地球物理反演理论1章省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

地球物理反演理论中国石油大学地球资源与信息学院

宋建国1/40课程内容第一章地球物理反演基本概念

第二章数学知识基础

第三章线性问题最小平方反演－广义矩阵法

第四章约束线性最小平方反演第五章线性反演误差分析

2/40第一章

地球物理反演基本概念主要内容

一、介绍二、基本概念三、离散化和线性化四、小结3/40第一节介绍地球物理学家一个主要目标就是确定地下结构和岩性物理性质只要能得到这种信息，哪怕是不完善，也将大大加强选择油气钻井和矿藏位置正确性。因为不能直接研究地球全部部分，地球物理学家必须使用遥感技术来获取地下结构信息。这种观察往往在地表进行，遥感试验示意图以下列图所表示：

一个输入信号被传输到地下，并按照物理方程确定模式在地下传输。在地面统计改变后信号（输出信号）。

图1-1遥感试验示意图

4/40输出信号可看成是输入信号滤波结果，而滤波器特征不但决定于物理方程，而且也取决于信号所穿透地层结构和物理性质。输出由一系列（观察）数据组成，这些数据以及物理方程和观察系统可用于提供地层信息。用于提取地层信息数学公式被称为反演理论。第一节介绍5/40第一节介绍

比如：地震波折射勘探中，沿水平面观察回折波，速度仅随深度Z改变，以下列图所表示：

图1-2:a回折波路径b回折波时距曲线

在该试验中输入为爆炸产生地震子波，而输出或观察数据为在一系列距震源不一样距离X（炮检距）处统计下首波抵达时间。若输入信号、试验几何特征（比如层状介质）和地震波能量传输物理规律已知，反演理论就可用于由观察时距曲线t(x)提取v(z)。

6/40反演理论一些说明

第一节介绍

对一个反演问题存在各种公式化方法，不一样人采取不一样方法。大部分文件中对于地球物理反演问题，将地球参数化为几个参数，从而观察数据多于待定参数。最小平方法可用于寻求待定参数，取得观察数据与参数模型对应最正确匹配。对于部分反演问题，这是一个有效方法，但这只是反演问题一个解法。本门课程讨论求解反演问题更普通做法。7/401、反演问题非唯一性（Nonuniqueness）2、观察数据误差影响（Consequencesoferrors）

反演理论一些说明这里反演理论主要是基于Backus和Gilbert论文，将集中讨论地球数据反演问题中碰到两个问题：8/40

在本课程中还将看到观察数据中含有模型信息可能有各种表示方式。采取哪一个方式最有效取决于反演问题性质。在后边讨论中将对同一数据采取不一样反演方法，并取得模型不一样信息。这里将主要围绕地球物理、尤其是反射地震学问题。实际上求解反演问题方法和方式是十分通用，可在全部科学研究领域得到应用。实际上可将包括观察数据整理问题都看成反演问题（广义反演）。在反射波地震勘探中反演往往指波阻抗反演，笔者认为这是地震勘探中对反演独特定义（侠义反演）。本章将介绍反演问题性质及取得可行解困难，其它章节将包括各种方法及例子。9/40第二节基本概念

在地球物理学和相关学科中，通常在控制条件（即系统方式）下进行试验，得到可能是观察结果数据。这些代表客观物理世界一些特征观察值，称为试验数据或观察数据。为了对这些数据进行解释和整理，首先必须研究物理系统特征分布与观察数据（地球物理响应）之间关系。描述这种关系方程系组成了正演理论。正演理论：描述物理系统特征分布与观察数据（地球物理响应）之间关系方程系组成正演理论。正演问题：在给定输入信号、地球模型、观察系统和物理关系前提下计算（预测）试验输出数据（观察数据）。简单地说，就是将模型空间一个元素映射到数据空间一点。10/40图中模型空间包含全部可能模型。对于前面介绍地震折射问题，模型为速度函数V(z)，模型空间元素为全部可能垂向速度分布函数。数据空间元素为旅行时函数t(x)或离散旅行时。函数F是观察数据e与模型m关系，F则包含了物理试验观察系统和物理性质。正演问题可用下式表示：F(m)=e也就是说，已知模型m和映射关系F，计算观察数据e。第二节基本概念11/40

在地球物理学中，对一个假设地质模型，给定一些参数（比如速度、层数、厚度），用理论关系式（数学模型）推导出某种可观察量量（地震波）。所取得数据称为理论数据、合成数据或预测数据。

在地震勘探中经典正演过程是合成统计制作。当前许多软件提供合成地震统计制作模块，但方法不尽相同。第二节基本概念图正、反演问题图

正演过程12/40第二节基本概念线性映射：设m1和m2为模型空间两个元素，α和β为任意常数。那么当且仅当下式成立时映射（或F）为线性：即，若模型数值翻倍，观察数据也翻倍。两个模型线性和观察数据等于各模型观察数据线性和，我们所讨论线性映射也能够写成下式：（1.1）式中e(t)为观察数据，m(u)为模型，G(t,u)为核函数。可知反演问题物理性质包含与核函数中，而观察系统与核函数和积分限都相关。公式（1.1）称为第一类Fredholm方程。诸如公式（1.1）之类线性方程经常在地球物理问题中出现。下面是一个例子：13/40反演理论：就是从一个物理系统上观察值来恢复此系统有用信息一套数学和统计技术（微积分、微分方程、矩阵代数、统计估算和推断等）。因而关系到：试验数据分析、数学模型、试验数据拟合（模型未知参数估算）及最正确试验设计等。

第二节基本概念14/40图1-4反应射用公式表示为：F-1[e]=m反演问题：给定数据空间一点，求产生该数据模型空间元素。也就是说反演映射是正演映射逆过程。如图1-4所表示:图反演过程

第二节基本概念15/40例子：考虑地球内部温度分布，假定地球内部温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz；正演：假如给定a和b求不一样深度z对应温度T(z)反演：已经在不一样点z测得T(z)，求a和b，即拟合一条直线。前面例子反问题为：1、已知Laplace变换X(s),求x(t)2、已知磁场,求电流3、给定均方根速度V2(t),求层速度v2(t)第二节基本概念16/40

本课程将涵盖线性反演问题全部内容。即给定诸如公式1.1那样正问题，并已知部分e,我们将试图产生反演映射来寻找模型m，或者用观察数据提取关于模型m信息。

非常主要是必须意识到除非试验物理性质和观察系统已知，不然反演问题无法求解。等价地说，除非正演问题能够求解，不然不可能形成反演问题。这一点看似简单，却往往被忽略。反演不是魔术，它不能确定问题物理性质。反演理论只是提供了由观察数据定量求取地球介质未知参数方法而已。第二节基本概念17/40比如：神经网络用于反演，一样必须先处理正演问题。神经网络总能在观察数据和模型参数之间建立某种非线性关系（许多研究人员对此非常热衷），但此种非线性关系并不一定是等价于实际物理规律（比如警察与罪犯）。另外比如当前地震勘探中有些人在做基于光纤模型检波器。这种检波器在理论上能够统计下甚高频地震信号。然而在实际应用中却发觉统计数据没法分析。甚至分辨不出哪是有效信号哪是干扰信号。究其原因是未能考虑常规地震勘探信号频带，使得统计下来信号几乎全是噪音。此时不论采取何种高深反演理论都不可能从观察数据取得任何关于地球介质模型有效信息。第二节基本概念18/40关于反演问题解，要注意以下几个问题：1、存在性（Existence）：是否存在符合观察数据e模型m?2、可解性（Construction）：若存在解，怎样结构？3、唯一性（Uniqueness）：是否不止一个模型符合观察数据？4、评定(Appraisal)：若多个模型符合观察数据，即多解性，模型什么信息是唯一确定？上面问题答案取决于观察数据。观察数据类型有：1、完美数据（e(t)准确可知）2、有限个准确数据3、有限个不准确数据。第二节基本概念19/40讨论：完美数据仅存在于数学王国。对于一些反演问题，存在解析解（准确解），但需要完美数据。比如公式（1.2）。经过公式求导得反演公式：第二节基本概念（1.3）若全部时刻v(t)已知，则

直接求得层速度。而且解是唯一。公式（1.3）离散形式就是我们常说Dix公式。

已知，能够20/40公式（1.3）给出了RMS速度解析解，有些人可能会说反演问题已经得到了处理。普通来说在实际计算中V(t)不是准确已知，那么公式（1.3）结果是否依然是层速度呢？第二节基本概念当数据有限，且不准确时，必须对地球物理问题进行评定。在此假设我们有准确数据，且已知任意时刻V(t)及其导数，我们可用公式（1.3）求取层速度。采取如图1-5所表示方法对数据进行插值。

图1-5均方根速度反演

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该方法存在困难是存在各种速度插值方法，每个插值函数v(t)产生一个不一样层速度。图1-5中示范了两个例子，哪一个层速度是正确？当速度不准确时，非唯一性更差。比如图1-6所表示含有误差数据。在误差范围内存在多个符合观察数据函数v(t)，每个函数产生不一样层速度。

第二节基本概念

图1-6RMS速度及其误差（任何在该范围内曲线都是可接收）

22/40该例子说明反演问题非唯一确定性起源于两个方面：1、有限数据量，2、观察不准确性。既然全部地球物理数据都含有这些性质，可知全部地球物理反演问题都存在无限多解。当我们试图取得特定解时，实际上是寻找最可能类似地球介质模型。第二节基本概念23/40湮没空间（annihilator）：(试验本身带来多解性)有一些模型函数，其正演问题解为零输出。这么函数被称为零化子。当且仅当下式成立时，m*为零化子：F[m*]=0(1.4)非零m*存在使得反演问题解是不唯一。考虑两个模型m*和m*+m,其中m*满足公式（1.4），而m产生观察数据，即F[m]=e,且问题为线性问题，则有：F[m*+m]=F[m*]+F[m]=0+e=e可知模型m和m+m*都产生一样观察数据。

第二节基本概念24/40图1-7层状介质模型（各层内速度和密度为常数，为第j层介质下边界反射系数。）

第二节基本概念

零化子并不神秘，它们在实践中经常出现。比如反射地震勘探中，考虑图1-7所表示水平层状介质，各层为均匀各向同性介质。地层间波阻抗差将引发入射能量在界面上反射。用表示第j层下边界反射系数，反射系数函数方程为：

式中为地表到j层下界面双程旅行时。若入射（平面）地震脉冲w(t)垂直向下传输，则地震统计x(t)可由褶积模型得到，即：

25/40给定子波w(t)就能够得到地震统计：第二节基本概念

图1-8褶积模型但w(t)为带限函数，因为震源中没有显著低频能量，而高频成份在地震波传输中快速衰减。所以经典地震子波振幅谱象图1-9中所表示那样局限于频带。

26/40第二节基本概念图1-9子波W(t)振幅谱

给定地震统计x(t)和地震子波w(t)，反演问题为恢复反射系数函数r(t)。27/40第二节基本概念用rc(t)表示图1.10中重建模型。不过我们能够在中加入任何能量位于之外函数，比如用表示，令则和都能满足观察数据，其效果如图1-11所表示。图1-11不一样反射函数与子波褶积产生相同地震统计

28/40不准确数据深层影响：地球物理数据从来都不是准确。这不但增加反演问题非唯一性，而且引发模型重建数字运算困难。下面对此进行说明。理想情况下，正演问题产生观察数据：F[m]=e若有附加噪音，则观察数据为：反演算子作用与不准确数据。令mc表示反演求得模型，即：

在地球物理问题中普通假设附加噪音含有统计特征。

第二节基本概念29/40第二节基本概念若已知噪音统计规律，并可得到一个观察数据样本集，则唯一可说是真正观察数据e存在于某个区域内。如图1.12所表示：不过阴影区（边界其实是含糊）内每个点都可能是真实数据e。而且这个集合内每个点都能映射到模型空间一个点。模型空间阴影表示全部能够接收模型。因而需要考虑问题变成：假如附加噪声较小，若，是否意味着？30/40普通说来该问题回答是否定。令，，则大部分问题是：即使||很小，||也可能很大。也就是说反演问题本性是不稳定。数学家则说反演问题是病态（ill-posed或ill-conditioned）。产生病态原因为地球物理试验本身特征，核函数（公式1.1）普通比较宽，因而“平滑”了模型。观察数据在某种意义上能够说是模型平滑。作为特殊例子，考虑层速度与叠加速度关系：第二节基本概念（1.4）

31/40式中tm是感兴趣最大时间（或者说地震统计最大时间），H为Heaviside阶跃函数，tj时刻核函数为从原点到时刻tj

方波，所以V(tj)为该时间段上层速度平方加权平均值平方根。下面给出一个实际层速度和对应叠加速度例子，显然V(t)比v(t)平滑很多。

第二节基本概念图1.13层速度与均方根速度（ａ为层速度

ｂ为均方根速度）

32/40第二节基本概念若正演映射是“平滑”，则反演映射必定是“粗化”。观察数据微小起伏必定被放大以恢复模型。自然观察数据中小误差能在反演模型中产生大特征。任何用Dix公式对不准确数据反演RMS速度人员都必须面对这个事实。另外一个考查细小误差在恢复模型中产生巨大起伏方法是利用公式（1.3）解析解。因为要采取V(t)导数，所以即使V(t)误差比较小，也会产生较大差值。更甚是，在反演映射中被用t相乘，所以伴随t变大，稳定性也将变差。这也正是使用DIX公式人员所熟知现象。

33/40第二节基本概念许多地球物理问题不稳定性远比RMS反演中严重。在RMS反演中，核函数对全部时间来说振幅值是常数。在大多数地球物理问题中核函数随深度（或时间）衰减，也就是说随深度增加，对地层观察能力越差。这种核函数衰减所引发反演问题不稳定性大于上面所举例子。34/40第三节离散化和线性化地球物理模型普通用连续函数来描述，比如：地球质量与惯性动量和密度关系：质量=惯性动量=R:地球半径；径向距离r处密度。上面两式可用通式表示为:上式为积分，很轻易用数字计算机计算。这包括离散数学。令为m.，令，得到非常有用公式：

此时我们称理论问题被离散化。

35/40第三节离散化和线性化因为技术上原因，现场或试验室观察都是在有限区间上进行统计（比如离散频率、固定带宽等），用以代替[0，∞]区间上全部观察值。同时为了方便计算，