福建省泉州市杨梅中学高三数学理模拟试题含解析

福建省泉州市杨梅中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学校在一次数学基础测试统计中,所有学生成绩服从正态分布（单位：分），现任选一名学生,该生成绩在分~104分内的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D2.如图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：先判断几何体的底面圆的半径与高，再利用圆锥的体积公式计算即可．解答：解：几何体的轴截面如图：几何体是底面半径为，高为的两个圆锥的组合体，∴V=×π××=．故选A．点评：本题考查由三视图求几何体的体积．关键是利用三视图求底面圆的半径与圆锥的高．3.（5分）（2015?嘉兴二模）函数的图象可由函数y=cos2x的图象（）A．向左平移而得到B．向右平移而得到C．向左平移而得到D．向右平移而得到参考答案：B【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：先根据诱导公式进行化函数为函数y=cos，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos2x的平移方向与单位．解：函数y=sin（2x﹣）=cos=cos（2x﹣）=cos，所以要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象向右边平移个单位即可．故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．利用诱导公式化简函数为同名函数，ω相同是今天的关键．4.不等式组所表示的平面区域的面积为A.1 B. C. D.参考答案：5.在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．B． C． D．参考答案：D【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．6.已知实数,，则“”是“”的（

）A.充要条件 B.必要不充分条件C充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】且，，等号成立的条件是，又，，等号成立的条件是,，反过来，当时，此时，但，不成立，“”是“”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.7.设复数z满足，其中i为虚数单位,z=(A)1+i

(B)1-i

(C)2+2i

(D)2-2i参考答案：B8.定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，则（

）A．（A）

B．（B）

C．

D．参考答案：C略9.已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 B．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0C．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 D．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0参考答案：C【考点】全称命题．【专题】导数的综合应用；简易逻辑．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题10.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a，b为不重合的两条直线，α，β，γ为不重合的三个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；③若a∥α且α∥β，则a∥β；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.上述命题中，所有真命题的序号是________．参考答案：②④12.

函数的单调增区间是__________参考答案：13.在中，的内心，若，则动点的轨迹所覆盖的面积为

.参考答案：14.设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是

.参考答案：15.一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为

．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，先求出基本基本事件总数，再用列举法求出三个数的平均数是3包含的基本事件个数，由此能求出取出的3张标签的标号的平均数是3的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，用列举法可知，共有10种情况，而其中三个数的平均数是3的只有1，3，5和2，3，4两种情况，∴取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为．故答案为：．16.若复数z满足（为虚数单位），则______.参考答案：2由题意可得：，则：.17.定义在R上的函数满足，则=__

__．参考答案：6略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，四边形为菱形，为平行四边形，且平面平面，设与相交于点，为的中点．证明：；若，，，求三棱锥的体积．参考答案：（1）(2)

考点：面与平面垂直的性质定理，等体积法19.2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=20.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求的最大值。参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）将极坐标方程化为，然后再结合转化公式求解即可．（Ⅱ）由于点同在直线上，故可根据两点的极径差的绝对值来求出，然后再求出其最大值．【详解】（Ⅰ）极坐标方程可化为所以，将代入上式可得，所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）不妨设，点的极坐标分别为，由，得到．由，得到．所以，因为，所以，所以当时，取得最大值．【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键．对于极坐标系内的长度问题，根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性．21.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），点P的坐标为．（1）试判断曲线C的形状为何种圆锥曲线；（2）已知直线l过点P且与曲线C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由消去α，得曲线C的方程．．（2）设直线l的方程为代入，得13t2+6t﹣7=0，从而．【解答】解：（1）由消去α，得，则曲线C为椭圆．（2）由直线l的倾斜角为45°，可设直线l的方程为（其中t为参数），代入，得13t2+6t﹣7=0，所以，从而．22.如图，已知椭圆M：=1（a＞b＞0），其离心率为，两条准线之间的距离为．B，C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到；（2）分别求出直线PB，TC的方程，代入椭圆方程，求得交点E，F的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．解答：解：（1）由题意得e==，=，解得a=2，c=，b=