高考数学复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第二课时范围最值问题市赛课公开课一等奖省名师优

§9.9圆锥曲线综合问题第2课时范围、最值问题1/71课时作业题型分类深度剖析内容索引2/71题型分类深度剖析3/71例1(·天津)已知椭圆＝1(a＞b＞0)左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得线段长为c，|FM|＝.题型一范围问题解答(1)求直线FM斜率；几何画板展示4/71又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM方程为y＝k(x＋c).5/71(2)求椭圆方程；解答几何画板展示6/71(3)设动点P在椭圆上，若直线FP斜率大于，求直线OP(O为原点)斜率取值范围.解答几何画板展示7/71设点P坐标为(x，y)，直线FP斜率为t，8/71②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.9/7110/71思维升华处理圆锥曲线中取值范围问题应考虑五个方面(1)利用圆锥曲线几何性质或判别式结构不等关系，从而确定参数取值范围；(2)利用已知参数范围，求新参数范围，解这类问题关键是建立两个参数之间等量关系；(3)利用隐含不等关系建立不等式，从而求出参数取值范围；(4)利用已知不等关系结构不等式，从而求出参数取值范围；(5)利用求函数值域方法将待求量表示为其它变量函数，求其值域，从而确定参数取值范围.11/71跟踪训练1(·黄冈模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆右顶点.(1)求椭圆C标准方程；解答又∵直线x－y－2＝0经过椭圆右顶点，12/71(2)设不过原点O直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON斜率依次成等比数列，求△OMN面积取值范围.解答13/71由题意可设直线方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.14/71又直线OM，MN，ON斜率依次成等比数列，又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，得0<m2<2，显然m2≠1(不然x1x2＝0，x1，x2中最少有一个为0，直线OM，ON中最少有一个斜率不存在，与已知矛盾).15/71设原点O到直线距离为d，故由m取值范围可得△OMN面积取值范围为(0,1).16/71

题型二最值问题例2(·锦州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|最小值是命题点1利用三角函数有界性求最值答案解析几何画板展示17/71例3(·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0距离大于c恒成立，则实数c最大值为____.命题点2数形结合利用几何性质求最值答案解析几何画板展示18/7119/71例4(·山东)如图，已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)长轴长为4，焦距为2.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值解答(1)求椭圆C方程；设椭圆半焦距为c.20/71证实21/71设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m).22/71解答②求直线AB斜率最小值.23/71设A(x1，y1)，B(x2，y2).直线PA方程为y＝kx＋m.直线QB方程为y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，24/7125/71由m＞0，x0＞0，可知k＞0，26/7127/71思维升华处理圆锥曲线最值问题求解方法圆锥曲线中最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即经过利用曲线定义、几何性质以及平面几何中定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值几何量或代数表示式表示为某个(些)参数函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.28/71跟踪训练2(·开封月考)已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M轨迹为C.(1)求轨迹C方程；解答依题意，由圆过定点F可知轨迹C方程为x2＝4y.几何画板展示29/71(2)设P为直线l：x－y－2＝0上点，过点P作曲线C两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上定点时，求直线AB方程；解答几何画板展示30/71同理可得切线PB方程为x2x－2y－2y2＝0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，31/71所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0两组解.所以直线AB方程为x0x－2y－2y0＝0.32/71(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|最小值.解答33/71由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，34/71课时作业35/711.(·昆明两区七校调研)过抛物线y2＝x焦点F直线l交抛物线于A，B两点，且直线l倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|取值范围是答案解析√12345678936/7112345678937/71√答案解析12345678938/71依据勾股定理，求|MP|最小值能够转化为求|OP|最小值，当|OP|取得最小值时，点P位置为双曲线顶点(±3,0)，而双曲线渐近线为4x±3y＝0，12345678939/713.已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线离心率e取值范围是√答案解析A.(1，＋∞) B.(2,3]

C.(1,3] D.(1,2]12345678940/71由P是双曲线左支上任意一点及双曲线定义，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，又e>1，所以1<e≤3.故选C.12345678941/714.(·成都质检)若点O和点F分别为椭圆＝1中点和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则最小值为_____.答案解析612345678942/7112345678943/7112345678944/71答案解析12345678945/71∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，12345678946/7112345678947/716.已知双曲线C两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差绝对值等于2.(1)求双曲线C标准方程；解答依题意，得双曲线C实半轴长为a＝1，又其焦点在x轴上，所以双曲线C标准方程为12345678948/71(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C右支于A，B两点，且M为AB中点，求直线l方程；解答12345678949/71设A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为M(2,1)为AB中点，所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，12345678950/71故AB所在直线l方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.12345678951/71(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上动点，求|DF1|＋|DG|最小值.解答12345678952/71由已知，得|DF1|－|DF2|＝2，即|DF1|＝|DF2|＋2，所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号，12345678953/717.已知中心在原点双曲线C右焦点为(2,0)，右顶点为(，0).(1)求双曲线C方程；解答又a2＋b2＝c2，得b2＝1，12345678954/71(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不一样两点M，N，且线段MN垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m取值范围.123456789解答55/71整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不一样交点，12345678956/71设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为B(x0，y0)，由题意，AB⊥MN，12345678957/71整理得3k2＝4m＋1，②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.12345678958/71(1)求椭圆C1方程；解答12345678959/71(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处切线与C1交于点M，N.当线段AP中点与MN中点横坐标相等时，求h最小值.123456789解答60/71如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，直线MN方程为y＝2tx－t2＋h.将上式代入椭圆C1方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不一样交点，12345678961/71所以①式中Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②设线段MN中点横坐标是x3，由题意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.12345678962/71当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，则不等式②不成立，所以h≥1.当h＝1时，代入方程③得t＝－1，将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立.所以，h最小值为1.123