椭圆及其性质教案

3.1.2椭圆及其性质

导学案

【学习目标】

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形

2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.

3.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识

【自主学习】

知识点1椭圆的范围、对称性和顶点坐标

焦点在X轴上焦点在y轴上

J+1=l(«>&>0)

标准方程/方=1(°>6>0)

图形

JBilO\rBx

Y2

焦点坐标仁c,0)(0,土c)

对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称

4(一。,0),A2(〃,0),4(0,—a),A2(0,〃)，

顶点坐标

Bi(0,~b),B2(0,b)&S,O)

范围\y\^b\x\^b,|y|Wg

长轴、

长轴A1A2长为区,短轴BB长为2b

短轴

知识点2椭圆的离心率

(1)椭圆的焦距与长轴长的比e=§叫椭圆的离心率.

2

X丫2一

(2)对于茄+官=1,b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0,c就越接

近于0,从而b越接近于。，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当。=6时，

c=0,两焦点重合，图形变成圆，方程变为1+尸=层.(如图)

知识点3点与椭圆的位置关系

设2(无0，yo),椭圆，+方=l(a>b>0),则点尸与椭圆的位置关系如下表所示:

位置关系满足条件

尸在椭圆外

尸在椭圆上

料*1

P在椭圆内

知识点4直线与椭圆的位置关系

(1)判断直线和椭圆位置关系的方法：

将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若/>0,则直

线和椭圆相交;若/=0,则直线和椭圆相切;若/<0,则直线和椭圆相离.

(2)根与系数的关系及弦长公式:

?2

设直线/：y=kx+b(k^Q,6为常数)与椭圆，+$=l(a>6>0)相交，

两个交点为4(xi,州)、3(尤2,竺)，

则线段A8叫做直线/截椭圆所得的弦，

线段的长度叫做弦长.

弦长公式：AB=y11+8xi—尤2|,=71+(xi+%2)2—4XIX2,

其中X1+X2与WX2均可由根与系数的关系得到.

【合作探究】

例1由椭圆方程研究其简单几何性质

(1)求椭圆9(+16V=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.

y2v2

解已知方程化成标准方程为花+§=1,

于是。=4,6=3,c=dl6-9=巾,

.♦.椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,

离心率6=\=坐，又知焦点在X轴上，

•••两个焦点坐标分别是(一/，0)和(小，0),

四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3)和(0,3).

归纳总结：解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的

焦点在哪个坐标轴上，再利用a,b,c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.

练习1求椭圆9/+产=81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

?2_____

解椭圆的标准方程为g+而=1,则a=9,b=3,c=yla2—b2=6yl2,长轴长：2a=18;短

轴长：2。=6；

焦点坐标：(0,672),(0,-6^2)；

顶点坐标：(0,9),(0,-9),(3,0),(-3,0).

离心率：

ea3,

例2椭圆的几何性质的简单应用

如图所示，己知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点尸与短轴两个端点3，&的连

线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为E—4，求这个椭圆的方程.

92

解依题意，设椭圆的方程为，+方=1（。泌＞0）,

由椭圆的对称性知同n=|昆尸|,

又BIF±B2F,

△B1EB2为等腰直角三角形，

:.\OB2\^\OF\,即―网=遮一木,

即a—C=4I5—小，且42=炉+〃，

b=c,

将上面三式联立，得＜4—C=，15一小，

、次=庐+，，

a=y[id

解得9

b=邓.

22

...所求椭圆方程为吉+5=1.

归纳总结：确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a,b,c的等

量关系，最后确定a?与〃的值即可确定其标准方程.

练习2已知椭圆的对称轴是坐标轴，。为坐标原点，厂是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆

的长轴长是6,且cosNOEl号，求椭圆的标准方程.

2

解：尸是椭圆的焦点，cos/O以=§,

...点A是短轴的端点,

.\\OF\=c,\AF\=a=3,

.c=2

,"一?

.,.c=2,Z?2=32—22=5,

7272

椭圆的标准方程是卷+!=1或a+5=1.

yJJy

例3椭圆的离心率的求解

（1）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为b（L0）,离心率等于1,则C的方程是

2

222222

土+j

A.——+—=1B.二+工=1C.——+—=1D.

344V34243

【答案】D【解析】:c=l,a=2,b=6,故选D.

⑵设品，尸2是椭圆E：5+£=1（。>6>0）的左，右焦点，P为直线尤=当上一点，△巳产品

是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

„2八4

A.2BqC'D.]

答案C

设直线尸竽与轴交于点则在中，

解析XM,ZPF2M=60°,RtAPF2M|PB|=|RB|=2c,

3_

巴M号」，故36。。=耨=亭$

Z\rrQ\ZCZ

33

解得£c=不故离心率6=疝

2

（3）已知圆G：^+2^+/=0,圆C2：A—2“+丁=0,c>0,椭圆C：/+£=l（a>6>0）,

且/=°2—廿.若圆ci,C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.[1.1)B.(0.1]

C.咨,1)D.(0,孚]

答案B

解析圆Cl,C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点（2c,。），上顶点（c,c）在椭圆内部,

・••只需JU上可得彳2结合e£（0,l）,可得OveW1

了十记W1,〔/—3/+120,

归纳总结：

y221

练习3⑴若焦点在工轴上的椭圆5+5v=1的离心率为点则相等于（）

A币B.|C.得D.1

答案B解析u：a2=2,b2=m,e=：=[1-・=yjI苫=；,

y22

（2）已知点尸（根,4）是椭圆”+方v=1（〃泌＞0）上的一点，Fi，民是椭圆的两个焦点

3

若△尸尸16的内切圆的半径为了则此椭圆的禺心率为.

3

答案5

解析一方面△尸尸击的面积为W（2〃+2c"；

另一方面△尸尸的面积为；|如卜2c,

^（2a+2c）-r=2\yp|•2c,・、（〃+（?）•r=\yp\-c,

又力=4，二椭圆的离心率为e=?=*

C-I。JC4-。

2

22

（3）己知耳、工为椭圆。：0+?=1（。〉2）的左、右焦点，若椭圆C上存在四个不同

点p满足心的面积为4石，则椭圆。的离心率的取值范围为

【答案】D【解析】设P（%,为）,5"用「；闺无卜闻=°加=4出，则

1yoi=逑若存在四个不同点P满足Sk.=46，则。＜闻＜2,即

cyja2-41

例4直线与椭圆的位置关系

R

（1）直线尸区T+1与椭圆5+^v2=1的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

答案A

解析直线尸丘一人+1=依一1）+1过定点（1,1）,且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.

（2）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,也）且斜率为k的直线/与椭圆与+＞2=1有两个

不同的交点P和。.求k的取值范围.

解由已知条件知直线I的方程为y=kx+yf2,代入椭圆方程得与十（日+也产=1.整理得

g+f|x2+2巾日+1=0.直线/与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于/=8合一4弓+3）=

4严一2>0,解得左〈一坐或左>芈.即左的取值范围为1-8,一坐)+8).

归纳总结：1.直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程

⑴4>0=直线与椭圆相交=有两个公共点.

(2)/=0=直线与椭圆相切=有且只有一个公共点.

⑶/<0=直线与椭圆相离=无公共点.

2.直线过的定点是否在椭圆内

练习4(1)已知直线/过点(3,-1),且椭圆C：导+5=1，则直线/与椭圆C的公共点的个

数为()

A.1B.1或2C.2D.0

?2

(2)若直线>=丘+2与椭圆5+5=1相切，则斜率k的值是()

亚3-D•—亚3「«—+亚3D•-+妇3

答案(1)C(2)C

解析(1)因为直线过定点(3,—1)且=+^^<1,

所以点(3,—1)在椭圆的内部，故直线/与椭圆有2个公共点.

72

(2)把y=kx+2代入行+方=1得(2+33)/+12依+6=0,由于/=0,

:.仁士乎.

例5直线与椭圆的相交弦问题

92

(1)已知椭圆花+》=1和点尸(4,2),直线/经过点尸且与椭圆交于A、8两点.当直线/

的斜率为小寸，求线段的长度；

解析⑴由已知可得直线I的方程为厂2=枭-4),

消去y可得x2—18=0,若设A(xi,ji),5a2,m).则xi+%2=0,

为冗2=-18.

于是I=yj(xi—%2)2+(yi—J2)2=(xi—X2)2+^(XI—X2)2=坐＞\/(x1+予人—4%

=^X6y[2=3y[id.所以线段AB的长度为3册5.

归纳总结：处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根

与系数的关系或中点坐标公式解决，

练习5如图，已知椭圆C：3+0=1(〃>/?>0)的一个顶点为A(2,0)

离心率为叩.直线>=%(%—1)与椭圆。交于不同的两点M,N.

(1)求椭圆。的方程；

(2)当△AMN的面积为^^时，求左的值.

7=2,

解(1)由题意得｛2=乎，解得b=小,所以椭圆c的方程为:+^=1.

222

<a=b+c9

y=k(x-l)9

(2)由<]得(1+23)/—4七+2/—4=0.

设点M,N的坐标分别为(为，%),(x2,竺)，

则—1),y2=k(X2—l)f

,4-2——4

XI+%2=]+2公，即尬=]+2产，

所以\MN\=^/(%2-%1)2+。2—刀)2=4(1+攵2)[。1+刀2)2—4X1X2]=空叵2笠翌土生1

又因为点A(2,0)到直线y=Z(x—1)的距离d=j[.

所以△AMN的面积为S=^\MN]-d=~^^-9

由呼萨=千，解得-±1.

例6中点弦问题

72

(1)已知椭圆去+]=1和点尸(4,2),直线/经过点尸且与椭圆交于A、B两点.

当P点恰好为线段AB的中点时，求/的方程.

b两式相减得淡萨+寸=。

解析设4(即，以)，5(X2,》2),则有

1,

整理得以8="二左=—小肾一由于P(4,2)是42的中点，...无i+尤2=8,巾+”=4,

X2—X136。2十州)，

9X811

于是kAB=­o7777=—,于是直线A3的方程为2=­z(x—4),

30入4Z乙

即x+2y—8=0.

归纳总结：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.

练习6已知椭圆C:9+V=1内有一条以点P(lj)为中点的弦4B,则直线4B的方程

为,

【答案】3%+3y-4=0

【解析】设力(乙,乃)，Bg,y2),则詈=1,华=1

*2

由4,8在椭圆上可得当+y/=i,^+y2=l,

(%1+%2)___2

36^1+72^3-|

直线4B的方程为y-：=—1(%—1)即3汽+3y—4=0.

例7椭圆中的最值（或范围）问题

72

（1）椭圆京+彳=1上的点到直线x+2y—啦=0的最大距离是（）

A.3B.VTTC.2小D.V10

答案D

解析设与直线x+2y—陋=0平行的直线为x+2y+wz=0与椭圆联立得，（-2y—机产+句2

加2

—16=0,即4y2+4my+4y2—16+m2=0得2y2+^y—4+彳=0.

/=根2一8/~-4）=0,即一/+32=0,./=±4y2..••两直线间距离最大是当m=4、/，时,

（2）已知歹是椭圆C：[+[=1的左焦点，P为c上一点，则|B4|+|P司

的最小值为

22

【答案】D【解析】设椭圆C:、■+]■=：!的右焦点为产'，易知E'（2,0）,E（—2,0）,

由得|AF[=；,根据椭圆的定义可得|P典+|尸尸|=2a=6,

513

所以1PAi+|PF|=|PA|+6Tpp|26—仙尸［=6—：=寸.

(3)已知动点P(x,y)在椭圆芸+木=1上，若点A的坐标为(3,0),由1|=1,且前•嬴=0,

求I前I的最小值.

解由区而=1,4(3,0),

知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，

:丽■•嬴=0且尸在椭圆上运动，J.PMLAM,即尸M为。A的切线，连

接B4(如图)，则|丽="两2—4那=4|尸丁|2_1,...当丽1mhi=a—c=5

—3=2时，|丽1min=d§.

归纳总结:

练习8(1)设P,Q分别为必+(y-6)2=2和椭圆土+/=1上的点，则RQ两点间的最

大距离是

A.5yf2,B.J46+C.7+^2,D.6A/2

【答案】D【解析】由题意可设Q(Mcosa,sintz),圆的圆心坐标为C(0,6),圆心到。的

距离为ICQ1=J(>Mcosa)2+(sina_6)2=J50-9(sina+gfW回=5&,当且仅

当sin。=—|时取等号，所以|为213冯。。1厘+厂=50+及=60,所以P,Q两点

间的最大距离是6亚.

2

(2)在椭圆?+/=1上有两个动点P,Q,E(l,0)为定点，EPLEQ,则EPQP的

最小值为.

【答案】|【解析】由题意得EP-QP=EP・(EP—EQ)=Ep2—EP-EQ=EP、

设椭圆上一点P(羽y),则EP=(x—l,y),

5=(->+/=(1)2+11-讣2{+|

42

又—2Wx<2,...当x=—3时，"石/取得最小值彳3.

(3)已知F是椭圆C：工+>2=1的左焦点,p为椭圆c上任意一点，点Q(4,3),则|PQ|+|PF|

2

的最大值为_______________

解析:因为点F为椭圆C:*y2=i的左焦点，

所以F(-1,O).

因为点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3),

设椭圆C的右焦点为F'(1,0),

所以|PQ|+|PF|=|PQ+2&-|PF'|=2夜+IPQHPF'I,

因为|PQ|-|PF'|W|QF'|=3企，

所以|PQ|+|PF|《5&,

即最大值为5e,此时Q,F',P共线.

故选A.

课后作业

A组基础题

1.椭圆土+尸=1的短轴长是（）

4'

1

A.4B.2C.1D.-

2

答案：B

【详解】椭圆工+>2=1的短轴长为26=2.

4-

2.若过椭圆工+）二=1内一点尸（3,1）的弦被该点平分，则该弦所在直线方程为（）

164

A.3%+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0

答案：A

【详解】点差法：设交点为A（玉,芳）,5（々,%）,则

(22

江+国=1

164=小一/।才一£_0=(石――)(X1+々)+%)_0

石门164164

----1-----1

1164

1,1(%-%)(%+%)3

---1

16--4(%一工2)(石+%2)4

3

=>AB:y-1=(x-3)=>3x+4y-13=0,

3.椭圆。：工+匕=1与直线/：（2〃?+1）%+（〃2+1）丁=7m+4,机6k的交点情况是（）

169

A.没有交点B.有一个交点

C.有两个交点D.由m的取值而确定

答案：C

【详解】已知（2〃?+1）%+（〃?+1）、=7m+4,直线过定点4（3,1）,

将4（3,1）代入C：

1+卷=1可得:K

所以点4（3,1）在椭圆的内部，所以必有两个交点.

4.椭圆工+乙=1的离心率为（）

43

A.-B.BC.-D.近

4422

答案：C

【详解】解：因为椭圆工+汇=1所以/=412=3,所以离心率6=41—眩=」.

43Va22

2

5.若点尸在椭圆C：^-+/=1,Fi,B分别为椭圆C的左右焦点，且/月2月=90。，则

鸟的面积为（）

A.73B.3C.4D.1

答案：D

2、L

【详解】：椭圆C:、X+y2=l,."2=4,b2=l.可得C=JL

因此放中，闺闾=2g,由勾股定理得|P4「+归6「=12①

根据椭圆的定义，得归用+|尸闾=2a=4②

①②联解，可得归国・忸闾=2,，的面积S=；pKHP£|=L

r221

6.已知椭圆j+v谷=1(a>A>0)的离心率为一，贝U

/b22

Aa2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b

答案：B

「1

【详解】椭圆的离心率e=—=一^二/一我化简得夜二止，

a2

x2y2

7.椭圆m+36=1的焦距是2,则m的值是：

A.35或37B.35C.37D.16

答案：A

8.若直线丁=履+2和椭圆]+方=10〉0)恒有公共点，则实数6的取值范围是()

A.[2,+oo)B.[2,3)U(3,+oo)C.[2,3)D.(3,+oo)

答案：B

22

【详解】椭圆二+二=1(90)得出人再，・・,若直线丁=辰+2

9b2

4

・,・直线恒过(0,2),・,.屏解得622,故实数b的取值范围是[2,3)U(3,+8)

9.如图所示，直线/：%-2丁+2=。过椭圆的左焦点八和一个顶点-该椭圆的离心率为(

A.-B.-C.—D.撞

5555

答案：D

直线/的斜率为:，则2=:，即忙J=L,解得£=型.

2c27c22a5

22

-7'I—=l(a〉0〉0)*,

10.过原点。的直线/与椭圆C：欧"交于〃，N两点，P是椭圆c上

异于M，N的任一点.若直线0M，PN的斜率之积为3,则椭圆c的离心率为

()

2V6V51

A.3B.3C.3D.2

答案：B

22

11.过椭圆胃■+]=1内一点p(l,l)引一条恰好被P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程

是_____________

答案：2x+3y—5=O

【详解】由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于人(%,%),5(9,%)两点，斜率

2U.q,即二出左，所以左=_2

为左，则，，两式相减得一1

x,+x%1-x32lx3

%T22

I32

2

所以所求直线方程为y-1=-j(x-l),即2x+3y-5=0.

3

12.如图所示，在AABC中，ZA=90°,tan3=一.以A、8为焦点的椭圆经过点C,若该

4

椭圆的焦距为4,则其短轴的长为

答案：4若

3

【详解】因为在AABC中，ZA=90°,tan5=-,AB=4,

4

所以AC=3,BC=ylAB-+AC2=5-由椭圆的定义得AC+5C=2«,所以。=4,

因为c=2,所以＜==2#)，故答案为：4A/3.

13.已知B为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若怛用+俨闾=2|片闾，则C的离

*C?率为.

答案：I

【详解】P为椭圆。上一点，由椭圆的定义知，归川+俨闾=2。，

因怛片|+忸q=2闺闾=4c,所以2a=4c,所以e=：=；

22

14.已知椭圆二+==1（a>b>0）的左右焦点分别为月（一。,0）,工（G。），过点尸2且

ab

2b

斜率为一的直线/交直线2Zzx+纱=。于若M在以线段/化2为直径的圆上，则椭圆的

a

离心率为.

答案：I

【详解】设直线/的方程为丁=一（尤—c）,联立2"+殴=0,解得〈；，即点四的

abe

y二—

La

（cbe।

坐标为5，-K,因为凹在以线段大工为直径的圆上，所以可"，工"，有

则—3。2+绊=0,解得2="，则椭圆的离心率为

FMFM=O

124a2a2

22

15.已知椭圆V:=+==1（。〉6〉0）的离心率为手,焦距为2招，斜率为k的直线/与

a"b

椭圆〃有两个不同的交点，4，B.

（」）求椭圆"的方程;

（2）若直线/过椭圆左焦点，且左=1,求|AB|.

/8

答案⑴小』⑵-

【详解】

a2=b2+c2,

c_G

（1）由题意得《~cTF

2c=2百，

解得a=2,b=l.

所以椭圆M的方程为—+/=i.

4-

（2）由（1）得椭圆的左焦点为「上0）,则直线/的方程为：y=x+j3

设A（4K）,§（%，%）•

V=X+A/3,

由＜x2,得5/+8后+8=0,

匕+…

又看+尤2

所以

22ra\

16.已知网L0）是椭圆C：■+匕=1（。＞人＞0）的焦点，点在C上.

（1）求C的方程；

（2）斜率为十的直线/与C交于A（%，x）,3（9,%）两点，当3%/2+4%%=0时，求

直线/被圆好+/=4截得的弦长.

答案⑴）口⑵半

【详解】解：（1）由己知得标―尸=1,因点在椭圆上，所以'+,=1

,2,2

所以/=4，/=3所以椭圆。的方程为：L+2=1

43

卜1

1一x~\~t

2

（2）设直线/的方程为y=—%+f,联立彳22，消去y得9+比+产—3=0,

2x+匕=1

T3

222

A=/-4（Z-3）=12-3Z>0,解得/<4,x1+x2=—t,项％2=干一3,

由3工］%2+4%%=0，即3%工2+41；了i:

-%%=0，

所以2%%2+，（石+Z）+2产=0（*）.

将为+%2=-%，玉%2=产一3代入（*）式，解得产=2,

由于圆心。到直线1的距离为d="!=*

V5V5

2屋T

所以直线/被圆。截得的弦长为/=2/4-罐=

B组能力提升

223

1.已知椭圆—+%=1（。〉6〉0）的离心率为左，右焦点分别为B,F2,过左焦点尸1

作直线与椭圆在第一象限交点为P,若心为等腰三角形，则直线「6的斜率为（）

A4夜R7&x8a

i\..----D.--------------------

787

答案：A

【详解】因为点P在第一象限，所以|2耳|>|巴"，

c354

因为e=—二—,所以。二一。，当|尸耳|=|与耳|=2c时，||=2。-2c=—。满足

a533

瑞|2—1。耳|2

ISF+IG4C2+4C2--C2R

cos二

1呷>1呷，^PFXF2__________9J

2|尸尸"I:上I

8c29

谑

所以sinNP耳工=J1--=—sin/尸耳月；4后

所以tan/P-E=

12V819cos〒二〒

APFXF2

9

所以直线尸耳的斜率为生g,当|尸鸟|=|片方|=2c时，

7

4

IPFr\=2a-\PF2\=2a-2c=-c<\PF2\,不符合题意.

综上所以直线PF】的斜率为逑.

7

2.在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆EiJ+^MKa〉人〉。）的右焦点为歹（c,0）,若

ab

厂到直线2Z?x—砂=0的距离为乎c,则E的离心率为（）

A.立B.-C.立D.走

2223

答案：A

【详解】由尸到直线2bx-@=0的距离为^c,得直线2区-砂=0的倾斜角为45，所

以丝=1,SP4(a2-c2)=a2,解得e=[.

3已知圆M:x2+(y-1)2=1,圆N:x2+(y+l)2=l,直线/i、〃分别过圆心M、N,且Zi与圆Af相交

22

于A、3,/2与圆N相交于C、D尸是椭圆土+匕=1上的任意一动点，则PAPB+PCPD

34

的最小值为()

A.乖)B.273C.3D.6

答案：D

【详解】如图所示，圆心M(0,1)，M。，-I)即为椭圆的焦点.

当且仅当|PM=|PW=2时取等号PM+PN^>

22

PAPB+PCPD=PM+PN-2>6-

故选:D.

4.点P为椭圆工+匕=1上任意一点，EF为圆N:（x—1>+丁=1的任意一条直径，则

1615

PE-P尸的取值范围是（）

A.(8,24)B.[8,24]C.[5,21]D.(5,21)

答案：B

【详解】由题意，

PEPF=（PN+NE〉（PN+NF）=（PN+NE、（PN-NE）=一|NE『

又所为圆N:（x-1）2+V=1的任意一条直径，则M=1,

22

在椭圆三+汇=1中，有a—c«|PN|Wa+c,即3W|PN|<5,

16151111

所以，8<|P2V|2-1<24,故尸£・尸R=’2年一1的取值范围为[8,24].

22

5.已知尸2分别为椭圆土+匕=1的左、右焦点，/是椭圆上的一点，且在y轴的左侧

168

过点色作鸟的角平分线的垂线，垂足为M若|ON|=2（。为坐标原点）则

|四等于（）

V3空

答案：A

【详解】延长KN交MK的延长线于点尸，作图如下:

因为MN为的角平分线，且,F?NJLMN,

所以w国=四尸|,所以W词—W闺闺=闺|

因为QN分别为耳心,6P的中点，所以ON为AP耳玛的中位线,

所以|ON|=g闺4=2,所以|九码—|阿闫£H=2|ON|=4.

2

6.已知Fi,尸2分别是椭圆C：二=1（a＞0/＞0）的左、右焦点，过后的直线/交椭

a十%

圆于。、E两点，|。制=5闺目，|£＞周=JL且轴•若点P是圆。：必+y=1上

的一个动点，贝1归耳卜归耳|的取值范围是（）

A.[3,5]B.[2,5]C.[2,4]D.[3,4]

答案:A

【详解】由题意可知，D(c,吟,E

[22「21

~+77=1

将。，石代入椭圆方程得＜a2n丁一5,所以耳(_2,0),玛(2,0),

，2

[4195a1+225b=21A-4

设?(cos6,sin。),

贝U2耳HP工kJ(cos8+2)2+sir?eJ(cos6-2『+sin?8=V25-16cos26＞，

所以归7小忸闾的取值范围是[3,5].

7.已知R,B分别为椭圆C：1+工=1（。＞2）的左右焦点，若椭圆C上存在四个不

a24

同的点尸，满足AP耳鸟的面积为4形，则椭圆C的离心率的取值范围（）

D.GJ

答案：B

【详解】因为焦点三角形面积最大值为Z?c=2c,

故只需2c>4应，即c>2后即可满足题意.

又工=(2近,+oo

a

易知£〉逅，又ee（O,l）综上则e

a3

22

8.已知方为椭圆C：土+匕=1的右焦点，过尸的直线/交椭圆。于A,8两点，M为

62

的中点，则M到x轴的最大距离为（）

11「A/3

A.-B.—X•---D.正

3232

答案:C

【详解】因为/=612=2,所以椭圆的右焦点坐标为（2,0）.设4（和的）,5（孙％），

直线/：x=ty+2,（显然当直线斜率为。时，不可能最大），与椭圆方程联立得,

2+3)/+49—2=0,所以％+%=—产：3

-3-,所以又到无轴的距离为当~

即弦AB的中点M纵坐标为%、%

2r+3r+3

2M22

T.故加到x轴的最大距离为走

当时，/+3

45