教育统计学 第五章

第五

章

概率

及

概率

分

布朴姬顺

一

、概率的定义●在不变的一组条件S

下

，重复作n次试验，记m

是

在n

次试验

中事

件A

发

生

的

次

数

。

当试验的次数n很大时，如果频率m/n

稳定在

某

一

数值p

的附近摆动；而且

一

半说来随着

试验次数的增多，这种摆动的幅度越变越小

，则

称A

为随机事件，记作●频率具

频率的稳定值叫做该事件的概率。性的事件叫做随机事件，p稳定(A)=有P例5.1

○盒子中装有五个球(三个白球、二各黑球)从中

任取

一

个，

问：取到白球的概率是多少?P

(

取到

白球

)

=3/5例5.2盒中装球如上例，现从中任取两个，

问两个球全

是白球的概率是多少?P(全白

)=3/10称

一

个事件组A₁

,A₂

,

..

,An

为

等可能完

备事件组，如果它具有下列性质：一切可能的结果是有限的；A₁

,A₂,

..,An

发生的机会相等(等可能性)

在任一次试验中，

至少有一个发生

(完备性)且至多有

一

个发生(互不相容性)等可能完备事件组称为等概基本事件组；其中A;(i=1,2,.,n)

称为基本事件。二、古典概型●若所有可能结

果

总数

为n,随

机

事

件B

由

m

个基本事件构成，

则事件B的概率为P(B)=m/n●

古典概型就是利用P(B)=m/n

来讨论的概率模

型。二

、

古

典

概型○设有一批产品共100件，其中有5件次品，现从中

任

取50

件

，问无次品的概率是多少?例

5.4○

条件组同例5.3,

问：恰有两件次品的概率是多少

?例

5.3(

一

)

加

法事件的包含与相等

事件的和与积事件的互不相容性概

率

的

加

法

公

式P(A+B)=P(A)+P(B)三、

概率

的加

法与乘法(

二

)

概

率

的

乘

法独立性乘法公式P(AB)=P(A)P(B)概刑

山如果掷的分币非均匀，出现

“上”的概率为2/3,

出

现

“下”的概率为1/3,则P(“恰有两次正面朝上”)=?有两次正面朝上”=10个(基本事件)独

立

试

验

概

型

(

非

等

概

)●

在此算

出P个(

基本正面取n=27接计定理(独

立试验序列概型计算公式)设单次试验中，试验A发生的概率为

p(O<p<1),

则在n

次重复试验中●二项分布

离散型变量的概率分布

概率计算特点平均数与标准差应用正态分布连续型随机

变

量的概

率分

布正

态

曲

线

函数正态分布2.14%

13.59%

34.13%

34.13%2.14%13.59%0.13%0.13%0.13%

2.14%

13.59%

34.13%34.13%13.59%214%30

-2σ

-1o

C

1o

2σ0.13%300.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%0.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

0

1

2

3标准正态分布0.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

012

30.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

01

2

30.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2-1

01

2言标

准

正

态

分

布0.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

012

3标

准

正

态

分

布乙1.5丙0丁-1.5甲丙-1.5乙0甲1.5正态分布在测验记分方面的应用●将原始分数转换成标准分数●确定录取分数线●确定等级评定人数●品质评定数量化正态分布在测验记分方面的应用●

成绩

，评价的?●有老师对学生说，你上次数学测验的的成

绩是78分，这一次测验只得了71分，你为什么退步了。如82父母们学测验70上●许多旨在测量与评价学生的身心发展水平

的教育测验，按评分记分准则直接得到的

原始分数，如果没有提供进

一

步的资料信

息，其意义是不够明确的。●在教育测量学中，各次测验所得的“原始

分数”是不宜直接比较的，更不能由此得

出孰优孰劣的结论。原始分数为什么

不能

用

原

始

分

数

直

接

进

行比

较

?●原始分数的两个主要缺陷

：@◎○原始分数的起点O

是没有明确意义的学科知识测验得0分并不代表该学生一点知识都不掌握

80

分只能说明他在此次测验中答对了8

0

内容●分数并不能确切说明

最常用的方法：○测验分数单位的大参照测验的常模资料的价值不同。

对被试的测验结果进●

解

行解释和评价。●要正确的解释、评价和使用

厕

验

大

，

必须借

助于某种参照标准才能测验分数的含义，从

而作出正确的评价。验一山

日

五

标准分数

●标准

分

数

是以

标

准

差

为

单

位

表

示

测

验

成

绩与

平均分数之间的距离。

即：●标准分数是一种以平均数为参照，

以测验分

数的标准差来衡量原分数在其常模团体中地

位高低的评定方法。其

中

，S甲乙丙丁四人在某次语文考试中的得分为：

72、60、48、90

分

，

全班

的

平

均

成

绩

为60分，标准差为12

分。求四人的标准分数?例

：●

某校高二学生期末语文、

数学、英语成绩的平均

数

是80、70、85

分，

标准

差

分

别

是1

0、

15、12分。某学生的三科成绩分别是85、82、90分，问

该生三科成绩哪

一科最好?Z数

>Z

语>乙英例

：标

准

分

数Z

的

性质

和

特

点任

何一

批原始分数，

转化为Z

分数后，这

批Z

分数的平均值为0,标准差为1。Z>0

表示测验成绩在平均数之上，

Z<0

表

示测验成绩在平均数之下，Z=0表示测验成绩与平均数相等。

标准分数Z

的取值范围在-3到+3之间，

Z

分数的意义可以用正态分布曲线下的面积比例作出最好的解释。平均分=60标推差=120.13%

2.14%2413.59%

34.13%

34.13%36

48

平均分602.14%8413.59%720.13%96标

准

分

数Z

和

百

分

等

级PR之

间

的

关

系测验成绩服从正态分布的情况下，其对应的百分等级PR与一个以标准分数Z

为界点的正态曲线左尾部面积比例数

相对应。这个对应关系可通过查正态分布表确定。例

：Z=-1

时

，PR=15.87。Z=1

时

，PR=84.13Z=0时

，PR=50。Z=1.75

时

，PR=95.994,Z=1.25

时

，PR=?13.59%

2.14%32.14%

13.59%-3

=234.13%O0.13%34.13%0.13%2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%24

36

48

平均分60——72

84

96-3

-2

-1

0+1

+2

+313%Z分数-4T分数10CEEB

分数100离差IQ(SD=15)图6-5几种标准分数关系图o90900平均分=60

标准差=1250500100707001302020055606001158080014530300704040085标准分数在

我国

高考中的试点应用●现状：我国现存两种分数制度○原始分数制度○高考标准分制度●

原

因○高考标准化的重要环节○高考中使用原始分数的局限性●不能反映考试分数相对于团体的位置信息●不同科目/同科不同次考试之间分数可比性差●原始分数制度中，各科分数标准差的大小对

各个科目分数在录取中的比重也有一定的影响

。。根据教育统计、教育测量、教育评价等科学原理，按照

一

定规则把原始分数转化为具有相同意义、相同单位和共同

参照点并能刻画考试分数在总体中位置的分数制度。由常模量表分数(包括全国常模和省常模)、

等值量表分数

组成。

由于高考是全国统

一

考试，分省录取，故标准分数

转换有两种情况。能准确刻画考生成绩在总体中的位置，使不同学科的成绩

能够进行比较

表6-6

高考成绩通知单学科语文数学外语物

理化学综合分标准分591732662681581694百分等级81.998.894.796.579.197.4高考标准分制度：高考标准分转换方法：在现行试点使用的高考标准分转换方案中

，

一律采

用正态化转换方案。具体转换步骤如下：(1)将同类考生的学科原始分数从大到小进行排序。(2)计算每一个分数X;以下的考生占考生总数的百分比P;或百分等级PR;。(3)由每个原始分数对应的百分比P;或百分等级PR;,

利用正态分布表，经过简单计算，即可确定所对应的正态分数Z;,从而得到每一个原始分数所对应的标准分。(4)进行线性变换，我们确定的量表平均分为5

0

0

,

标

准差为

100,

线性变换公式为：D=500+100Z;从而得到常模量表分数。确定录取分数线例：

某区拟对参加是学竞赛的2000名人中前

500

人予以奖励，考试的平均分数为75分

，

标准差为9,

问授奖的分数线是多少?确定等级评定

的人数例：500名学生的逻辑思维能力呈正态分布，拟

将

之

分

成A、B、C、

D、E五个

等

距

的

等级

，问

各

等

级乙值分界点是多少?各等级应

当有多少人?等级各位

教

师

评定的人

数教

师

甲教

师

乙教师丙优

良

中

差102055O41012104O12208O总和404040被评学

生评定者田门乙丙AB优

良良

优中

中品质评定数量化极差等级评定者教师甲教师乙教师丙N比率本组

1/2至

一下面

积之和中位数N比率本组1/2至一下面积之和中位数N比率本组1/2至

一下面

积之和中位数优

良

中

差10205500.250.50.130.1300.8750.50.18750.062501.1500.000一0.887-1.5340.000410121040