专题16 解答压轴题型：函数综合题（解析版）

专题16解答压轴题型：函数综合题一、解答题1．（2023·广东深圳·校联考二模）（一）、问题背景：数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个的直角三角形中，，，如图1顶点D，E，F，G刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积．（二）、问题提出与解决：（以下问题二选一解答）（1）小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点A，B，C分别落在坐标轴上，提出问题：如图2，如果反比例函数图像经过顶点D，试求出反比例解析式．（2）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将此教具放入圆内，使圆经过其顶点A，B，C，提出问题：怎么算出圆的面积?【答案】（一）；（二）（1）；（2）【分析】（一）如图1，由题意知，，，，则，，，，，根据，计算求解即可；（二）（1）如图2，过作轴于，由题意知，，，，，，在中，由勾股定理求，证明，则，求得，，同理，则，求得，，则，，代入反比例函数解析式求，进而可得反比例函数解析式；（2）如图3，取中点，作，取圆心，连接，，则，由正方形的性质，设，，在和中，由勾股定理得，，即，求的值，的值，进而可得的半径，然后代入圆的面积公式进行求解即可．【详解】（一）解：如图1，由题意知，，，，∴，∴，，∴，，∴，∴此直角三角形的面积为；（二）（1）解：如图2，过作轴于，由题意知，，，，，，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，即，解得，，同理，∴，即，解得，，∴，∴，∴，∴反比例函数解析式为；（2）解：如图3，取中点，作，取圆心，连接，，则，由正方形的性质，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴的半径为，∴，∴圆的面积为．【点睛】本题主要考查了正弦、正切，相似三角形的判断与性质，反比例函数，正方形的性质，圆的面积，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，∵四边形为矩形，为的中垂线，∴，，∵，∴点，代入，得：，∴，∴抛物线的解析式为；（2）∵四边形，四边形均为正方形，，∴，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，∴，∵，当时，，解得：，∴，，∴，∴；（3）∵，垂直平分，∴，∴，设直线的解析式为，则：，解得：，∴，∵太阳光为平行光，设过点平行于的光线的解析式为，由题意，得：与抛物线相切，联立，整理得：，则：，解得：；∴，当时，，∴，∵，∴．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．3．（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．(1)的值为

；(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则

（填“”或“”或“”）【答案】(1)(2)图见解析，和(3)或【分析】（1）把点代入即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．【详解】（1）解：当时，，∴．（2）平移后的图象如图所示：由题意得：，解得，当时，，则交点坐标为：，当时，，则交点坐标为：，综上所述：与的交点坐标分别为和．（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．4．（2021·广东深圳·统考中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可．【详解】（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；（2）①存在；∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；③；设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，联立得，，故．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．5．（2023·广东深圳·校考模拟预测）小明同学在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456……15800315……15800315…（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．（Ⅲ）根据图象解决以下问题：（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答：．（2）探究发现直线与函数的图象交于点E，F，，，则不等式的解集是______．（3）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．①求直线的解析式；②探究应用：将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．【答案】（I）表格见解析；（II）图象见解析；（Ⅲ）（1）x轴下方的图象进行关于x轴对称变换，在x轴上方的图象不变；（2）或；（3）①；②0或【分析】（I）将值代入函数式求出对应的函数值，据此填表即可得到答案；（II）先描点，再连线即可得到函数图象；（Ⅲ）（1）通过观察函数图象，即可得到答案；（2）作出直线的图象，结合图象即可得到不等式的解集；（3）①先求出函数与x轴和y轴的交点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；②先根据直线与函数有三个交点，得到，再根据直线向上平移，且直线与有且只有一个交点时，满足条件，求出m的值即可得到答案．【详解】解：（I）表格如下所示：x…－2－10123456……1583003815…（II）根据（I）中的表格描点，函数图像如下所示：（Ⅲ）（1）通过观察可知，将函数在x轴下方的图象进行关于x轴对称变换，在x轴上方的图象不变，即可得到函数的图象，故答案为：x轴下方的图象关于x轴对称，在x轴上方的图象不变；（2）如图，在直角坐标系中画出直线的图象，观察图象可知，，即函数在直线上方时的图象，直线与函数的图象交于点E，F，，，不等式的解集是或，故答案为：或；（3）①函数的图象与x轴交于A，B两点，令，则，解得：，，B位于A的右侧，，，函数的图象与y轴交于点C，令，则，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为；②I.当直线经过点B时，如下图，直线与函数有三个交点，满足条件，II观察图象可知，平移后的直线与函数的图象恰好有3个交点，直线只能向上平移，当时，函数，设平移后的直线解析式为，此时直线与有且只有一个交点，只有一个解，，即有两个相等实数根，，，综上所述，将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，此时m的值为0或．【点睛】本题考查了绝对值的性质，二次函数的图象，函数图象交点确定不等式解集等知识，准确画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．6．（2023·广东深圳·统考二模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：在中，下表是y与x的几组对应值．…0123……73113…(1)______，______；(2)平面直角坐标系中，画出函数的图象；(3)根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线．（

）②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（

）③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值．（

）(4)若方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是______．【答案】(1)2，(2)见解析(3)，，(4)【分析】(1)观察表格，函数图象经过点，，将这两点的坐标分别代入解析式，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；再把和分别代入所求的解析式，即可求出m，n的值；(2)根据表中的数据，通过描点、连线，即可画出函数图象；(3)根据函数图象即可一一判定；(4)当函数的图象经过点时，可得，此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，再结合图象即可解答．【详解】（1）解：观察表格，此函数图象经过点，，将这两点的坐标分别代入解析式，得，解得，∴这个函数的表达式为；∴当时，，当时，，故答案为：5，；（2）解：列表如下：…0123……753113…描点、连线，画图如下：（3）解：根据图象，判断如下：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线．（）②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（×）③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值．（）故答案为：，，；（4）解：当函数的图象经过点时，，解得，此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，故当时，函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，即方程组有且只有一个公共解，故答案为：．【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键．7．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）【定义】定义1：在平面直角坐标系中，过一点作某一直线的垂线，这个点与垂足之间的线段长，称为这个点到这条直线的垂直距离．定义2：在平面直角坐标系中，过一点作轴的平行线，与某一直线交于一点，两点之间连线的长度称为这个点到直线的竖直距离．例如，如图1，过点作交于点，线段的长度称为点到的垂直距离，过作平行于轴交于点，的长就是点到的竖直距离．

【探索】当与轴平行时，，当与轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为时，______．【应用】如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点与喷水口点的距离，建立如图3所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点，最远处落在草坪的处，

（1）______．（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，则的最大值是多少？

【拓展】（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与轴相切，若此时，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，最高应为多少？

【答案】【探索】；【应用】（1）；（2）的最大值为；

【拓展】（3）【探索】：延长交x轴于D，设直线交x轴于点E，设，则可得点D的坐标，从而得，由直线解析式可求得点E的坐标，则可得，由可得的关系，由勾股定理即可求得的关系；【应用】（1）延长交x轴于点F，则可求得点B的坐标，把此点坐标代入抛物线解析式中即可求得b的值；（2）由（1）可得点A的坐标，则可求得直线的解析式，设设，，可求得的表达式及其最大值，再由即可求得的最大值；【拓展】（3）取中点G，作交x轴于点H，则H为圆心，延长交圆弧于点N，过N作平行于y轴交于点M，此时即为最大；在中可求得其三边的长，则可求得，在含的直角中，即可求得．【探索】解：如图，延长交x轴于D，设直线交x轴于点E，则，设，由轴，则，∴，；令，得，即，∴，∴；∵，∴，∴，即，由勾股定理即可求得，∴；

故答案为：；【应用】解：（1）如图，延长交x轴于点F，则轴，由题意知：，由勾股定理得：，∴，，由于点B在抛物线，∴，∴；

故答案为：；

（2）由（1）知：,设直线的解析式为，则，∴，即直线的解析式为；由于点M在直线，点N在抛物线上，且轴，故设，，，即的最大值为，∵∴；

即的最大值为；【拓展】（3）解：如图所示，取中点G，作交x轴于点H，则H为圆心，延长交圆弧于点N，

过N作平行于y轴交于点M，此时即为最大，在中，，，∴，∴，在中，，，即最高应为．

【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了一次函数与二次函数的图象与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合运用这些知识是解题的关键．8．（2023·广东深圳·二模）探究函数的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小明的研究过程，请补充完整：(1)函数的自变量x的取值范围是______；(2)下表是y与x的几组对应值：x…123…y…m…求m的值；(3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图像；(4)进一步探究发现，该函数图像在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图像，写出该函数两条不同类型的性质：______．【答案】(1)(2)(3)画图见解析(4)性质：①当或时，随的增大而减小，②该函数与轴有唯一交点【分析】（1）由分式有意义的条件可得函数的自变量的取值范围为；（2）把代入函数可得答案；（3）根据所描的点用光滑的曲线连接即可；（4）根据函数的图象总结两条性质即可．【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是；（2）把代入函数可得：；（3）画函数图象如图示，（4）由函数图象可得性质：①当或时，随的增大而减小，②该函数与轴有唯一交点．【点睛】本题考查的是函数的自变量的取值范围，求解函数值，画函数图象，归纳函数图象的性质，掌握“画函数图象以及根据图象总结函数的性质”是解本题的关键．9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示．(1)一次函数必定经过点________．（写点的坐标）(2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积．(3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．【答案】(1)(2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6(3)【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果；（2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可；（3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围．【详解】（1）解：由题意知，令，即，则，∴一次函数必定经过点，故答案为：；（2）解：∵，则，联立，解得，，∴，，∴，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，∴∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6．（3）解：由题意知，，令，整理得，令，解得，∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．（2023·广东深圳·统考模拟预测）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是；（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？【答案】（1）；（2），；（3）80米【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可；（2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可；（3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案．【详解】解：（1）如图，过点D作于点H，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴；故答案为：；（2）把代入中，得：，∴，把代入，得：，∴，∴双曲线的解析式为，联立，得：，即，解得：，，∴，∴；如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，则，整理得：，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴直线的解析式为，由，解得：，∴，∴；故答案为：；．（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，则，∵直线平分第二、四象限角，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，代入，得，解得：，∴，联立得：，解得：或，∴，，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算．11．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．(1)如图3，点，，则投影比的值为______；(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；；；；．(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则矩形为的投影矩形，由点得到，从而即可得到答案；（2）先根据坐标作出图形，再根据投影比的定义即可求解；（3）设出点的坐标，分和两种情况考虑，找出两种情况下的投影矩形，根据投影比的定义列出关于的方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则矩形为的投影矩形，点，，投影比的值为，故答案为：（2）解：如图所示：，当点的坐标为时，此时投影比，当点的坐标为时，此时投影比，当点的坐标为时，此时投影比，当点的坐标为时，此时投影比，点的坐标可能是，，故答案为：；（3）解：点在函数（其中）的图象上，设点坐标为，当时，如图所示，，作投影矩形，，，解得：，；当时，如图所示，，作投影矩形，点坐标为，点坐标为，，，，，，解得：，点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是作出图形，找出投影矩形的长边和短边长，分情况考虑，利用数形结合的思想解决问题．12．（2023·广东深圳·校联考二模）（一）、概念理解：在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴（包括轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数和是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．（二）、问题解决：（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式__________．（2）将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中_________，_________．这对共根函数的共根点坐标是_________．…01234……8038…（三）、拓展提升（3）在（2）条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）作图见解析，，；（3）存在，【分析】（1）先设一次函数共根点为共根函数经过点，设一次函数共根点为的共根函数为，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据抛物线的对称性，得出，然后根据描点法画出图象，以及平移后的图形，根据图象可知共根轴为，进而求得共根点坐标是；（3）平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，结合图形即可求解．【详解】解：（1）如图所示，由可得，当时，，当时，，点关于对称的点的坐标为设一次函数共根点为的共根函数为，则解得：∴一次函数共根点为的共根函数为；故答案为：．（2）解：如图所示，根据对称性可得列表如下，描点，连线如图所示，将向右平移1个单位得到，根据图象可知共根轴为，由，令，解得：∴这对共根函数的共根点坐标是，故答案为：，．（3）根据（2）可知当时，或，设∴,∵平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，根据题意，，解得：，；解得：，如图所示，根据函数图象可知，只有一种情形满足题意，即解得：【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，画二次函数图象，数形结合是解题的关键．13．（2023·广东深圳·统考三模）如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．∴，即，设抛物线解析式为，将代入得，解得：，∴抛物线解析式为（2）解：∵，∴,如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）请阅读下列解题过程；解一元二次不等式；．解；设，解得；，．则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知；当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为；．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题；(1)用类似的方法解一元二次不等式；．(2)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下；①列表；与的几组对应值如表，其中______．…01234……50010…②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．③结合函数图象，解决下列问题；不等式的解集为；______．【答案】(1)（1）；(2)①；②见解析；③或【分析】（1）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；（2）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．【详解】（1）解：设，解得；，，则抛物线与轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知；当时函数图象位于轴上方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为：；（2）解：①当时，，即列表；…01234……50010…故答案为：；②描点，连线，函数图象如图：③由图象可知；由图象可知：当或时函数的图象位于与0之间，此时，即．一元二次不等式的解集为：或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．15．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程有______个实数根；②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．【答案】（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．【详解】（1）x=-2时，m=（-2）2-=0；故答案为：0；（）如图所示（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，所以有三个根，分别是、、；即答案为3；②∵关于的方程有四个根，∴函数的图象与y=a有四个交点，由函数图象知：的取值范围是．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．16．（2023·广东深圳·深圳大学附属中学校考一模）我们定义【，，】为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是【，，】，函数的“特征数”是【，，】，函数的“特征数”是【，，】．(1)若一个函数的特征数是【，，】，将此函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______．(2)将“特征数”是【，，】的函数图象向上平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______．(3)当“特征数”是【，，】的函数在直线和直线之间的部分包括边界点的最高点的纵坐标为时，求的值．(4)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点当若（3）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为时，直接写出的值为常数【答案】(1)【，，】(2)(3)的值为或(4)的取值为或或【分析】由函数的特征数是【，，】，知函数为，将函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，即可得到答案；由函数的“特征数”是【，，】，得函数解析式为，将图象向上平移个单位得新函数解析式为；“特征数”是【，，】的函数解析式为，抛物线的顶点为，对称轴是直线，分四种情况：当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，当，即时，抛物线的最高点在取得，有，当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，分别解方程可得答案；由抛物线的顶点坐标为，且，分四种情况：当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；，即时，有两种情况：抛物线与直线有两个交点，可得，，故，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得，故，当时，可得，故，解方程可得答案．【详解】（1）函数的特征数是【，，】，函数为，将函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，函数的“特征数”是【，，】，故答案为：【，，】；（2）函数的“特征数”是【，，】，函数解析式为，将函数的图象向上平移个单位得新函数解析式为，故答案为：；（3）“特征数”是【，，】的函数解析式为，抛物线的顶点为，对称轴是直线，由抛物线的性质可知，当与时，相等且，当，即时，抛物线的最高点在处取得，，解得，不符合题意，舍去；当，即时，抛物线的最高点在处取得，，解得或舍去，当，即时，抛物线的最高点在取得，，解得舍去或舍去，当，即时，抛物线的最高点在处取得，，解得，综上所述，的值为或；（4）由知抛物线的顶点坐标为，且，当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；，即时，需要分以下两种情况：抛物线与直线有两个交点，如图，两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为，，，；，解得，抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为，到轴距离与到轴距离都为，到轴距离为，即，，，解得舍去或；当时，如图：两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为，，又，，，，解得或舍去，综上所述，的取值为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，平移变换和对称变换，解题的关键是分类讨论思想的应用，有一定的难度．17．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．(1)求该抛物线的表达式；(2)点E是线段的中点，连接并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）把A，坐标分别代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）令，解方程求出的坐标，再根据中点坐标公式求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线和抛物线解析式，解方程组求出点的坐标即可．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，，解得，该抛物线的表达式为；（2）解：令，则，解得，，，是的中点，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立方程组，解得或，．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，中点坐标公式，直线和抛物线的交点等知识，关键是求出抛物线解析式．18．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点，关于x轴斜对称，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．(1)下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）；①，②，③，④．(2)若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值；(3)抛物线上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且为等腰直角三角形，则b的值为________．【答案】(1)①④(2)或(3)【分析】（1）根据关于x轴斜对称的定义进行逐一判断即可；（2）根据关于x轴纵对称的点的定义，设，如图所示，设与x轴相交于点C，根据三角形面积公式求出，再分点C在x轴正半轴和在x轴负半轴两种情况求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再把点B的坐标代入到直线中进行求解即可；（3）根据成纵对称的点的定义，可知这两个点的纵坐标为，再令，则，可得点M的坐标为，点，然后根据为等腰直角三角形，可得，可得到关于b的方程，即可求解；【详解】（1）解：由题意得，与点关于x轴斜对称的点是，，故答案为：①④；（2）解：由斜对称的定义可设，且，如图所示，设与x轴相交于点C，∴，；①当C在x轴正半轴时：，，设直线的函数解析式为：，∴，∴，∴直线的函数解析式为：，把代入中得，∴，把代入中得；②当C在x轴负半轴时：，同理可得的函数解析式为：把代入中得得，∴，把代入中得；综上所述，或；（3）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点D的坐标为，∵点M，N与点A关于x轴斜对称，∴点M，N的纵坐标为，令，则，解得：，∴点M的坐标为，点，∵为等腰直角三角形，∴，且，∴，解得：或0（舍去），∵当时，N不是A关于x轴的斜对称，∴．故答案为：．【点睛】本题属于新定义题，是一次函数与几何图形，二次函数与一元二次方程的综合，难度较大，解题的关键是理解新定义，并能灵活运用所学知识进行解答．19．（2023·广东深圳·校考二模）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点Q为点P的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．(1)①点的限变点的坐标是________；②以下三个选项中的点是反比例函数图象上某一个点的限变点的是（

）A．

B．

C．(2)若点P在一次函数的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象点Q的纵坐标的取值范围为________．

(3)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数的图象上，其限变点Q的纵坐标的取值范围是或，其中，令，求s关于t的函数解析式．【答案】(1)①；②B(2)图象见解析，(3)【分析】（1）①由题意知，，中，则，进而可得限变点坐标；②分别求出各选项点坐标的限变点，然后代入反比例函数中进行判断即可；（2）由题意知，Q的函数表达式为，然后在坐标系中画函数图象，进而可确定的取值范围；（3）根据限变点的定义进行分情况求解：若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；当时，的值小于，即，进而可得．【详解】（1）①解：，∵，∴，∴点的限变点的坐标是，故答案为：；②解：由题意知，的限变点坐标为；的限变点坐标为；的限变点坐标为；将代入得，，则不在反比例函数图象上，故A不符合要求；在反比例函数图象上，故B符合要求；将代入得，，则不在反比例函数图象上，故C不符合要求；故选：B；（2）解：由题意知，Q的函数表达式为，画图象如下：

由图象可得，的取值范围为；故答案为：；（3）解：由题意知，分情况求解：若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；

当时，的值小于，即，∴，∴s关于t的函数解析式为．【点睛】本题考查了新定义下的一次函数图象与性质、反比例函数、二次函数的图象与性质．解题的关键在于理解题意并数形结合．20．（2023·广东深圳·校联考一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；当时，．(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．(4)若方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】(1)(2)见解析(3)(4)【分析】（1）把，；，代入求解即可；（2）由，得出，再根据函数的图象写出函数的性质；（3）根据图象得出不等式的解集；（4）根据题意画出图象，再根据有四个不相等的实数根，得出结果．【详解】（1）解：在函数中，当时，；当时，，，解得，这个函数的表达式为；（2）解：，，函数过点和，函数过点和，该函数图象如图所示，性质：当时，的值随的增大而增大；（3）解：由函数的图象可得，不等式的解集为：；（4）解：由得，作出的图象，由图象可知，要使方程有四个不相等的实数根，则，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的画法，由图象写出不等式的解集，解题的关键是熟练掌握函数的图象和性质并正确画出图象．21．（2023·广东深圳·二模）已知二次函数经过点，，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，，或【分析】（1）将、代入二次函数求得、的值即可确定二次函数的解析式；（2）分以为底和以为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．【详解】（1）解：二次函数经过点、，根据题意，得，解得，抛物线的解析式为．（2）存在．对称轴为直线．①若以为底边，则，设点坐标为，根据勾股定理可得，，因此，即．又点在抛物线上，，即，解得，，应舍去，，，即点坐标为，．②若以为一腰，点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称，此时点坐标为．符合条件的点坐标为，或．【点睛】本题考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图像和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．22．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校（集团）高新中学校考三模）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．设距水枪水平距离为d米时，水柱距离水面的高度为h米，现测量得出如下数据．d（米）0h（米）m0请解决以下问题：(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．

(3)h关于d的函数关系式为：______（不需写出自变量的取值范围），表格中m的值为______．(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后，水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中）【答案】(1)(2)见解析(3)，2(4)提升水枪高度后水柱不会喷到水池外面．【分析】（1）根据表中所给数据，找到对称轴和顶点的坐标，即可写出水柱最高点距离水面的高度；（2）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；（3）设二次函数的顶点式，求出解析式后，求解即可；（4）由题意，设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．【详解】（1）解：由表格中所给数据知，当米时，米；当米时，米；∴抛物线的对称轴为直线，∵当时，米，∴抛物线的顶点坐标为，∴水柱最高点距离水面的高度为米．故答案为：；（2）解：该函数的图象如图所示，

；（3）解：根据图象设二次函数的解析式为，将代入得，解得，∴抛物线的解析式为，即，把(0，m)代入解析式得，∴表格中m的值为2．故答案为：，2；（4）解：由题意知提升水枪高度后抛物线的解析式为，即，当时，，解得，（不合题意，舍去），∴，∵，∴提升水枪高度后水柱不会喷到水池外面．【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．23．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)用类似的方法解一元二次不等式：．(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．…401234……50010…②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：

【答案】(1)①，③(2)(3)①全体实数；；②见解析；③或或【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；（2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；（3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；故答案为：①，③（2）解：，设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．

由图象可知：当时函数图象位于轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：；（3）解：①自变量的取值范围是全体实数；当时，，即列表；…01234……50010…故答案为：全体实数；；②描点，连线，函数图象如图：

③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即．一元二次不等式的解集为：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．24．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小欣研究了函数的图象与性质，其研究过程如下：(1)绘制函数图象①列表：下表是与的几组对应值，其中______；…012……32…②描点：根据表中的数值描点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．(2)探究函数性质：下列说法不正确的是（

）A．函数值随的增大而减小

B．函数图象不经过第四象限．C．函数图象与直线没有交点

D．函数图象对称中心(3)如果点、在函数图像上，如果，则______．【答案】(1)①1；②描点见解析；③补充图象见解析；(2)A(3)0【分析】（1）①将代入即得m的值；②描出即可；③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；（2）根据图象，数形结合即可判断．（3）由得，从而有，于是即可得．【详解】（1）解∶①时，，故答案为：1；②如图∶∵，∴A即为补充描出的点；③补充图象如图∶（2）解：根据函数图象可得∶A．每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故A错误；B．图像不经过第四象限，故B正确；C．当时，无意义，所以函数图象与直线没有交点，故C正确；D．图象关于对称，故D正确．故选A．（3）解：∵，∴，∵点、在函数图像上，∴，，∴，故答案为：0．【点睛】本题考查函数的图形及性质分式的加减，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法∶用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．25．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考一模）二次函数的图象交轴于原点及点．【感知特例】(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：…（___，___）………①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．【形成概念】我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．【答案】(1)①；②见解析(2)①；②；③【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，设符合条件的抛物线M的解析式为，，再由抛物线M与有唯一交点，分两种情况：当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时符不符合题意；当时，有，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：①∵点与点关于点A中心对称，∴点A的坐标为，即，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：（2）解：①当时，抛物线L为，对称轴为，∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：；②L：，设顶点为，过点P作轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，由题意得：，∴，∴，∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，∴或，解得m=0，当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，∴．③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，∴设符合条件的抛物线M的解析式为，∴，整理得：，∵抛物线M与有唯一交点，当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当时，，即，整理得：，∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，∴当m取任意实数时，上述等式成立，∴，解得：，∴该函数解析式为．故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．26．（2023·广东深圳·校考三模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程．(2)下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标为________．(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．【答案】(1)，喷出水的最大射程为(2)(3)【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；（2）根据对称性求出平移分式，再根据平移方式即可求出点的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．又∵抛物线经过点，∴，∴．∴上边缘抛物线的函数解析式为．当时，，∴，（舍去）．∴喷出水的最大射程为．（2）解：∵对称轴为直线，∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移得到，∴点的坐标为，故答案为：．（3）解：如图，先看上边缘抛物线，∵，∴点的纵坐标为0.5．当抛物线恰好经过点时，．解得，∵，∴．当时，随着的增大而减小，∴当时，要使，则．∵当时，随的增大而增大，且时，，∴当时，要使，则．∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，∴的最小值为2．综上所述，的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．27．（2023·广东深圳·二模）小明对函数的图象和性质进行了探究．已知当自变量的值为1时，函数值为4；当自变量的值为2时，函数值为3；探究过程如下，请补充完整：（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式的解集：．【答案】（1）；（2）图象见解析；当时，随的增大而增大；（3）或【分析】（1）将x＝1，y＝4；x＝2，y＝3代入函数关系式求解即可；（2）在坐标系中描出各点，即可画出函数图象，结合图象可知图象性质．（3）先分别求出及的解，再结合图像即可得到解集．【详解】（1）将x＝1，y＝4；x＝2，y＝3代入函数关系式得：解得∴．（2）列表：x－3－2－101234y1430－5描点、连线得函数图像如图所示：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（3）令，解得：，令，解得：（舍去），结合函数图像可知：当时，或，∴不等式的解集为或【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数关系式，通过列表描点连线画函数图像以及比较函数值大小等知识点，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．28．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，甲、乙分别从，两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒3个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为秒．规定：秒时，甲到达的位置记为点，乙到达的位置记为点，例如，1秒时，甲到达的位置记为，乙到达的位置记为（如图所示）；2.5秒时，甲到达的位置记为等等．容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究（物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法）．现对秒时，甲、乙到达的位置点，，按如下步骤操作：第一步：连接；第二步：把线段进行平移，使点与点重合，平移后，点的对应点用点标记．解答下列问题：(1)【理解与初步应用】当时，①利用网格，在图中画出，经过上述第二步操作后的图形；②此时，甲在乙的什么方位？（请填空）答：此时，甲在乙的北偏西（其中___________），两者相距___________个单位长度．(2)【实验与数据整理】补全下表：的取值123点的坐标（_______，___________）（___________，___________）（___________，___________）(3)【数据分析与结论运用】①如果把点的横、纵坐标分别用变量x，y表示，则y与x之间的函数关系式为___________．②点的坐标为___________．(4)【拓展应用】我们知道，在运动过程中的任意时刻，甲相对于乙的方位（即，点相对于点的方位）与相对于点B的方位相同．这为我们解决某些问题，提供了新思路．请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为___________个单位长度．【答案】(1)①作图见解析部分；②，(2)，6，3，9，，(3)①，②（5，10.5）(4)【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用勾股定理，解直角三角形解决问题；（2）分别求出，的长，可得结论；（3）①设，，消去，可得结论；②代入（2）中式子，可得结论；（4）根据垂线段最短，构建一次函数，确定交点坐标，利用两点之间距离公式求解．【详解】（1）解：①图形如图所示：②时，，，．此时，甲在乙的北偏西（其中，两者相距个单位长度．故答案为：，；（2）解：时，，时，，．故答案为：，6，3，9，，；（3）解：①由（2）可知，，，．故答案为：；②；（4）解：由题意，，当直线时，的值最小，此时过点的直线的解析式，由，解得，．，，，甲、乙之间的最近距离为个单位．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．29．（2023·广东深圳·统考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线关于轴的矢高是4，当时，，解得：，∴点，∴跨径是，∴矢跨比是；故答案为：4；4；1②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，∴抛物线经过点的矢高是，∵与抛物线开口方向与大小一样，∴可设该抛物线解析式为，把点代入得：，解得：（舍去）或3，∴该抛物线解析式为，当时，，解得：或2，∴该抛物线与x轴的另一个交点为，∴该抛物线的跨径是，∴它关于轴的矢跨比是；【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，∴第一条抛物线的解析式为，对于，顶点坐标为，当时，，∴第二条抛物线的跨径是，对于，当时，，∴第一条抛物线的跨径是，∵，∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；故答案为：【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，∴主跨的矢高是米，根据题意得：，解得：，∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，∴边跨的矢高是米，∴边跨的矢跨比是．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．30．（2023·广东深圳·统考一模）某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y＝﹣10x+1000(2)销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（40，600），（80，200）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；（2）由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝70时，W有最大值为9000，答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．31．（2023·广东深圳·统考二模）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半．下面根据圆周角定理进行探究．(1)如图1，是的弦，点C是上一点，连接，过点O作于点D，连接，，求的大小．(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点P为直线上的一个动点．请从：①；②；③中任选一个，求出相应的P点坐标；（ⅱ）如图3，点M为直线上的一个动点，连接．当最大时，求出此时的面积．【答案】(1)(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）【分析】（1）连接，由，得即可求解；（2）（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图），设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线上，设则；①当时：；②当时：；③当时：进而及可得点P；（ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1）；设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，则有，如图2，当与直线CD相切时，最大，，此时为等腰直角三角形，再由进而可得，即为等腰直角三角形，进而及可求解；【详解】（1）解：连接，∵，，∴，∵，∴，（2）（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图），设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线上，设，则，∴，①当时：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此时，当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，综上所述，当时，或，②当时：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此时，当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，综上所述，当时，或，③当时：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此时，当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，综上所述，当时，或，（ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1），设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，，则有，如图2，当与直线相切时，最大，∴，此时为等腰直角三角形，，，在中：，解得：或（舍去），∴，∴，即为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，【点睛】本题主要考查圆的综合应用、三角函数综合、等腰直角三角形、勾股定理等．掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．32．（2023·广东深圳·校联考一模）【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，是点P对线段的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点，，，则原点O对三角形的视角为______；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆，以原点O，半径为4画圆，证明：圆上任意一点P对圆的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．【分析】（1）延长交x轴于点D，过点C作轴于点E，可得轴，，，进而得到，，再由锐角三家函数可得，即可求解；（2）过圆上任一点P作圆的两条切线交圆于A，B，连接，，则有，，根据锐角三家函数可得，，从而得到，即可求证；（3）分三种情况：当在直线与直线之间时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，；当在直线上方时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，；当在直线下方时，视角是，此时以为圆心，DC半径画圆，交直线于，，即可求解．【详解】解：（1）延长交x轴于点D，过点C作轴于点E，∵点，，，∴轴，，，∴轴，∴，，∴，，∴，∴，即原点O对三角形的视角为过答案为：（2）证明：如图，过圆上任一点P作圆的两条切线交圆于A，B，连接，，则有，，在中，，，∴，∴，同理可求得：，∴，即圆上任意一点P对圆的视角是，∴圆上任意一点P对圆的视角是定值．（3）当在直线与直线之间时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，，∵，，不符合视角的定义，，舍去．同理，当在直线上方时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，，不满足；过点作交延长线于点M，则，∴，∴当在直线下方时，视角是，此时以为圆心，DC半径画圆，交直线于，，不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．33．（2023·广东深圳·统考一模）【探究函数的图象与性质】(1)函数的自变量x的取值范围是；(2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是；(3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵，∴______．∵，∴____．【拓展说明】(4)若函数，求y的取值范围．【答案】(1)(2)C(3)，(4)【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围；（2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题；（3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整；（4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：；（2）解：∵函数，∴当时，，当时，，故选：C．（3）解：∵，∴．∵，∴．故答案为：，；（4）解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．34．（2023·广东深圳·二模）深圳地铁16号线（ShenzhenMetroLine16），又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程（大运站至田心站）．数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速．他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．(1)【建立模型】①收集数据：t（秒）0481216202428…s（米）4003242561961441006436…②绘制图象：在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接．③猜想模型：观察这条曲线的形状，它可能是函数的图象．（请填写选项）A．一次

B．二次

C．反比例④求解析式：请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）．⑤验证结论：将数据中的其余几对值代入所求的解析式，发现它们满足该函数解析式．（填“都”或“不都”）(2)【问题解决】地铁从减速开始，经过秒在停车线处停下．(3)【拓展应用】已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，请结合函数图象，求出该地铁站的长度是米．【答案】(1)③B，④，⑤都(2)40(3)【分析】（1）③根据图象可判断是二次函数；④利用待定