第01讲 认识三角形、定义与命题、证明（3大考点10种解题方法）（解析版）

第01讲认识三角形、定义与命题、证明（3大考点10种解题方法）考点考点考向一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．四．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．五．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）六．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．七．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．八．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．九．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．十．推理与论证（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．（2）论证：用论据证明论题的真实性．证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．考点精讲考点精讲一．三角形（共3小题）1．（2021秋•义乌市期末）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．【解答】解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；故选：B．【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．2．（2020•浙江自主招生）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（）对．A．8 B．16 C．24 D．32【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可．【解答】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC；以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB；以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD；以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC；以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形；以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形．以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC；以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形．以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形；以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB；以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE；以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE．共32对．故选：D．【点评】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键．3．（2021春•新吴区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）4．（2021秋•西湖区期末）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【分析】根据垂线段最短即可判断．【解答】解：∵AP是BC边上的高线，∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，故选：A．【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2021秋•定海区期末）如图，△ABC中，AC边上的高是线段（）A．AE B．CD C．BF D．AF【分析】根据三角形的高的定义解答即可．【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BF，所以AC边上的高是BF，故选：C．【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．6．（2020秋•永嘉县校级期末）如图所示，△ABC的边AC上的高是（）A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA【分析】根据三角形高线的定义，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD为AC边上的高．【解答】解：由题意可知，△ABC的边AC上的高是线段BD．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．7．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（）A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高【分析】根据三角形的高的定义判断结论．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，∴DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高，故选：D．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，熟练掌握各定义是解题的关键．8．（2021秋•拱墅区月考）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解答】解：∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．三．三角形的面积（共3小题）9．（2021秋•瓯海区月考）如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，若△CDE的面积是2，则△ABC的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由三角形的中线可得S△ACD＝2S△CDE，S△ABC＝2S△ACD，从而可求解．【解答】解：∵D，E分别为BC，AD的中点，∴S△ACD＝2S△CDE，S△ABC＝2S△ACD，∴S△ABC＝4S△CDE，∵S△CDE＝2，∴S△ABC＝8．故选：D．【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键明确三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．10．（2021秋•江津区期中）下列说法正确的个数有（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①三角形的高、中线、角平分线定义判断即可；②根据三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点即可判断；③利用三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断，④根据三角形中线把该三角形分成面积相等的两部分进行判断．【解答】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，正确；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，正确；③三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上，错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，正确；故选：C．【点评】本题主要考查的是三角形的中线、角平分线、高，三角形的面积，掌握三角形的角平分线、中线，高线特点是解题的关键．11．（2021秋•十堰期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于1cm2．【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，∴S△BEF＝S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4cm2，∴S△BEF＝1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为1．【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．四．三角形的稳定性（共3小题）12．（2021秋•柯桥区期末）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（）A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．故选A．【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性．13．（2021秋•临海市期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．14．（2021秋•台州期中）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性．【分析】根据三角形的稳定性进行解答．【解答】解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．五．三角形的重心（共3小题）15．（2021春•曲周县期末）如图，AD和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE②O是△ABC的重心③△ABD与△ACD面积相等④过CO的直线平分线段AB⑤∠ABE＝∠CBE⑥AD＝BE，其中正确的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解．【解答】解：∵AD和BE是△ABC的中线，∴D，E分别为BC，AC的中点，∴AE＝CE，故①正确；O是△ABC的重心，故②正确；BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD，故③正确；过CO的直线平分线段AB，故④正确；根据已知条件无法判定∠ABE＝∠CBE，AD＝BE，故⑤，⑥错误．故选：B．【点评】本题主要考查三角形的重心，掌握三角形重心的定义是解题的关键．16．（2020秋•温岭市期中）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：方法1：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．方法2：设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②，由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．故选：B．【点评】考查了三角形的重心，三角形的面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．17．（2021春•海淀区期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O．（1）BO与OD的长度有什么关系？并证明你的结论．（2）BC边上的中线是否一定过点O？为什么？【分析】（1）连接DE．根据三角形的中位线定理，得DE∥BC，DE＝BC．根据平行得到三角形ODE相似于三角形OBC，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．（2）连接DE，根据三角形的中位线定理，得DF∥BA，DF＝BA，根据平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：（1）BO＝2OD，理由如下：连接DE，∵BD、CE是边AC、AB上的中线，∴DE∥BC，DE＝BC．∴△ODE∽△OBC，∴＝，即BO＝2OD．（2）BC边上的中线一定过点O，理由是：作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，∵BD、AF是边AC、BC上的中线，.∴DF∥BA，DF＝BA．∴△MDF∽△MBA∴＝＝＝，即BD＝3DM，BO＝BD，∴O和M重合，即BC边上的中线一定过点O．【点评】此题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质．六．三角形三边关系（共3小题）18．（2021秋•新昌县期末）已知三角形的两边长分别为2和7，则该三角形的第三边长可以为（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．【解答】解：设第三边为c，根据三角形的三边关系可得7﹣2＜c＜7+2，解得5＜c＜9，所以可能是7，故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．19．（2021秋•嘉兴期末）如果一个三角形的两边长都是6cm，则第三边的长不能是（）A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣6＜x＜6+6，再解不等式即可．【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6﹣6＜x＜6+6，解得：0＜x＜12，只有13cm不适合，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．20．（2021秋•温岭市期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3cm、3cm、6cm B．3cm、5cm、7cm C．2cm、4cm、6cm D．2cm、9cm、6cm【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解答】解：A、3+3＝6，不能组成三角形，不符合题意；B、3+5＞7，能组成三角形，符合题意；C、2+4＝6，不能组成三角形，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．七．三角形内角和定理（共6小题）21．（2021秋•鄞州区期末）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【分析】设三个内角度数为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x，由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，解得，x＝20°，则三个内角度数为40°、60°、80°，则这个三角形一定是锐角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查的是三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．22．（2022•启东市模拟）已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC（其中∠A是30°，∠C是60°）按如图所示方式放置，若∠1＝84°，则∠2等于（）A．56° B．64° C．66° D．76°【分析】利用三角形内角和定理及对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠3+∠4+∠A＝180°，∠A＝30°，∠4＝∠1＝84°，∴∠3＝180°﹣∠A﹣∠4＝180°﹣30°﹣84°＝66°．又∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠3＝66°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理、对顶角以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是180°”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．23．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB于点H，则∠DCH的度数是（）A．5° B．10° C．15° D．20°【分析】利用三角形的内角和先求出∠ACB，再利用角平分线的性质求出∠ACD，利用三角形外角与内角的关系求出∠ACH，最后利用角的和差关系求出∠DCH．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝25°．∵CH⊥AB于点H，∴∠CHB＝90°．∴∠ACH＝∠CHB﹣∠A＝30°．∴∠DCH＝∠ACH﹣∠ACD＝30°﹣25°＝5°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的性质是解决本题的关键，24．（2021秋•兰陵县期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】利用三角形的内角和定理求出∠DBC+∠DCB即可解决问题．【解答】解：∴∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（2021秋•十堰期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是80°．【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：如图，由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故答案为80°．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．26．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝10°．【分析】在△EHD中，由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠EDH＝90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH＝（∠C﹣∠B）．【解答】解：由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠EDH＝90°①，△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B+∠BAC+∠C＝180°，即：∠C+∠B+∠BAC＝90°②，②﹣①，得：∠EDH＝（∠C﹣∠B）＝×（50°﹣30°）＝10°．故答案为：10°．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠EDH＝（∠C﹣∠B）．八．三角形的外角性质（共3小题）27．（2021秋•台州期末）如图，下列关于∠A，∠B，∠C，∠1的关系中一定成立的是（）A．∠A+∠B＝∠C+∠1 B．∠A+∠1＝∠B+∠C C．∠A+∠B+∠C＝∠1 D．∠A+∠B+∠C+∠1＝360°【分析】延长AD交BC于点E，利用三角形外角的性质可得∠1＝∠A+∠B+∠C，进而可求解．【解答】解：延长AD交BC于点E，∵∠AEC＝∠A+∠B，∠1＝∠C+∠AEC，∴∠1＝∠A+∠B+∠C，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键．28．（2021秋•东阳市期末）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．一个外角等于和它相邻的内角【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断即可．【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项A不符合题意；B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项C符合题意；D．∵一个外角等于和它相邻的一个内角，∴该内角＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出最大角的度数是解题的关键．29．（2021秋•下城区校级期中）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75° B．60° C．65° D．55°【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°，故选：A．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，运用三角形外角的性质计算角的度数是解题的关键．九．命题与定理（共3小题）30．（2021秋•海曙区期末）能说明命题“对于任何实数a，＝a”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝2022 B．a＝0 C．a＝ D．a＝﹣2022【分析】根据“a是实数，则＝a”成立的条件是a≥0即可得答案．【解答】解：∵a≥0时，＝a，∴当a＝2022时，原命题成立，故A不符合题意，同理a＝0时，原命题成立，故B不符合题意；a＝时，原命题成立，故C不符合题意，而当a＝﹣2022时，原命题不成立，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，说明一个命题是假命题只需举一个反例．31．（2021秋•衢江区期末）能使命题“a＞b，则a2＞b2”为假命题的是（）A．a＝﹣2，b＝﹣1 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣1【分析】直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案．【解答】解：A、∵当a＝﹣2，b＝﹣1时，∴a＜b，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例不可以为：a＝﹣2，b＝﹣1，不符合题意；B、∵当a＝﹣2，b＝﹣3时，∴a＞b，∴a2＜b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例可以为：a＝﹣2，b＝﹣3，符合题意；C、∵当a＝3，b＝﹣2时，∴a＞b，∴a2＞b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例不可以为：a＝3，b＝﹣2，不符合题意；D、∵当a＝2，b＝﹣1时，∴a＞b，∴a2＞b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例可以为：a＝2，b＝﹣1，不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，解题的关键是了解判断一个命题的正误可以举出反例，难度不大．32．（2021秋•开化县期末）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形 C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】利用平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、等腰三角形也可以是锐角三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，符合题意．故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的性质，难度不大．一十．推理与论证（共3小题）33．（2022•诸暨市模拟）现有一个3×4方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走，若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最少需要移动的步数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据棋子移动原则，尽可能的拿掉一个为好的对策，进行移动．【解答】解：本着走一步拿掉一个棋子的原则，尽可能的向标有“国“字靠拢，经过几次实践，得到结果是9次．故选：C．【点评】本题没有固定的方法，但是下棋有原理，本着解决问题的原则试试，有必要也可以动手操作，也可以得到答案．34．（2021秋•开福区校级期末）甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（）A．甲在B校学习，丙在A校学习 B．甲在B校学习，丙在C校学习 C．甲在C校学习，丙在B校学习 D．甲在C校学习，丙在A校学习【分析】先判断哪个学校学什么，在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学，因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习．【解答】解：因为在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学，因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习．故选：A．【点评】本题考查推断能力，根据肯定的条件和否定的条件可推出结论．35．（2021春•新罗区期末）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（）A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英 C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明【分析】由题干中前两个条件可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的，再结合第三个条件，进而可出结论．【解答】解：设小英的得分为a，小亮的得分为b，小明的得分为c，小华的得分为d，∵小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和，∴b+d＝a+c，∴b＝a+c﹣d①∵小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，∴a+b＞c+d②，把①代入②，可得：a+a+c﹣d＞c+d，∴a＞d，又∵b+d＝a+c，∴b＞c，∵小华的得分超过小明与小亮的得分和，∴d＞b+c，即d＞b，∴a＞d＞b＞c，即四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．故选：C．【点评】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．

巩固巩固提升一、单选题1．（2020·浙江）下列选项中属于命题的是（）A．任意一个三角形的内角和一定是吗？ B．画一条直线C．异号两数之和一定是负数 D．连结A、B两点【答案】C【分析】根据命题的定义即可作出判断．【详解】解：A、任意一个三角形的内角和一定是180°吗？不是命题；B、画一条直线，不是结论，不是命题；C、异号两数之和一定是负数，符合命题的定义，是命题；D、连接A，B两点，不是结论，不是命题．只有C中有“是”判断词，故选C．【点睛】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句，有“是”，“不是”等判断词．2．（2021·浙江杭州市·）可伸缩的遮阳篷是依据平行四边形的（）A．不稳定性 B．稳定性 C．伸缩性 D．可变性【答案】A【分析】根据平行四边形的不稳定性即可判断．【详解】解：平行四边形具有不稳定性，故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是结合实际并掌握平行四边形的不稳定性．3．（2020·浙江八年级月考）小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（）A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定【答案】B【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件．【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾；2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合；∴做好事的是小陈，故选B．【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法．4．（2019·浙江八年级期末）沿折叠，折痕为，则图中之间的关系中，下列式子中正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质求解，即可得到答案．【详解】解：如图，记与的交点为∵将△ADE沿DE折叠，∴∠A=∠A′，即∠1=∠A′，∵，∴∠3=2∠1+∠2，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形的外角的性质．图形在折叠的过程，会出现全等的图形--相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．5．（2021·浙江）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：∵AB=6，∴AC+BC＞AB=6，∴11，9，7都满足，5不满足，故选D．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．6．（2019·浙江八年级期末）利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答．【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设若，则，故选：．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．二、填空题7．（2019·浙江杭州·八年级期末）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_________________．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题．【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．8．（2019·浙江八年级期中）“两个无理数的和为无理数”是_____命题，举反例：____________．【答案】假和【分析】判断一个命题是假命题时举出一个反例即可．【详解】解：两个无理数的和为无理数是假命题，如，故答案为：假；和．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例，难度不大．9．用来证明命题“如果a，b是有理数，那么”是假命题的反例可以是_________．【答案】a=-1，b=3【分析】根据有理数的加法和绝对值的性质，只要a、b异号即可．【详解】解：a=-1，b=3时|a+b|=2≠|a|+|b|=4，故|a=-1，b=3时“|a+b|=|a|+|b|”是假命题．（答案不唯一，只要a、b是异号两数即可）．故答案为：a=-1，b=3．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了有理数的加法和绝对值的性质．10．（2021·浙江八年级期末）如图，中，平分，分别交的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：①，②，③，④其中有两个式子是正确的，它们是_____和________．【答案】①③【分析】由平分，，根据三角形的内角和定理得，而，于是；再根据三角形外角性质得，得到；由此得到正确答案．【详解】解：平分，，，，，而，；又，；故答案为：①，③．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了角平分线和垂线的性质以及三角形外角的性质．11．（2021·浙江八年级期末）在中，是的中线，则与的周长之差是____，面积之比是____．【答案】11：1【分析】根据中线定义可得BD=CD，再根据三角形的周长公式求出两三角形的周长之差=AB-AC，根据等底等高的三角形的面积相等求出面积之比．【详解】解：∵AD是△ABC中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC，∵AB=2015，AC=2014，∴△ABD与△ACD的周长之差=2015-2014=1；设点A到BC的距离为h，则S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，∴面积之比=1．故答案为：1；1：1．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，主要利用了等底等高的三角形的面积相等的性质，作出图形更形象直观．12．（2018·浙江全国·八年级课时练习）完成下面的证明过程．已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．证明：∵∠1和∠D互余(已知)，∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．∵∠C和∠D互余(已知)，∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，∴∠1＝∠C(__________________)，∴AB∥CD(________________________)．【答案】互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【分析】因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD．【详解】证明：∵∠1和∠D互余(已知)，∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)．∵∠C和∠D互余(已知)，∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)，∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．【点睛】此题考查的知识点是平行线的判定，同角的余角相等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．（2018·浙江全国·八年级课时练习）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)【答案】①②⑤【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可【详解】解：①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；

②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；

③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；

④∵∠1=∠D，∴AD∥BC，故本小题错误；

⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本小题正确．

故答案为①②⑤．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．14．（2021·浙江八年级期末）如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则_____；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则______（用含n和的代数式表示）．

【答案】60°+α【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：在△ABC中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α；在△ABC中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵On-1B和On-1C分别是∠B、∠C的n等分线，∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=，∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=，故答案为：60°+α，．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．三、解答题15．（2020·浙江八年级期末）判断下列命题的真假，并给出证明（1）两个锐角的和是钝角；（2）若a＞b，则a2＞b2；【答案】（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，证明详见解析；（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，证明详见解析【分析】（1）根据锐角和钝角的概念，举一个反例即可；（2）根据有理数的乘方法则举一个反例证明即可．【详解】解：（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，例如，一个锐角是30°，另一个锐角是40°，则这两个锐角的和是70°，70°不是钝角，∴两个锐角的和是钝角，是假命题；（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：a＝﹣1，b＝﹣2，a2＝1，b2＝4，则a2＜b2，∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．16．（2018·浙江全国·八年级课时练习）如图，CD⊥AB于点D，GF⊥AB于点F，∠B＝∠ADE.请你判断∠1与∠2的关系，并证明你的结论．【答案】∠1＝∠2，证明详见解析.【分析】由CD⊥AB，GF⊥AB，根据平行线的判定方法得CD∥GF，再根据平行线的性质得∠2=∠BCD；由∠B=∠ADE，根据同位角相等，两直线平行得DE∥BC，则利用平行线的性质得∠1=∠BCD，然后利用等量代换即可得到∠1=∠2．【详解】解：∠1＝∠2.证明：∵∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠1＝∠DCB.又∵CD⊥AB，GF⊥AB，∴CD∥FG，∴∠2＝∠DCB，∴∠1＝∠2【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．17．（2018·浙江全国·八年级课时练习）如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2、∠C＝∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．【答案】∠A＝∠F,理由详见解析【分析】利用已知条件及对顶角相等，等量代换出∠DGH＝∠2，根据平行线的判定得出BD∥CE，再根据平行线的性质及判定即可解答.【详解】∠A＝∠F.理由如下：∵∠1＝∠DGH，∠1＝∠2.∴∠DGH＝∠2.∴BD∥CE.∴∠D＝∠FEC.∵∠C＝∠D.∴∠FEC＝∠C.∴DF∥AC.∴∠A＝∠F．【点睛】本题考查的是平行线的性质及判定，熟练的掌握平行线的性质及判定定理是关键.18．（2019·浙江）已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．