河北省唐山市第二十七中学高三数学理模拟试题含解析

河北省唐山市第二十七中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，] C．[，+∞） D．（0，+∞）参考答案：D【考点】三角函数的最值．【分析】设t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f（x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1﹣sin2x），∴f（x）变为：y=t3﹣at2+a，则y′=3t2﹣2at=t（3t﹣2a），由y′=0得，t=0或t=，∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，∴函数y=t3﹣at2+a在（0，1]上递减或先减后增，即＞0，得a＞0，∴实数a的取值范围是（0，+∞），故选：D．【点评】本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换元法的应用，考查化简、变形能力．2.已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题参考答案：【知识点】四种命题及关系

A2【答案解析】D

解析：恒成立得：恒成立，.原命题成立，其逆否命题也成立，所以选D.【思路点拨】导数法判断原命题成立，再根据原命题与逆否命题的等价判断结论.3.设是的展开式中项的系数（），若，则的最大值是（

）A． B． C． D．参考答案：4.函数在区间上的图象大致为（

）参考答案：D5.设a=ln3，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=ln3＞lne=1，0＜＜=1，＜ln1=0，∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．6.如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A7.已知函数，对任意的x1∈[2，+∞）总存在x2∈（﹣∞，2]，使得f（x1）=f（x2），则实数m的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，4] C．[3，4） D．（0，4）参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】分类讨论，利用x≥2时函数的值域是x＜2的子集，即可得出结论．【解答】解：由题意，m≤0，x≥2，f（x）＜0，x＜2，f（x）＜22﹣m，满足题意，m＞0，x＜2，f（x）＜22﹣m，x≥2，f（x）=≤，∵对任意的x1∈[2，+∞）总存在x2∈（﹣∞，2]，使得f（x1）=f（x2），∴22﹣m≥，∴m≤4，∴0＜m≤4，综上所述，m≤4．故选B．8.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

(A)3

（B)4

(C)5

(D)6参考答案：B9.若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知某随机变量Y近似服从正态分布N（2，σ2），若P（Y＞3）=0.1587，则P（Y＜0）=（）A．0.0013 B．0.0228 C．0.1587 D．0.5参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据3σ原则，即可得出结论．【解答】解：∵P（Y＞3）=0.1587，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，∴P（Y＜0）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选B．10.已知集合M=，集合

(e为自然对数的底数），则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，2），则b﹣a=．参考答案：5【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=x3+ax+b过点（1，2）得出a、b的关系式，再根据切线过点（1，2）求出k，然后求出x=1处的导数并求出a，从而得到b，即可得到b﹣a的值．【解答】解：∵y=x3+ax+b过点（1，2），∴a+b=1，∵直线y=kx+1过点（1，2），∴k+1=2，即k=1，又∵y′=3x2+a，∴k=y′|x=1=3+a=1，即a=﹣2，∴b=1﹣a=3，∴b﹣a=3+2=5．故答案为：5．12.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.参考答案：略13.若函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，则方程组的解的组数为

．参考答案：1【考点】二次函数的性质．【分析】利用函数的单调性求出λ，然后求解方程组的解即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，可得λ=﹣=﹣5，则方程组，化为：，解得：，方程组只有一组解．故答案为：1．14.曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为

．参考答案：2【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．15.（不等式）若、为正整数，且满足，则的最小值为_________；参考答案：36，当且仅当时等号成立。16.已知函数，若在上是增函数，则的最大值

．参考答案：17.已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f(2m)＝0；②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；

③存在n∈Z，使得f(2n＋1)＝9；④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)?(2k,2k＋1)”．其中所有正确结论的序号是________．参考答案：①②④f(2m)＝2f(2m－1)＝22f(2m－2)＝…＝2m－1f(2)＝0，故①对；∵f(2x)＝2f(x)，∴f(x)＝f(2x)，

则f＝f＝f＝f＝…＝f(x)(k∈Z)，∴f(x)＝2k

f.

当x∈(2k,2k＋1]时，∈(1,2]，

∴f＝2－，即f(x)＝2k＝2k＋1－x∈[0，＋∞)，故②对．

假设存在n∈Z满足f(2n＋1)＝9，由2n<2n＋1≤2n＋1，f(2n＋1)＝2n＋1－(2n＋1)＝9，即2n＝10，又n∈Z，故不存在，③错；

∵x∈(2k,2k＋1]时，f(x)＝2k＋1－x，单调递减，

故当(a，b)?(2k,2k＋1)时，f(x)在(a，b)上单调递减，故④对．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC?sin2+cos2C=0．（Ⅰ）若函数f（x）=sin（C﹣2x），求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若3ab=﹣25﹣c2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用已知等式，通过二倍角的余弦函数化简，求出C的余弦值，得到C的大小，化简函数f（x）=sin（C﹣2x），利用正弦函数的单调性，求f（x）的单调增区间；（2）利用3ab=25﹣c2，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，25﹣3ab=a2+b2﹣ab，求出（a+b）2=5，利用基本不等式求解面积的最大值．【解答】解：（1）由条件：4cosC?+2cos2C﹣1=0，∴cosC=故C=，则f（x）=sin（﹣2x），∴+2kπ≤2x﹣≤π+2kπ∴+kπ≤x≤π+kπ，k∈Z∴f（x）的单调增区间为[+kπ，π+kπ]k∈Z（2）由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴25﹣3ab=a2+b2﹣ab，∴（a+b）2=25，∴a+b=5，∴S△ABC=absinC=ab≤=，当且仅当a=b=取得最大值．【点评】本题考查二倍角的余弦函数，余弦定理，正弦函数的单调性，三角形的面积以及基本不等式的应用，考查计算能力．19.（本小题满分16分）已知数列的各项都是正数，且对任意，（为常数）。（1）

若，求证：成等差数列；（2）

若，且成等差数列，求的值；（3）

已知（为常数），是否存在常数，使得对任意都成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）时，当n=1时，得，

又因为，得

故成等差数列（2）

（3）存在，20.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.参考答案：（I）上递减.……………3分（II）则上单调递增，又存在唯一实根a，且满足当∴故正整数k的最大值是3.……………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知∴令，则∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3……………12分21.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数，（1）若函数在处有极值求的解析式；（2） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

参考答案：解：∵，∴由有，即切点坐标为，∴切线方程为，或……2分整理得或∴，解得，∴，∴（1）∵，在处有极值，∴，即，解得，∴……8分（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴∴的取值范围是略22.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=+（∈N*），试求（b1+b2+…+bn﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列的极限；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过4an+1=4Sn+1﹣4Sn得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，进而可得结论；（2）通过分离bn的分母可得bn=2+2（﹣），累加后取极限即可；（3）假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300，通过（1）可得300=（2m+k﹣1）（k+1），利用2m+k﹣1＞k+1≥4，且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同，即得结论．【解答】解：（1）∵4Sn=（an+1）2，∴4Sn+1=（an+1+1）2，两式相减，得4an+1=4Sn+1﹣4Sn=（an+1）2﹣（an+1+1）2=﹣+2an+1﹣2an，化简得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，又∵数列{an}各项均为正数，∴an+1﹣an=2（n∈N*），∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an=2n﹣1（n∈N*）．（2）因为bn=+=+=2+2（﹣），故b1+b2+…+bn=2n+2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n+2（1﹣），于是（b1+b2+…+bn﹣2n）=[2（1