求整数k的最大值；【答案】(1)极小值为无极大值；(2)3.【解析】【分析】求出函数的单调区间,然后求解函数的极值，问题转化为在上恒成立,令,,再求导,分类讨论,利用导数求出函数的最值,即可求出k的值．【详解】解：,，，当时,，函数单调递减,当时,，函数单调递增,当时,取得极小值,极小值为无极大值．，,不等式都成立,在上恒成立,即在上恒成立,令,,,当时,即时,在上恒成立,在上单调递增,,,此时整数k的最大值为2,当时,令,解得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,,由,令,在上恒成立,在上单调递减,又，,存在使得,故此时整数k的最大值为3,综上所述整数k的最大值3．【点睛】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力．31．已知函数．（1）若函数在点处的切线平行于直线，求切点的坐标及此切线方程；（2）求证：当时，；（其中）（3）确定非负实数的取值范围，使得，成立．【答案】（1）点，切线方程为；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据函数在某点导数的几何意义，可得切线的斜率以及点，然后可得结果.（2）构建新的函数，通过导数判断新函数的单调性，并计算新函数的最值，可得结果.（3）构建函数，采用分类讨论与，并利用导数判断函数的单调性，可得结果.【详解】（1）由，则由题可知：所以切线方程为，点（2）当时，则在恒成立即在恒成立令所以令或（舍）当时，当时，所以可知在递增，在递减且，所以在中，故可知所以当时，（3）由，成立则在恒成立令则当时，，则在单调递增，所以所以，成立当时，令，则或（舍）若时，当时，所以在递减，在递增，又，所以，所以，不成立综上所述：【点睛】本题主要考查利用导数比较函数式子大小，同时考查了函数在某点处导数的几何意义，本题难点在于对参数的讨论以及构建函数，重点把握对函数单调性的判断，属中档题.32．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于都有成立，试求的取值范围.【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，求出导数，分别解不等式和可分别得出函数的单调增区间和减区间；（2）由题意可得出，利用导数求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】（1）当时，，定义域为，.解不等式，得；解不等式，得.所以，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2），，.令，得；令，得.所以，函数在处取得最小值，即，由，得，即，则，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、填空题33．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．【详解】,函数在单调递增，单调递减.它的图像及关于直线对称的图像如图所示：分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.令，又P在y轴右侧，；根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得因此PQ中点坐标为：故答案为：【点睛】本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题．34．已知函数，若是函数的极小值点，则实数的值为________.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，综合即可得出实数的值.【详解】，定义域为，且，由题意得，解得，此时，.令，得或，列表如下：极大值极小值所以，函数在处取得极小值.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，对于可导函数而言，导函数在极值点处的函数值为零，同