山东省济宁市金乡县2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题(含解析)

山东省济宁市金乡县2023—2024学年八年级下学期4月期中数学试题一、选择题（3×10＝30分）1．下列各式中，是最简二次根式的是(

)A． B． C． D．2．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，3．下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②4．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（

）A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（

）

A． B． C． D．6．如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（

）A．m B．m C．m D．m7．如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（

）A． B． C． D．8．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是(

)A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．对角线相等的四边形9．中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（

）

A．1 B．2 C．4 D．810．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长是（

）

A． B． C． D．2二、填空题（3×6＝18分）11．如果与同时有意义，那么．12．若，且，，为的三边，则的面积为13．如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，，则矩形的面积是．14．如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）15．已知菱形的三个顶点的坐标分别为，则第四个顶点C的坐标是．三、解答题（共52分）16．计算：(1)；(2)．17．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；（2）在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；（3）在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．18．如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作交的延长线于F，交于，连接．(1)求证：；(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．19．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．(2)当n是大于1的整数时，判断2n，是否是勾股数，并说明理由．20．（1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段上，试判断矩形与矩形面积的大小关系，并简单说明理由；（2）如图②，矩形的顶点P在直角三角形的斜边上，若，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形的面积．（3）如图③，在中，P是斜边上一动点，作，交于点G，作，交于点F，若，求的最小值．

21．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，）其两点间的距离P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|−|或|−|．（1）已知A(1，4)、B(-3，2)，试求A、B两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标．22．已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．(1)求证：；(2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；(3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

参考答案与解析

1．B【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】A、被开方数含分母，错误.B、满足条件，正确.C、被开方数含能开的尽方的因数或因式，错误.D、被开方数含能开的尽方的因数或因——错误.所以选：B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.2．D【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断A、D；根据三角形内角和定理可以判断B、C，从而得到答案．【详解】解：A、，，是直角三角形，故A选项能判定为直角三角形，不符合题意；B、，，，是直角三角形，故B选项能判定为直角三角形，不符合题意；C、，，，是直角三角形，故C选项能判定为直角三角形，不符合题意；D、，，以，，不能组成直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．3．D【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键，由二次根式的性质与化简、运算得出①②正确，③④不正确，即可得出结论．【详解】解：①正确，②正确，③不正确，④不正确；正确的为：①②；故选：D．4．B【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．5．A【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、二次根式的性质、整式的加减，先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得．【详解】解：由题意得：，则．故选：A．6．A【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．根据勾股定理进行计算即可得．【详解】解∶在中，m，m，根据勾股定理得，m在中，m，m，根据勾股定理得，m，∴m，故选∶A．7．C【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．【详解】解：如图，连接，，，，为中点，且交于点，垂直平分，，，，，，，，故选：C．8．D【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，则EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．9．B【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．．【详解】解：如图，延长交于F，

∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴∴，∵E是的中点，，∴是的中位线，∴．∵，，∴．故选：B．10．B【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质，求的长．【详解】解：如图，连接、，

正方形和正方形中，，，，，，，由勾股定理得，，是的中点，．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．11．0【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件列出不等式是解题关键．【详解】解：∵与同时有意义，∴，，∴，故答案为：0．12．【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理；根据非负数的性质求得，进而根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴为直角三角形，∴的面积为，故答案为：．13．【分析】本题主要考查了折叠问题、平行线的性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，灵活运用折叠的性质成为解题的关键．由折叠可得，，根据平行线性质可得，，求出的长度，然后根据矩形的面积公式即可解答．【详解】解：∵把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴且，∴且，∴，∵，∴，∴，故答案为：．14．（或）【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当满足条件AB=AC或时，四边形是菱形．【详解】解：要使四边形是菱形，则应有，∵，分别为，的中点∴，，∴，∴应是等腰三角形，∴应添加条件：或则当△ABC满足条件或时，四边形AEDF是菱形．故答案为：（或）．15．或或【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据题意正确画出图形成为解题的关键．分为对角线，为对角线，为对角线三种情况分别画出菱形，进而根据图形和菱形的性质即可解答．【详解】解：如图:∵，∴,∴是等边三角形，当为对角线时，点向右平移两个单位得到；当为对角线时，点向左平移两个单位得到；当为对角线时，点关于x轴的对称点．故答案为：或或．

16．(1)(2)【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可求解；（2）运用完全平方公式展开，二次根式的除法运算计算，再根据二次根据的加减运算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．17．画图见解析.【分析】本题考查了作图应用与设计作图，解此类题目首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．（1）根据平行四边形的面积公式，依题意在方格纸上画图即可，使底边和高的积为6即可．（2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可得画出；（3）作出长，宽的长方形即可求解．【详解】解：（1）如图1，（2）如图2，（3）如图3，18．(1)证明见解析(2)四边形是菱形，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．（1）由“”证得，即可得出结论；（2）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵点是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵，∴，∵是边上的中线，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，∵，是边上的中线，∴，∴四边形是菱形．19．(1)5(2)是勾股数，理由见解析【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键．（1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可；（2）分别表示出2n，的平方，得到即可做出判断．【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长，，，，，，都为正整数，当时，，最小的b值为5；（2），，，，2n，是勾股数．20．（1）矩形与矩形面积相等，理由见解析；（2）3750；（3）【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据题意的面积与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，然后结合图形即可解答．（2）设根据长方形面积与（1）中得结论结合，求出的值即可解答．（3）如图：连接,由题意可得：四边形是矩，则；根据垂线段最短可得当时，最小，即最小；然后运用勾股定理和等面积法即可解答．【详解】解：（1）矩形与矩形面积相等，理由如下：∵四边形是矩形，∴，∴的面积与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，∴剩下两个长方形的面积也相等，即矩形与矩形面积相等．(2)如图：连接,设，则长方形的面积为，由(1)中的结论可得，，解得：，即长方形的面积为3750．（3）如图：连接,由题意可得：四边形是矩形，∴,根据垂线段最短可得：当时，最小，即最小，∵，∴,∴,即，解得：，∴最小的最小值为．21．（1）；（2）是直角三角形；（3）．【分析】（1）根据题目中给出的两点间的距离P1P2=，代入求解即可；（2）根据两点间距离公式分别求出DE，DF，EF的长度，即可判断此三角形的形状；（3）设点P的坐标为(x，0)，根据两点间距离公式分别表示出PD和PF的长度，根据列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵两点间的