河南省洛阳市第四十九中学高一数学理期末试卷含解析

河南省洛阳市第四十九中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3

B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4

D．log40.3＜30.4＜0.43参考答案：C2.已知集合M={x∈Z|﹣1≤x≤3}，N={1，2}，则?MN等于（）A．{1，2} B．{﹣1，0，3} C．{0，3} D．{﹣1，0，1}参考答案：B【考点】补集及其运算．【分析】根据题意先用列举法表示出M，再由补集的运算求出CMN．【解答】解：由题意知，M={x∈Z|﹣1≤x≤3}={﹣1，0，1，2，3}，由于N={1，2}，则CMN={﹣1，0，3}，故选B．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B4.（5分）已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（1）?g（2）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（） A． B． C． D． 参考答案：C考点： 函数的图象．专题： 函数的性质及应用．分析： 由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f（1）?g（2）＜0，即可选出答案．解答： 由指数函数和对数函数的单调性知，函数f（x）=ax和g（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，故可排除选项A、D．而指数函数f（x）=ax的图象过定点（0，1），对数函数g（x）=logax的图象过定点（1，0），再由关系式f（1）?g（2）＜0，故可排除选项B．故选C．点评： 本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力，属于基础题．5.已知a>0且a≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（

）

A

B

C

D参考答案：C略6.已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，可得a的值，即得到f（x）的解析式．（Ⅱ）函数f（x）≥0，结合三角函数的图象和性质，求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α．化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+cos2x++a=cos2x+sin2x+2+a=2sin（2x+）+2+a．（Ⅰ）∵sin（2x+）的最大值为1，最小值为﹣1．∴4+2a=﹣2，则a=﹣3．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）﹣1．（Ⅱ）函数f（x）≥0，即2sin（2x+）﹣1≥0．得：sin（2x+）．∴≤2x+≤．k∈Z．解得：kπ≤x≤，故得使得函数f（x）≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤，k∈Z}．7.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥

而不对立的两个事件是(

)A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”参考答案：D8.在△ABC中，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，若，则λ+u=（）A．B．C．D．1参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由于本题是选择题，不妨设△ABC为等边三角形，由题意可得F是△ABC的重心，即可得到==﹣+，继而求出λ，μ的值，问题得以解决．【解答】解：不妨设△ABC为等边三角形，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，∴F是△ABC的重心，∴==（+）=（+﹣）=﹣+，∵，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=，故选：B．9.设f(x)为定义于R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则的大小顺序是（

）

参考答案：A10.若是第一象限角，则，，中一定为正值的有（

）A．3个

B．2个

C．1个

D．0个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为，则不等式的解集为

▲

.参考答案：12.已知边长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为

.参考答案：略13.函数y＝的定义域为________．参考答案：14.如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。参考答案：略15.已知函数f(x)=tan(2x?)，则f()=___________________，函数f(x)的最小正周期是_______________________参考答案：16.（5分）对于实数a和b，定义运算“?”：a?b=，设f（x）=（3x﹣1）?（x﹣1）．且关于x的方程f（x）=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是

．参考答案：（，1）考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： 由题意首先化简函数f（x）=；从而作函数的图象辅助求解．解答： 由题意，当x≤0时，3x﹣1≤x﹣1；则f（x）=（3x﹣1）?（x﹣1）=（3x﹣1）（3x﹣1﹣x+1）=2x（3x﹣1）；当x＞0时，3x﹣1＞x﹣1；则f（x）=（3x﹣1）?（x﹣1）=（x﹣1）（﹣3x+1+x﹣1）=﹣2x（x﹣1）；则f（x）=；作函数f（x）=的图象如下，不妨设x1＜x2＜x3，易知x2+x3=1；而由0＜2x1（3x1﹣1）＜及x1＜0解得，﹣＜x1＜0；故＜x1+x2+x3＜1；故答案为：（，1）．点评： 本题考查了学生对新定义的接受能力及函数的化简，属于基础题．17.若loga＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．参考答案：（0，）∪（1，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．【解答】解：∵loga＜1=logaa，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故答案为：（0，）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知平面向量（1）

证明：；（2）

若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式。参考答案：（1）证明：

（2）解：

略19.已知，其中，如果A∩B=B，求实数的取值范围。参考答案：略20.在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期．现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据：，）参考答案：解：依题意，可令，，，代入式子得：解得又若代入式子得则∴答：降温到95F约需要25.9分钟.21.（本题满分12分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.（1）求直线被圆所截得的弦的长；（2）过点(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为,,求直线的方程；（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，且为钝角，求直线纵截距的取值范围．参考答案：（1）由题意得，圆心（0,0）到直线:的距离为圆的半径，r=2,所以圆C的标准方程（1）……1分所以圆心到直线的距离d=1……2分所以……3分22.如图椭圆的上顶点为A，左顶点为B,F为右焦点,过F作平行于AB的直线