北京市师达中学2023-2024学年下学期九年级中考数学零模试卷

北京市师达中学2023-2024学年下学期九年级中考数学零模试卷一、选择题（共16分，每题2分）以下各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）截至2024年3月11日17时，全国冬小麦收割1.39亿亩，进度过四成半，将139000000用科学记数法表示应为（）A．13.9×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．0.139×1092．（2分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（）A． B． C． D．3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝54°，则∠AOD的大小为（）A．154° B．134° C．126° D．106°4．（2分）若0＜a＜1，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以为（）A．2 B．3 C． D．96．（2分）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（）A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣7．（2分）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A． B． C． D．8．（2分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于点G，给出四个结论：①AB2+BF2＝2AP2；②BF+DE＝EF；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④二、填空题(共16分，每题2分)9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：x2y﹣4y3＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）正十二边形的一个外角的度数为．13．（2分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是，众数是．14．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．15．（2分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为．16．（2分）有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题：已知：a＞b＞0，求证：．经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：①在直线l上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过B点作直线l的垂线，与半圆交于点D，连接OD．请回答：（1）连接AD、CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是；（2）根据作图过程，线段BD＝，OD＝（用a、b的代数式表示）；（3）由BD⊥AC，可知BD＜OD，由此即证明了这个不等式．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分；第20-21题，每题6分；第22-24题，每题5分；第25-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x﹣y﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF为矩形；（2）若BC＝6，sin，求EF的长．21．（6分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如图所示，已知空地长27米，宽12米，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，且经过点C（2，m）．（1）当m＝2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值都大于函数y＝kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．23．（5分）品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如图1，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分；b．丙参加比赛的得分统计图如图2；根据以上信息，回答下列问题：（1）已知点A的坐标为（26，18），则此轮比赛中：甲的得分为，与甲同场答题的百人团中，有人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s12，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s22，则s12s22（填“＞”，“＜”或“＝”）．24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm4.003.692.130y2/cm3.003.914.715.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为cm．25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．（1）求证：∠A＝∠BOF；（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1≠y2，求t的取值范围．27．（7分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB的中点，连接CD，过A作AE⊥CD于点G，与BC交于点E．（1）求tan∠CAG的值；（2）F是线段GC上一点，且∠GAF＝45°，过点F作AF的垂线交BC于点H，请在图中补全图形，用等式表示HB和HC的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A′B′（A′和B′分别是A和B的对应点），若线段AB和A′B′均在图形G的内部（包括边界），则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．（1）点C（1，0），D（3，0）．①G1；半径为3的⊙O；G2；以O为中心且边长为6的正方形；G3；以线段OD为边的等边三角形．在G1、G2、G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是．②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T（t，0）的旋垂闭图，求t的取值范围；已知线段AB在x轴的负半轴和原点组成的射线上运动，且AB＝4，若存在点Q（2+a，2﹣a），使得对于半径为2的⊙Q上任意一点P，都存在线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r2的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）以下各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）截至2024年3月11日17时，全国冬小麦收割1.39亿亩，进度过四成半，将139000000用科学记数法表示应为（）A．13.9×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．0.139×109【解答】解：139000000＝1.39×108，故选：B．2．（2分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝54°，则∠AOD的大小为（）A．154° B．134° C．126° D．106°【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝54°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣54°＝36°，∴∠AOD＝∠AOB+∠∠BOD＝36°+90°＝126°．故选：C．4．（2分）若0＜a＜1，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a【解答】解：∵0＜a＜1，∴﹣1＜﹣a＜0，∴﹣1＜﹣a＜a＜1，故选项A符合题意．故选：A．5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以为（）A．2 B．3 C． D．9【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，所以（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜，显然四个选项只有A选项符合题意．故选：A．6．（2分）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（）A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意；B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意；C．y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意；D．y＝﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意；故选：D．7．（2分）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝，故选：B．8．（2分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于点G，给出四个结论：①AB2+BF2＝2AP2；②BF+DE＝EF；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【解答】解：①如图1，取AF的中点K，连接PK，BK，∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AK＝KF，∴BK＝AK＝KF＝PK，∴A，B，F，P四点共圆，∴∠PAF＝∠PBF＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴AP＝FP，在Rt△APF中，AP2+FP2＝AF2，∴2AP2＝AF2，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，∴AB2+BF2＝2AP2；故①正确；②将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图2，∵∠ADE＝∠ABH＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ABH＝180°，∴C，B，H共线，∵∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠FAB+∠BAH＝∠FAB+∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠FAH，在△FAH和△FAE中，，∴△FAH≌△FAE（SAS），∴FH＝EF，∵FH＝BF+BH＝BF+DE，∴BF+DE＝EF；故②正确；③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，如图3，在△PBA和△PCB中，，∴△PBA≌△PBC（SAS），∴PA＝PC，∵PF＝PA，∴PF＝PC，∵PQ⊥CF，∴FQ＝QC，∵PB＝BQ，PD＝PW＝CQ＝FQ，∴PB﹣PD＝（BQ﹣FQ）＝BF，故③正确；④将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，取AF的中点K，连接BK，PK，如图4，∵△ABH≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAH，AH＝AE，由①知：A，B，F，P四点共圆，∴∠AFB＝∠APG，由②得△FAH≌△FAE（SAS），∴∠AFB＝∠AFE，∴∠APG＝∠AFE，∵∠PAG＝∠FAE，∴△APG∽△AFE，∴＝，∵△APF是等腰直角三角形，∴＝，∴FE＝PG，在△EFC中，FC+EC＞FE，∴FC+EC＞PG，故④不正确；故选：C．二、填空题(共16分，每题2分)9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥3．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥3，故答案为：x≥3．10．（2分）分解因式：x2y﹣4y3＝y（x+2y）（x﹣2y）．【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：y（x+2y）（x﹣2y）．11．（2分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x﹣1）得：3×2x＝5x﹣1，∴x＝﹣1．检验：把x＝﹣1代入2x（5x+1）＝8≠0，且方程左边＝右边．∴原分式方程的解为x＝﹣1．12．（2分）正十二边形的一个外角的度数为30°．【解答】正十二边形的一个外角为＝30°．故答案为：30°．13．（2分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是9，众数是8．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9．故答案为：9；8．14．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．【解答】解：∵OF＝1，FD＝2，∴OD＝OF+FD＝1+2＝3，∵AB∥EF∥CD，∴，故答案为：．15．（2分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为3．【解答】解：连接AB，∵AE是⊙O的切线，∴半径OA⊥AE，∵OA⊥CB，∴BC∥AE，∵AO⊥BC，∴∠COD＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴∠ABC＝∠OCD，∴AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE＝BC＝3．故答案为：3．16．（2分）有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题：已知：a＞b＞0，求证：．经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：①在直线l上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过B点作直线l的垂线，与半圆交于点D，连接OD．请回答：（1）连接AD、CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是直径所对的圆周角是直角；（2）根据作图过程，线段BD＝，OD＝（用a、b的代数式表示）；（3）由BD⊥AC，可知BD＜OD，由此即证明了这个不等式．【解答】解：（1）由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是直径所对的圆周角是直角，故答案为：直径所对的圆周角是直角；（2）由图可得，OA＝OD＝OC＝，OB＝﹣b＝，∵DB⊥AC，∴BD＝＝＝，故答案为：，；（3）由BD⊥AC，可知BD＜OD，则＜．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分；第20-21题，每题6分；第22-24题，每题5分；第25-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：．【解答】解：原式＝2×+2+3＝6．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜3，所以不等式组的解集为2＜x＜3．19．（5分）已知x﹣y﹣1＝0，求代数式的值．【解答】解：由题可知，x﹣y＝1，∴＝＝＝＝．20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF为矩形；（2）若BC＝6，sin，求EF的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵点E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∴AF＝DC，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形，∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形；（2）解：∵BC＝6，AD为BC边上的中线，∴，∵在Rt△ABD中，，∴，∴，又∵点E为AD中点，∴，∴在Rt△EBD中，，∴．21．（6分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如图所示，已知空地长27米，宽12米，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？【解答】解：设预留的上、下通道的宽度为x米，则矩形冰场的宽为（12﹣2x）米，矩形冰场的长为（12﹣2x）米，依题意得：2×（12﹣2x）•（12﹣2x）＝27×12×，整理得：（12﹣2x）2＝81，解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴[27﹣2×（12﹣2x）]＝×[27﹣2××（12﹣2×）]＝1．答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，且经过点C（2，m）．（1）当m＝2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值都大于函数y＝kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．【解答】解：（1）当m＝2时，点C坐标为（2，2），把C（2，2）代入y＝kx+4k（k≠0）得：，∴一次函数的解析式为：，另y＝0，则，，解得：x＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，0）；（2）函数y＝x和函数y＝kx+4k的图象如图所示：观察图象可知：当x＞﹣1时，函数y＝x的函数值大于函数y＝kx+4k的函数值，∴当x≤﹣1时，﹣k+4k≤﹣1，3k≤﹣1，解得：．23．（5分）品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如图1，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分；b．丙参加比赛的得分统计图如图2；根据以上信息，回答下列问题：（1）已知点A的坐标为（26，18），则此轮比赛中：甲的得分为26，与甲同场答题的百人团中，有74人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有2轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s12，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s22，则s12＜s22（填“＞”，“＜”或“＝”）．【解答】（1）由图1知，横轴表示甲的得分，因为点A的坐标为26，∴甲的得分为26，即百人团答题有26人打错，百人团答对的人数为100﹣26＝74；故答案为：26，74；（2）甲的得分高于乙的得分，即图1中点的横坐标大于纵坐标，由图1可知，共有2个点的横坐标大于纵坐标，即有2轮甲的得分高于乙的得分，甲的近似得分：26+28+30+31+29＝144，乙的近似得分：18+22+36+42+47＝165，丙的近似得分：42+20+13＝75，∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙，故答案为：2，乙；（3）甲得分的平均数为：144÷5＝28.8，s12＝＝2.96，乙得分的平均数为：165÷5＝33，s22＝＝126.4，∴s12＜s22，故答案为：＜．24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm4.003.693.09（答案不唯一）2.130y2/cm3.003.914.715.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为0.83或2.49（答案不唯一）cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为5.32（答案不唯一）cm．【解答】解：（1）由画图可得，x＝2时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．故答案为：3.09（答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB，当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC，观察图象可知，PB不可能等于BC，故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，故答案为5.32（答案不唯一）．25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．（1）求证：∠A＝∠BOF；（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∵AB＝AC，∴∠CAB＝2∠DAB，∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠CAB＝∠BOF；（2）解：连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°∵AB＝4，∴OB＝OD＝AB＝2，∵DF＝1，∴OF＝OD+DF＝3，∵BF与⊙O相切于点B，∴∠OBF＝90°，∴∠AEB＝∠OBF＝90°，∵∠CAB＝∠BOF，∴△EAB∽△BOF，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴AE的长为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1≠y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，当y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，∴t≤．当y1＞y2，a＞0，∴（x2，y2）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的左侧侧，即＜t．∴t≥．综上分析，t≤或t≥．27．（7分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB的中点，连接CD，过A作AE⊥CD于点G，与BC交于点E．（1）求tan∠CAG的值；（2）F是线段GC上一点，且∠GAF＝45°，过点F作AF的垂线交BC于点H，请在图中补全图形，用等式表示HB和HC的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，∴∠DAC＝∠DGA＝90°，又∵∠ADG＝∠CDA，∴△ADG∽△CDA，∴DG：AD＝AG：AC，即DG：AG＝AD：AC，∵点D为AB的中点，AB＝AC，∴AC＝2AD，∴AD：AC＝1：2，∴DG：AG＝1：2，设DG＝a，AG＝2a，在Rt△ADG中，DG＝a，AG＝2a，由勾股定理得：AD＝＝a，∴AB＝AC＝2AD＝2a，在Rt△ACG中，AG＝2a，AC＝2a，由勾股定理得：CG＝＝4a，∴tantan∠CAG＝＝＝2；（2）补全图形如下图所示，HB＝HC，证明如下：∵∠GAF＝45°，AG⊥CD，∴△AGF为等腰直角三角形，∴AG＝GF，∠AFG＝45°，∵HF⊥AF，∴∠GFH＝∠AFG＝45°，∴∠HFC＝∠CFA＝135°，设DG＝a，由（1）可知：AG＝2a，CG＝4a，AC＝AB＝2a，∴GF＝AG＝2a，∴CF＝CG﹣GF＝4a﹣2a＝2a，在Rt△AGF中，∠BAC＝90°，GF＝AG＝2a，则∠ACB＝45°，由勾股定理得：AF＝＝2a，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2a，由勾股定理得：BC＝＝2a，∵∠GFH＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FHC+∠FCH＝∠45°，∠FCH+∠FCA＝45°，∴∠FHC＝∠FCA，又∵∠HFC＝∠CFA＝135°，∴△HFC∽△CFA，∴HC：A