2015年高等数学第六版习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章

习题1-1

1.设4=(f-5)55,+oo),8=[-10,3),写出

及心(小的的表达式.

解Zu3=(-00,3M5,+00),

Zc3=[—10,-5),

A\B=(-<x),-10)u(5,+oo),

小(ZW)=[-10,—5).

2.设Z、8是任意两个集合，证明对偶律:(4C3)C=TD3C.

证明因为

%w(4c5)c<=>%e/c3ox^A或XGAC或xwB。=

xeAc<jBc,

所以(Ar>B)c=Ac\jBc.

3.设映射y,/uX,8uX.证明

⑴叱阶加)5⑻；

(2)为

证明因为

yef(A,uB)<^>BxeA'uB,i$,J(x)=y

0(因为％e/或％或

oyc/⑷切⑻，

所以火4uB)=f(A)u火B).

(2)因为

yc/(/c3)=>lxG/c区使/(%)=yo(因为xeA且%cB)yw/(Z)

且V40=>ye"MB),

所以为ACB)5A)MB>

4.设映射/：xfy,若存在一个映射g：yfx,使go/=/x,

/*=/y,其中不人分别是X、y上的恒等映射，即对于每一个％eX,

有Ixx=x;对于每一个yeY,有IYy=y.证明:/是双射，且g是/的

逆映射:g=尸.

证明因为对于任意的y^Y,有x=g(y)cX,且1A%)=/[g(y)]=/y

产办即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满

射.

又因为对于任意的X1W%2,必有兀口决/(%2),否则若

XXiMx2)=>g[X^i)]=g[/(X2)]=>X1=X2.

因此/既是单射，又是满射，即/是双射.

对于映射g：y->x,因为对每个蚱丫，有g(y)=%GX,且满足

m)=/叵。)]=4产乂按逆映射的定义,g是7的逆映射.

5.设映射y：x.y,/ux.证明：

(1尸(/(/))=)/;

(2)当/是单射时，有尸(/(/))=/.

证明(1)因为XGA=>/(%)可=>/7(y)=xc/T(/(♦)),

所以尸(A⑷Q4

(2)由⑴知尸(/M)Q4

另一方面，对于任意的％吊尸(/(/))=>存在N曰(4),使/

-18)=%=双%)可.因为且/是单射，所以％这就证明了/

-1如))3.因此尸(/(4))=4.

6.求下列函数的自然定义域:

(l)y=j3x+2；

解由3%+220得x〉-|.函数的定义域为[-率+8).

⑵T；

解由1T2M得H±l.函数的定义域为(-00,-1)5-1,1)51,

+00).

(3)^=1-71-%2;

解由且l-x2>0得函数的定义域Z)=[-l,0)u(0,1].

解由4T2〉0得|X|<2.函数的定义域为(-2,2).

(5)y=sin-/x；

解由众0得函数的定义。=[0,+8).

(6)y=tan(x+l);

解由》+1*5/=0,±1,±2,•—)得函数的定义域为

XHATF+5-I(左=0,±1,±2,••-)•

(7)y=arcsin(x-3);

解由|A3区1得函数的定义域。=[2,4].

(8)^=>/3-x+arctan—；

x

解由3T20且"0得函数的定义域。=(一8,0)50,3).

(9)y=ln(x+l);

解由1+1〉0得函数的定义域Z)=(-l,+00).

1

(10)

解由得函数的定义域。=(一8,0)u(0,+oo).

7.下列各题中，函数加)和四)是否相同？为什么？

(iy(x)Tgx2,ga)=2ig%；

(2)fix)=x,g(x)=^;

(3)f(x)-ljx4-x3,g(x)=x3x-l.

解(1)不同.因为定义域不同.

(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(%)=T.

(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.

(4)不同.因为定义域不同.

|sinx|[x|<]

8.设研x)=<,求s(令,。弓),2),并作出

0|x|>1644

函数尸内)的图形.

解联')=|sin爸=；,夕(9=回吟]=乎，*(一1)=|sin(-1)1=乎，^(-2)=0.

662442442

9.试证下列函数在指定区间内的单调性：

(1)T，(—8,1)；

(2)j=x+lnx,(0,+oo).

证明⑴对于任意的％1,x26(-8,1),有l-Xi>0,l-x2>0.因为

当Xi<X2时，

乃一%=2----=…

J力1—X]1-X2(1-%))(1-%2)，

所以函数片3在区间(-00,1)内是单调增加的.

1-X

(2)对于任意的X],X2£(0,+00),当Xl<X2时，有

必一J72=($+1nX])_(电+1n巧)=(再一巧)+1n工<0,

x2

所以函数尸x+ln%在区间(0,+8)内是单调增加的.

io.设_/(%)为定义在(-1,/)内的奇函数，若小)在(0,0内单调

增加，证明外)在(-/,0)内也单调增加.

证明对于VX1,%2c(—1,0)且有一%1,—X2£(0,/)且一式1>—%2.

因为外)在(0,0内单调增加且为奇函数，所以

A-X2)<f(-XX),如2KM修)，加2)刀%1),

这就证明了对于V%1,%2C(-。0),有<%1)<八%2),所以外)在(-/,0)

内也单调增加.

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的，

证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函

数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明(1)设尸(%)=仆)+双%).如果八工)和爪%)都是偶函数，则

F%）+g（T）4%）+ga）=F（x）,

所以尸（%）为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数.

如果兀0和g（x）都是奇函数，贝I」

产（一%）十%）+虱-%）=如）_四）=一尸（%），

所以尸（%）为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数.

（2）设尸（%）=/（%>虱%）.如果/（%）利虱%）都是偶函数，则

尸（T）4T>g（T）=X%>g（X）=ba），

所以月（%）为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.

如果外）和且（%）都是奇函数，贝IJ

尸（T）=（-%）2（-%）=［加）］［抬（切/%）即）=尸（%），

所以网%）为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.

如果外）是偶函数，而g（%）是奇函数，则

尸（一%）次%）=/（%）［—ga）］=d%>g（］）=—尸（%）,

所以尸（%）为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇

函数又非偶函数？

（l）y=x2（l-x2）;

（2）尸Bf—f；

(4)尸%(%-1)(%+1);

(5)尸sinx-cosx+1;

xx

⑹产a+a~

2

解(1)因为/j-xAiTynTTyvyq—f,y%),所以外)是偶

函数.

(2)由火T)=3(T)2-(T)3=3f+%3可见於)既非奇函数又非偶函

数.

(3)因为/(-3号吗=亨=/)，所以大幻是偶函数.

1+(—x)1+X

(4)因为火-x)=(-x)(*1)(T+1)=T(%+1)—(%)，所以外)

是奇函数.

(5)tt]y(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sin%-cos尤+1可见火元)既非奇

函数又非偶函数.

(6)因为/(-)=小：。5=互产=小),所以於)是偶函数.

13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其

周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函数，周期为1=271.

(2»=cos4x;

解是周期函数，周期为/=5.

(3)y=l+sinTDC;

解是周期函数，周期为/=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函数.

(5)y=sin2x.

解是周期函数，周期为l=7i.

14.求下列函数的反函数:

(1)片后T错误！未指定书签。错误！未指定书签。；

解由片底TT得所以片底口的反函数为y=X3-l.

(2)尸尸错误！未指定书签。；

1+X

解由片E得"=3，所以片芸的反函数为尸

(3)y弋焉(ad-bcM);

解由尸笆得X=32，所以片转的反函数为片也把

cx+dcy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由尸2sin3%得x=garcs呜,所以j=2sin3x的反函数为

产garcs屿.

⑸尸l+ln(x+2);

解由尸1+ln(%+2)得x=e>'~'-2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为

⑹/

解由片券得4幅吉，所以片岛的反函数为片晦点

15.设函数负%)在数集X上有定义，试证：函数/(%)在X上有

界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.设函数＜工)在X上有界，则存在正数M

使心)区M即-蝮这就证明了处c)在X上有下界-M和上

界加.

再证充分性.设函数加)在X上有下界K｛和上界K2,即

Kg(x)〈K2.取正max{|K]|,K|},贝U-M<K^x)<

K2<M,

即]/(x)|<M

这就证明了八工)在X上有界.

16.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这

函数分别对应于给定自变量值看和应的函数值：

2

(l)y=w,w=sinx,%琮,x2=y；

22222

解y=sinX,y,=sin^.=(1),y2=siny=(^).

(2)y=sinu,u=2x,再=，，电=手;

o4

解JV-sinZx,y1=sm(2~)=sm^-=^-y2=sm(2~)=sm^-=\.

(3)y=&,i/=l+X2,Xi=l,X2=2;

2

解y^yjl+x,M=J1+12=叵,%=.1+22=亚.

(4)y=e",u=x2,X]=0,处=1；

解y-ex2,为=，=1,%=e『=e.

(5)y=w2,u=ex,x\=1,X2=-l.

解y=elx,y\=e'x=e,y2=e2(~i)=e~2.

17.设於)的定义域。=[0,1],求下列各函数的定义域：

⑴於引

解由002<1得，区1,所以函数加2)的定义域为[T,1]

⑵人sinx);

解由0<sinx<l得2〃Kx<(2〃+l)i(〃=0,±1,±2・••)，所以函

数/(sin%)的定义域为

[2〃%(2冏+1)同(〃=0,±1,±2---).

(3)於+0(。>0);

解由0仝+於1得-於x<l-a,所以函数兀r+a)的定义域为[-a,

1—a].

(4)八%+。)±/(X-。)(。〉0).

解由00+。<1且OSc-aWl得：当0<“今时，当

时，无解.因此当时函数的定义域为[a,l-0,当a〉g时函

数无意义.

1|%|<1

18.设/'⑴口o向=1,g(x)=e”错误！未指定书签。，求,/[g(x)]

-1|x|>l

和gg)],并作出这两个函数的图形.

1|ex|<lf1x<0

解/Ig(x)]=0|^|=1,即力g(x)]=0x=0.

-1|ex|>l[-1x>0

K

el|x|<l

LJ

gf/(x)]=e"x)=e°|x|=l,即g[/(x)]二>

e~}|x|>l

19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角方40。(图1-37).

明其定义域.

图1-37

解AB=DC=—^,又从l/?[SC+(5C+2cot40(>/?)]=5得

sin4020

BC=^—cot40ch,所以

h

A=争+上吗.

hsin40

自变量h的取值范围应由不等式组

h>0,

-h-cot40°/?>0

确定，定义域为0<"<JSoCOt40°.

20.收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励

销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购

1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价P表示为订购量%的函数；

(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；

(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？

解⑴当0仝<100时,p=90.

4O.O1(XO-1OO)=9O-75,得沏=1600.因此当Q1600时,p=75.

当100<x<1600时，

/?=90-(-r-100)x0.01=91-0.Olx

综合上述结果得到

9004x4100

*91-O.Olx100<x<1600.

75x>1600

3Ox0<x<100

(2)P=(p-60)x=<31%-O.Olx2100<x<1600.

15xx>1600

⑶P=31xl000-0.01X1000M1000(元).

习题1-2

1.观察一般项如下的数列任〃｝的变化趋势，写出它们的极

限:

⑴X.金

解当>00时,x„=——>0,lim—=0.

"2ni2"

(2)x„=(-l)«l;

解当"fOO时,x”=(-l)"Lf0,lim(-1)"工=0.

n〃一>8Y\

⑶X"=2+*；

x“=2+-V-2,lim(2+g=2.

解当"fOO时,w->co77z

（4）“修

解当〃->00时,X"=*一磊愿胃L

⑸％〃=冏(一1)”.

解当〃-»oo时,％〃="(一1)"没有极限.

cos"%

2.设数列｛/｝的一般项问limx广？求出N,使当

〃〃T00

〃〉N时,X"与其极限之差的绝对值小于正数£,当30.001吐求

出数N.

解limx=0.

W—>00n

lcos-^-1[1

寓-0|=-2-WLX/£〉0,要使|无〃-0|<£,只要[<£,也就是

nnn

n>-.取N=[4，

££

则X/〃〉N,有陶-0|<£.

当2=0.001时，N咕=1000.

g

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim』二0；

w—>QO77

分析要使出-0*<£,只须“2>(，即〃〉我.

证明因为当〃〉N时，有&-0|<£,所以

lim4=0.

(2)lim^±|=1；

W—>002〃+12

分析要使I然-宗=』<;<£，只须:</即〃

2〃+122(2〃+1)4〃4〃46,

证明因为\/£>O,mN=[d]，当〃〉N时，有|誓|-永£,所以

lim^44-

w^oo2/7+12

(3)lim变正1；

w—>coY]

分析要使|立运-1|=后高一〃=/丁,<上<£,只须

,2

n>

证明因为VoO,mN=£],当X/〃〉N时，有I变运—1|<£,所以

£n

lim亚运=1.

〃T8Yl

(4)lim0.999--9=l.

"f8'"不，

分析要使|0.99…9-1|=急<£,只须焉<与即〃>i+igL.

■LU1\Jo

证明因为x/£>o,mz=[l+lgj,当V〃〉N时，有|0.99一-9—1|<£,

所以limO.999…9=1.

〃个

4.lim〃产a,证明lim%Ha|.并举例说明：如果数列｛叫｝有极

w—>00w-^oo

限，但数列｛与｝未必有极限.

证明因为lim〃"=a,所以VQO,IVwN,当冏〉N时，有水£,

"f8

从而

伽〃卜同国〃〃一a<£.

这就证明了lim|i/„|=|<7|.

8

数列｛陶|｝有极限,但数列｛%〃｝未必有极限.例如lim|(T)〃|=l,

w-»oo

但lim(-1)"不存在.

>00

5.设数列｛%〃｝有界,又limy”=0,证明：limxQ"=O.

W—X»W—>00

证明因为数列｛%〃｝有界，所以存在M使X7“cZ,有网区

又lim%=0,所以X/Q>0,mNcN,当〃〉N时，有⑼〈备.从而当

87V7

〃〉N时，有

\xnyn-O\=\xnyn\<M\yn\<M~=£,

所以limx„y„=O.

6.对于数列{%"},若％2bl->a(左->°0),左->°°),

证明:

证明因为X2k-\fa(ks),X2kTa(k—>00),所以V£>0,

3/Ci,当2bl〉2KLi时,旬％2i-水£；

3^2,当2女〉2K2时，^\x2k-a\<£.

WN=max{2K「l,2K2},只要〃〉N,就有陶一a|<£.

因此％(Z7—>00).

习题1-3

1.根据函数极限的定义证明：

(l)lim(3x-l)=8；

分析因为

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3%-1)-8|<£,只须|x-3|<3.

证明因为\/£>0凸旌$,当0<|尤-3]<5时，有

|(3x-l)-8|<f,

所以lim(3x-l)=8.

x->3

(2)lim(5x+2)=12；

x->2

分析因为

|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,

所以要使(5X+2)-12|<£,只须|X-2|<9.

证明因为V£〉O「s=?,当0<|x-2|<b时，有

|(5%+2)-12|<£,

所以lim(5x+2)=12.

XT2

(3)lim^=-4；

'，x+2X+2

分析因为

|力-(-4)卜|可罗小+2Hx-(-2)1,

所以要使I崇一(一4)|<£,只须|X—(—2)|<£.

证明因为V£>O,=e,当0小_(_2)|<3时,有

母/<£,

所以lim^=-4.

x—>—2x+2

=2.

2

分析因为

|是92m-2x-2卜2|x一(—f|，

所以要使|需-2卜£,只须|x-(沙亭.

证明当0小-(-少|<3时，有

I寡一22,

所以lim用=2.

X.，2x4-1

2

2.根据函数极限的定义证明:

⑴Hm；

xf82x2

分析因为

Il+x31|_|1+七3一一3I1

I2x32'I2x3।2|x|39

所以要使|第一扑£,只须册<£，即曲积

证明因为V£>OTx=《p当|x|〉X时，有

3

1+X1<£,

所以lim"二.

x->82x2

(2)lim率=0.

XT+8J%

分析因为

塞-。卜甯卡

所以要使|喏-0|<£,只须亡</即》〉/.

证明因为X/6>0,mx=/,当x〉XR寸，有

所以lim卑=0.

XT+00y/x

3.当1-2时，尸2-4.问B等于多少，使当|x-2|<5时,

[y-4|<0.001?

解由于当％->2时，b—2—O,故可设|x—2|<1,即l<x<3.

要使

2

|X-4|=|X+2||X-2|<5|X-2|<0.001,

只要|x-2|〈怨以=0.0002.

取应0.0002,则当0<|x—2|<5时，就有4|<0.00L

4.当x-»oo时，厂方-1,问X等于多少，使当|x|>X时,

力+3

[y-l|<0.01?

解要使4T卜±<0.01,只要|x|>、思二=厮，故

।廿+31x2+3V0.01

X=4391.

5.证明函数4¥)=恸当％->0时极限为零.

证明因为

]/(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,

所以要使]/(%)-0|<£,只须|无|<£.

因为对\/£>0「员£,使当0<|%-0|<3,时有

斛-0|=|田0|<£,

所以lim|x|=0.

xf0

6.求如)=因当x->0时的左、右极限，并说明它们

XX

在尤―0时的极限是否存在.

证明因为

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x—>0-x—>0~Xx—>0"

limf(x)=lim—=lim1=1,

x->0+xf0+XXT0+

lim/(x)=lim/(x).

10-10+

所以极限limf(x)存在.

XTO'

因为

lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

x->0-xfo-xx—o-x

lime(x)=lim—=lim—=1,

x->0+Xfo+XXf0+X

limlim(p(x),

xfo-x—o+

所以极限limp(x)不存在.

x->0

7.证明：若％->+8及X->-8时，函数八%)的极限都存在且都

等于4则limf(x)=A.

x—>oo

证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以VeO,

XT-00X->4-00

HXi〉O,使当x—X时，有心)一才|<£；

BX2>0,使当%>修时，有依)-/1<£.

取其max{Xi,莅},则当|M〉X时，有心)一力|<£,即lim/(x)=4.

X->6

8.根据极限的定义证明：函数外)当时极限存在的充

分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设/)->/(%-»/()),则\/£>0,3<5>0,使当

O<|x-xo|<J时,有

\f[x)-A\<£.

因此当沏一层x<%0和X0<%<沏+5时者B有

\f{x)-A\<£.

这说明外)当％->%0时左右极限都存在并且都等于/.

再证明充分性.设火沏-0)=/的+0)=/,贝Woo,

m石>0,使当沏_a<%<]0时，有1H%)_/<£；

m金>0,使当劭<了<劭+万时，有|加)—/1<£.

取应min{",⑻，则当O<|%TO|<5时，有沏一&<%<%()及

%0<%<%()+医，从而有

\J{x}-A\<£,

即兀。fZ(x—>%o).

9.试给出1->oo时函数极限的局部有界性的定理，并加以证

明.

解时函数极限的局部有界性的定理：如果/(%)当xfoo

时的极限存在，则存在论0及">0,使当|%|〉X时

证明设於)f/(x-oo),则对于£=1,3X>0,当|%|〉X时，有

\f(x)-A\<£=l.所以

代)|=火工)-4+/区胆)-2|+-|<1+|4

这就是说存在X>0及M0,使当即>工时，胆)|<M,其中止1+14

习题1-4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解不一定.

例如，当时，a(x)=2x,以尤)=3%都是无穷小，但lim等,

x->ofj(x)3

需不是无穷小.

伙X)

2.根据定义证明：

⑴片¥言当xf3时为无穷小；

(2)片xsin：当Xf0时为无穷小.

证明(1)当用3时I止|奈卜|x-3|.因为VQOT代£,当

0小-3|<b时,有

3T卜X-3|<b=£,

所以当x->3时片二为无穷小.

x+3

(2)当XWO时|yHx||sin：|小一0|.因为V£>0,三员£,当0<,一0|<b

时，有

|y|=|xHsin|<|x-0|<d>=^

x9

所以当X—>0时y=xsin—为无穷小.

x

3.根据定义证明：函数产业为当x->0时的无穷大.问％

X

应满足什么条件，能使小|〉1()4?

证明分析什产卜|2+1巾2,要使mM只须土-2>",

XX|X|IX|

即4六.

证明因为VM>O,mb=/,使当0<|%—0|<3时，有|亨卜M,

所以当时，函数丁="是无穷大.

X

取在IO。则腔当0小-01<磊时，M〉10t

1UI41UI乙

4,求下列极限并说明理由：

⑴lim在±1;

X->00X

⑵limfJ

XTO\-X

解（1）因为2=2+L而当％f00时工是无穷小，所以

XXX

XT8X

⑵因为我=i+x(%wl),而当％->0时］为无穷小，所以

L-X

㈣7=】•

5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:

於）f/危）-8於）T

+00—00

V£>0,

0m历0,使

当

0<|X-XQ|<<^

时，

有恒

\fix)-A\<£.

x—>x

+

0

XfX

0

V£>o,BX>0,使当

X-)

IM〉x时，

00

有恒心）|〉M

X-

+00

If

—00

解

危）段)-8九¥)9+00九X）f-8

V6>o,眸0,\/M>0,3&>0,VAf>0,35>0,V心0,35>0,

使当使当使当使当

00<|%-%o|<M寸，0<|x—%o|<加寸，寸，0c,一%（）|<冽寸，

有恒有恒〃)|〉M有恒加）>”.有恒加）<-M

\fix）-A\<£.

V6>o,眸0,VA^O,3&>0,VAf>0,35>0,V心0,35>0,

使当使当使当使当

0<¥-10<洲0<¥-］（）<加寸，O<x-Xo<^U\l',O<x-xo<<5ll^,

+

0

有恒有恒〃）|〉M有恒加）>”.有恒加）<-M

\f（x）-A\<s.

V£>o,3^0,VM>0,眸0,V心0,W0,MM>0,3^0,

使当使当使当使当

XfX

0<¥0-%<加寸，O<xo-x<（W,O<xo-x<^Ut,0<x（）-%<<W,

0

有恒有恒依）|〉M有恒危）〉M有恒加）<-M

\f[x）-A\<£.

Vf>0,BX>0,Vf>0,BX>0,Vf>0,BX>0,Vf>0,3A>0,

使当|x|〉X时，使当|%|〉X时，使当|%|>X时，使当|%|〉X时，

x—>00

有恒有恒火工）|〉M有恒加）>”.有恒加）<-M

\f（x）-A\<s.

Vf>0,3X>0,V£>0,环0,Vf>0,3A>0,VQO,3A>0,

%一+使当了〉X时，使当了>X时，使当x〉X时，使当了〉X时，

00有恒有恒人:）|〉M有恒加）>”.有恒加）<-M

Vf>0,环0,V£>0,止0,V£>0,BX>0,Vi>0,3A>0,

Xf一

使当了<-X时，使当％<-X时,使当了<-X时，使当％<-X时,

oo

有恒有恒师）|〉M有恒危）〉M有恒加）<-M

\fix)-A\<£.

6.函数尸xcosx在（-oo,+oo）内是否有界？这个函数是否为当

%f+8时的无穷大？为什么？

解函数y=xcosx在（一oo,+8）内无界.

这是因为在（-吗+8）内总能找到这样的了,使得

例如

y(2k7i)=2k7icos2k7r=2k7i(k=0,1,2,•••),

当左充分大时，就有|y（2左砌〉M

当Xf+oo时，函数尸NCOSX不是无穷大.

这是因为VM〉0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N

的％,都有/（%）|〉〃.例如

X2A：^+y）=（2A：^+y）COS（2A：^+y）=0（Z：=0,1,2,•••）,

对任何大的N,当左充分大时，总有x=2府+5〉N,但［y（x）|=O<〃.

7.证明：函数尸LiiJ在区间（0,1］上无界，但这函数不是当

XX

%->0+时的无穷大.

证明函数片4/在区间（0,1］上无界.这是因为

XX

\/%0,在（0,1］中总可以找到点玄，使兴弘）〉加例如当

x.=’V（60,1,2,…）

2k/r+—

2

吐有

y(xQ=2k兀*,

当左充分大时,兴弘）〉〃

当xfo+时，函数尸Lid不是无穷大.这是因为

XX

对所有的苏0,总可以找到这样的点跖使

但例如可取

4=含(左=0,1,2,…),

ZK7T

当《充分大时,Xk〈B,但y(Xk)=2k7isin2k7r=0＜M.

习题1-5

1.计算下列极限:

⑴期百

解lim^#22+5=-9.

xf5x—32-3

(2)lim；

一Xf"+1'

解，辱言=黑三二0.

/⑶2\然1.一k—2x+1，.

解呵青苦M节后告r哂曷告增

(4)］而空雪土;

2

'A-->O3X+2X'

解扁史名士=lim442f+lj

x-o3X2+2Xx-»63x+22

222

解lim史绊出Timx+2hx+h-x=lim(2x+/z)=2x.

力一＞0h力一＞oh

(6)lim(2--+-^-)；

x->8XX

角单lim(2——+—z-)=2—lim--4-lim-^-=2.

Xf8XX2Xf8XX->8X2

解lim—：三!—

X->82x2-x-1

(8)lim；

42

尤->8X-3X-1

解lim/三=0(分子次数低于分母次数，极限为零).

十一3朽一1'

1工1

—十^―

x2+x23

或limlimV£=0.

X->00X->00]2__

⑼㈣由

4svx2z-—66xx44-88[.。(x一-Z2))(。x—一^4)].x-24—22

用牛hm^-------------=hm-7——————-=——=—

x-4%2-5x+4Xf4a—1)(1一4)X-4x-l4-13

(10)lim(l+-)(2--y)；

Xf8XX

解lim(l+-)(2—^-)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

1Z

Xf8XXXT0°X18X

(11)15(l+^+J+…+[);

“TOO242

解lim(l+^+-^+••-+—)=lim—=2.

〃->8242，8i1

1-2

(12)^1+2+3+^+C^l).

/7->OO〃幺

(.一1)〃

l+23+---(/7-l)

解lim++=Hm4=11im.

L

〃->0000y\2〃―>8〃2

(13)lim史④®曾身；

解lim(〃+l)(*)("+3)='(分子与分母的次数相同，极限为

最高次项系数之比).

或lim(”+1)(〃+?(〃+3)=giim(i+l)(i+2)(1+3)=l.

g5”5»nnn5

(14)呵4金)；

XT11-X1—X

=-lim0二2a+2)

解㈣占一会）=四（1号A；，^i(l-x)(l+x+x2)

=-lim-x+2:y=T.

Xf1l+X+铲

2.计算下列极限：

⑴!*券

解因为!虫喏叫=°，所以!蛾等二口-

2

⑵lim—；

x->82x+l

解lim工=8（因为分子次数高于分母次数）.

XT82X+1

(3)lim(2x3-x+l).

XT8

解lim（2x3.x+l）=oo（因为分子次数高于分母次数）.

Xf8

3.计算下列极限：

（1）limx2sin—；

'7XfoX

解呵》25皿（=0（当了—>0时,工2是无穷小，而sin；是有界变量）.

（2）lim理皿.

x->oox

解lim生皿=limLarctanx=O（当%.8时，!是无穷小，

x-»00XX->00XX

而arctanx是有界变量）.

4.证明本节定理3中的（2）.

习题1-5

1.计算下列极限:

⑴明存;

x—>2X—5

2d+5-22+5

解lim=-9.

Xf2X-32-3

⑵";

解，嘱套=黑彳小

/oxi•x2-2x+l.

⑶1v-，

解题下已呷清若r则含=3=。・

(4)lim妇卓”

'，xfO3X2+2X'

32

解lim4x-2x+x=lim4x^-2x+l^l

zo3X2+2XX->O3X+22

⑸呼"

解(x+A)2-x2222

lim=limx+2hx-+-h-x=lim(2x+/?)=2x.

。一>0h。一>oh

5

解lim(2—!-+4-)=2-lim^-+lim-^=2.

Xf00Xx2Xf8xx->ooxZ

(7)limf-1；

x->82X2-X-1

T

limy'T-=lim_1

解；-

Xf8-x-1X—>00r2

XX.2

(8)lim；

^0°X4-3X2-1

解1加点R=0(分子次数低于分母次数，极限为零).

J_+J_

或limY+'—=lim.

x-»ooX”--1XTOO]2!

一厂彳

⑼啊4

x^-6x+8U-2)(x-4)

解lim=lim

Xf4』_5x+4X-4(X-l)(x-4)变告专H

(10)lim(l+—)(2y)；

X-X»XX

解lim(l+l)(2—V)=lim(l+-)-lim(2-^-)=lx2=2.

1Z

X->00XXXT8XX->8X

(11)啊1+:+J+…+]);

w->co242

解lim(1+2+1+…+—)=lim

8242〃〃78

2

(12)iim.Ltt2±.-;Ji(»d);

w-*oo

(〃一1)〃

解lim1+2+3+；+(〃­1)=1而^V=春白比11・

w—>00W—>cc2〃一>8Yl2

（13）lim（〃+l）（"+?（〃+3）;

〃->85ns

解lim（向叱+冲）4（分子与分母的次数相同，极限为

〃-85〃J

最高次项系数之比）.

(〃+1)(〃+?("3)二!()(

或limiimi+li+2)(1+3)=l.

85户58YlYlYlJ

(14)lim(——7~^T)；

I1-x1—xJ

3)

解lim(-p-^-.=lim1+x+x--3lim(l-x)(x+2)

1-x3x-»l(l-x)(l+x+x2)X->1(l-x)(l+x+x2)

=-lim-x+2,=—1.

—I+X+X，

2.计算下列极限:

⑴畸等

解因为!叱喏噌=°，所以!吸序二口.

2

⑵lim卢不

'7X->OO2X+1

解lim#:=oo(因为分子次数高于分母次数).

X->82x4-1''

(3)lim(2x3-x+l).

X->00

解lim(2x3_x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).

Xf8

3.计算下列极限：

(1)limx2sin—；

'/XfoX

解lim^sinLo(当Xf0吐¥是无穷小，而sin，是有界变量).

x_XX

(2)lim箜皿.

Xf8X

解lim生皿=limLarctanx=O(当X.8时，工是无穷小，

XfooXXT8XX

而arctanx是有界变量).

4.证明本节定理3中的(2).

习题1-7

1.当％-0时,2x-f与尤2T3相比，哪一个是高阶无穷小?

解因为扁手£=1而舁=0,

.v->02x-x2so2-X

所以当Xf0时,f_%3是高阶无穷小，即％2_%3=。(2%_%2).

2.当xfl时，无穷小IT和⑴1-V(2)g1与是否同阶？是

否等价？

解(1)因为liirJ-)=1加(1+.+/)=3,

x—>11—xx~1—XX—>1

所以当％f1时，1T和l-d是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.

2

-^-(1-x)1

⑵因为lim-2--------=glim(l+x)=l,

x->l1-x2x->l

所以当xf1时，1T和;。是同阶的无穷小，而且是等价无穷

小.

3.证明：当x-0时，有：

(1)arctan%〜%；

2

(2)secx-l〜5.

证明⑴因为lim理@些=1加上=1(提示：令尸arctanx,则当

x->oxyfotany

x—>0时,y—>0),

所以当％—>0时，arctanx~x.

,112sin2^2sin4

⑵因为lim竿W=21im与江=lim「^=lim(—^>=1,

21

x-01v2x^OxCOSXx-0xx-0X

2T2

所以当1->0时，secx-1^.

4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:

⑴㈣啜

(2)lim叫；(凡加为正整数);

tanx-sinx.

9

⑶!吧si•n~J3x

解⑴物耍毋

1n=m

⑵㈣需％0n>m.

5a00n<m

..sinx(-----1).枭2

(3)lin?anx二msx=Hm―弩「=1而上空苧=lim/—

iosinJxiosin'x-^ocosxsin2