安徽省宣城市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（含答案解析）

宣城市2023——2024学年度第一学期期末调研测试高一数学试题考生注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3．考生作答时，请将答案答在答题卷上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．考试结束时，务必将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.集合，，则＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合，，则，.故选：B2.设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.【详解】由题意，对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是.故选：D.3.若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由存在性问题得即可得解.【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以，当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.故选：C.4.已知，且，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据特值法可判断ABC，构造函数可判断D.【详解】对于A：若满足，则不满足，故A错误；对于B：若满足，则不满足，故B错误；对于C：若满足，则不满足，故C错误；对于D：令，易知函数在R上增函数，因为，所以，则，故D正确.故选：D.5.已知函数满足，且，则（）A.0 B.1 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】通过赋值得，，由此即可得解.【详解】由题意在中令，则，解得，令，则，则，所以.故选：C.6.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解.【详解】，，，所以.故选：A.7.已知，且，，则的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】由得，于是，又，，所以，因此，当且仅当，即时，等号成立.故.故选：B.8.已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果．【详解】二次函数的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又已知在上单调递减，所以，可得.因为函数在上单调递减，在上单调递增，又，由对称性可知，所以当时，取得最大值，即最大值，在当时取得最小值，即最小值为，要使对任意的，都有，只要成立即可，所以，解得，又，所以的取值范围，即.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则的可能取值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】AC【解析】【分析】结合诱导公式分别对和情况进行求值.【详解】当时，；当时，.所以的值为.故选：AC.10.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据换底公式即可判断A；根据指数幂的运算即可判断BC；根据指数与对数的运算即可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.11.对任意的，函数的值域是．则下列结论中正确的是（）A. B.C.的最小值是12 D.的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得，且，从而可求得关系，即可判断AB；再根据基本不等式判断CD即可.【详解】因为函数的值域是，所以，且，即，所以，故AB正确；由，得，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是12，故C正确；由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故D错误.故选：ABC.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的结论中正确的是（）A.在上是单调递增函数 B.是奇函数C.是周期函数 D.的值域是【答案】ACD【解析】【分析】首先使得，从而，进一步有，由此可判断C；结合周期性可判断ADB三个选项.【详解】因为使得，所以此时，，所以，所以是周期为1的周期函数，故C正确；对于D，我们只需考虑在上的值域即可，此时，故D正确；对于A，因为在上单调递增，而是周期为1的周期函数，所以在上是单调递增函数，故A正确；对于B，因为是周期为1的周期函数，所以，即不是奇函数，故B错误.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：关键是首先得出使得，进一步得出是周期为1的周期函数，由此即可顺利得解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若幂函数，且在上是增函数，则实数______．【答案】2【解析】【分析】先根据幂函数的定义列方程求的值，再验证是否满足题意.【详解】由幂函数的解析式可得，即，解得或，当时，在上是减函数，不符合题意；当时，在上是增函数，符合题意.综上可知，.故答案为：2.14.已知角满足，则__________________.【答案】【解析】【分析】运用诱导公式和二倍角余弦公式求解即可．【详解】由题意得．故答案为．【点睛】解答三角变换中的“给值求值”问题时，要注意将所给的条件作为一个整体进行处理，把所求角根据“拼凑”的方法用已知角表示，然后进行求解，属于基础题．15.已知实数x满足不等式，则函数最大值是______．【答案】##【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解.详解】由，解得，，当时，取得最大值.故答案为：.16.已知函数，若存在四个不同的实数，，，满足，且，则__．【答案】【解析】【分析】设，作出函数的图象以及，根据对称性，数形结合即可求解.【详解】作出函数的图象如图，当时，对称轴为所以，当时，，令，解得，所以时对称轴为，此时，设，若存在四个不同的实数，，，满足，则，由图可知，关于直线对称，，关于直线对称，所以，，则．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作出函数图象，方程的根即是函数图象与轴交点横坐标当时图象关于直线对称，当时，图象关于直线关于直线对称，所以四个交点两两关于对称轴对称.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求集合；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解；（2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解.【小问1详解】当时，集合，，故．【小问2详解】当时，，即，满足，故满足题意；当时，，即时，，解得，于是得，所以，故实数m的取值范围是．18.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由奇函数定义即可证明；（2）利用对数有意义的条件和对数函数的单调性即可求解.【小问1详解】证明：由题意，解得，所以函数的定义域为．因为对任意都有，，所以是奇函数.【小问2详解】原不等式可化为，又函数在内单调递增，所以，解得或，所以原不等式的解集为．19.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式和单调递增区间；（2）若，，求的值．【答案】（1），单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图象首先得，，，进一步结合，，可得，由此可得函数表达式，由整体代入法列不等式组即可得单调递增区间；（2）由平方关系结合角的范围首先得，进一步由两角差的正弦公式即可求解.【小问1详解】由图象得：，，所以，所以，又由，，可得，所以．令，，解得，，所以函数的单调递增区间为．【小问2详解】由，因为，可得，所以，则.20.某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？【答案】（1）（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元【解析】【分析】（1）由利润，代入即可得；（2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案.【小问1详解】；【小问2详解】当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立．由得当时，．所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元．21.已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为：，（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式和三角恒等变换公式化简到同一个角的同一个三角函数，进而利用正弦函数的周期性和对称性即可得到答案；（2）先求函数的解析式，再由的范围求得范围，进而把函数零点问题转化为两个函数的交点问题可求的取值范围.【小问1详解】.故最小正周期.由，，得函数对称轴方程为，．【小问2详解】，令，得．要使在上有2个零点，则函数与函数图像在上有2个交点，因为，所以．作出在的图像，得或，解得或，即a的取值范围为.22.已知函数，．（1）当时，求函数的值域；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，再根据二次函数的性质求解即可；（2）对任意