2019-2020学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷

2019-2020学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合

题目要求，答案涂在答题卡上）

1.（3分）分式」一有意义，则x的取值范围是（）

x+3

A.x>3B.x<3C.%w3D.xw—3

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.（3分）若无2+依+6=（尤一1）（彳+4）,则。，6的值分别是（）

A.a=3Jb=—4B.a=—3,b=4C.a=—3,b=—4D.a=3,b=4

4.（3分）若正多边形的一个外角是36。，则该正多边形的内角和为（）

A.3600B.7200C.9000D.1440°

5.（3分）点尸在NAC■的角平分线上，点P到。4边的距离等于10,点。是6®边上的任意一点,

下列选项正确的是（）

A.PQ<10B.PQ>10C.PQ..10D.PQ„10

6.（3分）下列命题中，是真命题的为（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.一组邻边互相垂直的菱形是正方形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

7.（3分）直线4:y=%x+6与直线:y=&x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不

等式+6的解集为（）

C.x<3D.x>3

8.（3分）如图，四边形ABCD是菱形，过点。的直线。分别交54,3c的延长线于点E,F,若

4=25。，Z2=75°,则N54C等于()

C.60°D.75°

9.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A,3的坐标分别为A（0,6）,3（-3,-3）.将线段Afi平移

后A点的对应点是4（10,10）,则点3的对应点3,的坐标为（）

C.(-3,3)D.(7,1)

10.（3分）如图，在等边AABC中，BC=4,D,E分别是AB,AC的中点，EF_LBC于点F,

A.2B.3C.A/7D.20

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

H.（4分）分解因式：2X2-8=.

12.（4分）若分式三屿的值为零，则x的值是____.

x-4

13.（4分）如图，AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,将AABC绕点8旋转得到△A5C,且点。

的对应点C'刚好落在上，连接A4'.则N/4AV.

14.（4分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A,C为圆心，以大于」AC的长为半径画

2

弧，两弧交于点E,F,直线EF交AD于点交BC于点、N,若AM=6,MD^4,则线段8的长

为-,

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15.（12分）（1）分解因式：a'b-4ab2+4b3.

（2）解方程：—--1=^^.

x—22x—4

2x-lx+1x-x

16.（6分）解不等式组：『一</°,并在数轴上表示出它的解集.

x—5„1+4J^（2）

-5-4-3-2-1012345>

17.（8分）化简求值：（一^----产口一）十丝a,其中相=3.

m—2mm-4m+4m

18.（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系

后，AABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2,2）,8（1,0）,C（3,l）.

（1）画出AA5c关于y轴对称的△ABC；

（2）画出将AABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A与C?；

（3）△4片£与△A与C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标.

y八

19.（10分）如图1,在ASCD中，以3c为边作等边ABCP,交AD于点E,F,kAE^DF.

（1）求证：四边形ABCD是矩形;

（2）如图2,连接",AC,若EF=1,BC=3.

①求证：AP±PC；

②求AC的长.

ABCD中，ZABC=60°,AB:AD=1:8,E为CD边上一点，CE=8,连

接AE,BE,且

(1)求证：EB平分ZAEC；

(2)当CE:ED=2:5时，在AD上找一点P,使PB+PE的和最小，并求出最小值;

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21.（4分）已知》+工=7,那么无2+4=

XX

22.（4分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,过点A作AE_LCB交CB的延长线于点E,连接

OE.若菱形ABCD的面积等于12,对角线89=4,则OE的长为.

23.（4分）已知加是不等式组，二2。的正整数解，则分式方程三=各有整数解的概率

为—,

24.（4分）在边长为4后的正方形ABCD中，点、E,尸是上两点，且=ZBCE=60°,

CE交对角线皮）于G,交BF于点、P,连接AP.则四边形ABGP的面积为.

25.（4分）如图，直线>=瓜+2力交y轴于点A,交无轴于点3,点C和点3关于y轴对称，连

接AC,点。是AABC外一点，NBDC=60。，点E是BD上一点，点歹是CD上一点，且CF=BE,连接

FE,FB.若NBEE=30。，贝!产+石产的值为.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26.（8分）今年5月以来，四川多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了A,5两种布偶玩

具，在夜市贩卖，已知每件A布偶比3布偶便宜2元，购买一定数量的布偶A所用资金为3000元，购买

相同数量的布偶8所用资金为3300.

（1）求A,3两种布偶的单价分别是多少元？

（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降加%促

销.要使所有布偶销售完后盈利1800元，求m的值.

27.（10分）已知在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,CD_LAB于Z）.

(1)如图1,将线段CD绕点C顺时针旋转90。得到CF,连接AF交8于点G.求证：AG=GF；

(2)如图2,点E是线段CB上一点(CEvgcB).连接即，将线段田绕点E顺时针旋转90。得到EF,

连接转交CD于点G.

①求证：AG=GF；

②若AC=3C=7,CE=2,求DG的长.

图1图2

28.(12分)如图1,一次函数>=履+6的图象与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点3(0,3),与正比

例函数y=x的图象交于点C.

(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点P,使ABCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存

在，请说明理由；

(3)如图2,过点C作CDLx轴于点。，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且

NECF=45。，连接EF,求AQEF的面积的最大值.

2019-2020学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合

题目要求，答案涂在答题卡上）

1.（3分）分式」一有意义，则x的取值范围是（）

x+3

A.x>3B.x<3C.九w3D.3

【分析】根据分式有意义的条件可得x+3/O,再解即可.

【解答】由题意得：x+3/0,

解得：xw-3,

故选：D.

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

3、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；

C>不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3.（3分）若X2+OX+6=（X-1）（X+4）,则。，。的值分别是（）

A.a=3,b=—4B.a=-3,b=4C.a=-3,b=-4D.a=3,b=4

【分析】直接利用多项式乘法计算得出答案.

【解答】解：X2+ax+b=（x-l）（x+4）=x2+3x-4,

a=3,b——4，

故选：A.

【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.（3分）若正多边形的一个外角是36。，则该正多边形的内角和为（）

A.3600B.7200C.9000D.1440°

【分析】先利用多边形的外角和是360。，正多边形的每个外角都是36。，求出边数，再根据多边形内

角和定理求解.

【解答】解：360°+36°=10,

这个正多边形是正十边形，

该正多边形的内角和为（10-2）x180。=1440°.

故选：D.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和与外角和定理是解题的关键.

5.（3分）点P在NAOB的角平分线上，点P到。4边的距离等于10,点0是03边上的任意一点，

下列选项正确的是（）

A.P2<10B.PQ>WC.PQ..10D.PQ„10

【分析】过尸作尸D,03于。，根据角平分线的性质得出尸C=PD=10,再根据垂线段最短得出即

可.

【解答】解：过尸作于。,

PCVOX,PD±OB,O尸平分NAOB,

:.PC=PD,

点尸到CM边的距离等于10,

：.PD=PC=1。，

:.PQ.A0（当。与点。重合时，尸。=10）,

故选：c.

【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，能求出PD=PC是解此题的关键.

6.（3分）下列命题中，是真命题的为（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.一组邻边互相垂直的菱形是正方形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对3进行判断；根据正方形的判定

方法对C进行判断；根据平行四边形的判定方法对。进行判断.

【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；

B,对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以3选项为假命题；

C、一组邻边互相垂直的菱形是正方形，所以C选项为真命题；

D,一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以。选项为假命题.

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要

说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

7.（3分）直线4:y=片》+6与直线4：y=&尤在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不

C.x<3D.x>3

【分析】由图象可以知道，两直线的交点坐标，再根据函数的增减性可以判断出不等式K尤+6解

集.

【解答】解：两条直线的交点坐标为（-2,3）,且当x>-2时，直线4在直线4的下方，故不等式

k2x<kxx+b的解集为x>-2.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线丫=五+6在x

轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题.

8.(3分)如图，四边形ABCD是菱形，过点。的直线跖分别交84,3c的延长线于点E,F,若

Nl=25°,N2=75°,则NBAC等于()

【分析】根据平角的定义和菱形的性质即可得到结论.

【解答】解：4=25。，Z2=75°,

ZADC=18O°-Z1-Z2=80°,

四边形ABCD是菱形，

:.AB//CD,

ZBAD=180°-ZADC=100°,

四边形ABCD是菱形，

ABAC=-/BAD=50°,

2

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键.

9.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A,3的坐标分别为A(0,6),3(-3,-3).将线段延平移

后A点的对应点是4(10,10),则点3的对应点"的坐标为()

【分析】利用平移的性质解决问题即可.

【解答】解：点A(0,6)向右平移10个单位，向上平移4个单位得到4(10,10),

.•.点B(-3,-3)向右平移10个单位，向上平移4个单位得到8(7,1),

故选：D.

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

10.（3分）如图，在等边AABC中，BC=4,D,E分别是钻，AC的中点，EF_LBC于点F,

A.2B.3C.A/7D.2四

【分析】首先证明。砂，求出DE,毋即可解决问题.

【解答】解：AABC是等边三角形，

.-.AB=BC=AC=4,

AD=DB,AE^EC,

:.DE=-BC=2,DEIIBC,

2

EF±BC,

:.DE.LEF,

ZEFC=9Q°,EC=2,ZC=60°,

:.EF=ECsin600=y/3,

在RtADEF中,ZDEF=90°,

DF=dDE2+EF2=万+（圾2=布,

故选：C.

【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11.（4分）分解因式：2f—8=_2（x—2）（x+2）_.

【分析】直接提取公因式2,再利用公式法分解因式得出答案.

【解答】解：2X2-8=2（X2-4）

=2(x-2)(%+2).

故答案为：2(x-2)(x+2).

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

12.(4分)若分式止电的值为零，则x的值是T.

x-4——

【分析】根据分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母W0.即可解答本题.

【解答】解：Ezl^=(x4)(x+4)=x+4=0,

x-4x-4

解得x=-4.

故答案为T.

【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件.

13.(4分)如图，AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,将AABC绕点3旋转得到△,且点C

的对应点C'刚好落在他上，连接A4'.则NA4V—15。—.

【分析】根据旋转可得ZABC=ZABC=30°,A3=AB,得NBAA=75°，根据ABAC=ABAC=60°,

进而可得Z/4AC的度数.

【解答】解：根据旋转可知：

ZA,BC=ZABC=30°,A!B=AB,

ZBAA=ZBAA!=1(180°-30°)=75°,

ZBAC=ZBAC=6O°,

ZAA'C'=ZBAA-ZBAC=75°-60°=15°.

故答案为：15。.

【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

14.(4分)如图，AC是矩形/WCD的对角线，分别以点A,C为圆心，以大于』AC的长为半径画

2

弧，两弧交于点E,F,直线跖交AD于点交BC于点、N,若A〃=6,MD^4,则线段CD的长

为2小.

【分析】如图，连接CM,；于勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图，连接CM.

由作图可知，垂直平分线段AC,

：.MA=MC=6,

四边形ABCD是矩形,

..."=90°,

CD=4CM--DM1=762-42=275,

故答案为2档.

【点评】本题考查作图-基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15.（12分）（1）分解因式：a2b-4ab2+4b3.

（2）解方程：—--1=^^.

%—22x—4

【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：（1）原式=6（/-4。6+4/）

=b（a-2b¥；

（2）去分母得：2x—2x+4=x,

解得：x=4,

经检验x=4是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握分式方程的解法及

因式分解方法是解本题的关键.

2x-lx+1-X

16.(6分)解不等式组：「一<三3,并在数轴上表示出它的解集.

x—5„1+

-5-4-3-2-1012345>

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小

小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式①，得：x<5,

解不等式②，得：X..-2,

则不等式组的解集为-2,彳<5,

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

------------1---1---1---1---1---1—

-3-2-1012345

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

17.(8分)化简求值：(一^----产口一)十丝心，其中根=3.

m—2mm—4m+4m

【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式然后把X的值代入计

(x-2)2

算即可.

【解答】解：原式=［上工——"工］」

m(m-2)(m-2)m-4

(m+2)(m—2)—m(m—1)m

m(m—2)2m-4

m-4m

m(m-2)2m-4

］

"-2)2'

当7〃=3时，原式=--=1.

(3-2)2

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的

值.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的

结果要化成最简分式或整式.

18.(8分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系

后，AABC的顶点均在格点上，坐标分别为4(2,2),8(1,0),C(3,l).

(1)画出AABC关于y轴对称的△A4G；

(2)画出将AABC绕原点O顺时针旋转90。所得的；

(3)用G与△A与C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标.

【分析】(1)利用利用y轴对称的点的坐标特征写出A、B「&的坐标，然后描点即可;

(2)利用网格特点和旋转的性质画出上、之、C2,从而得到△&B2C2；

(3)根据中心对称的定义进行判断.

【解答】解：(1)如图，为所作；

(2)如图，△4B2C2为所作；

(3)△A4C与△人与。2成中心对称图形，对称中心的坐标为(-；，-；).

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段

也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转

后的图形.也考查了轴对称变换.

19.(10分)如图1,在中，以3c为边作等边ABCP,交4)于点E,F,且隹=£犷.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)如图2,连接AP,AC,若EF=1,BC=3.

①求证：AP±PC；

②求AC的长.

【分析】(1)通过证明APEF是等边三角形，可得PE=PF,可得BE=CF,由“SSS”可证

AABE=ADC/,可得NA=NO=90。，由矩形的判定可证四边形ABC。是矩形；

(2)①由等边三角形的性质可得/石=「尸=所=1,PB=BC=PC=3,可得BE=CF=2,由“SSS”

可证AAFP三ACFD,可得NAPC=ND=90。，可得结论；

②由全等三角形的性质可得AP=CD=AB,由“SSS”可证AAPCMAABC,可得NACB=NACP=30。，

由直角三角形的性质可求解.

【解答】证明：(1)ABCP是等边三角形，

ZPBC=ZPCB=60°=ZP,PB=PC,

四边形MCD是平行四边形，

:.AB=CD,AD//BC,ZA+ZD=180°,

ZPEF=APBC=60°,ZPFE=NPBC=60°,

APE/是等边三角形，

:.PE=PF,

:.PB-PE=PC-PF,

:.BE=CF,

又AB=CD,AE=DF,

:.AABE=ADCF(SSS),

:.ZA=ZD,

ZA+ZD=180°,

.\ZA=ZD=90°,

，平行四边形ABC。是矩形；

(2)①APEF是等边三角形，

-PE=PF=EF=1,

APBC是等边三角形，

.•.PB=BC=PC=3,

,\BE=CF=2.

AD=BC=3,EF=1,AE=DF,

.♦.AE=DF=L

..AF=2=CF,PF=DF=1,

又ZAFP=ZCFD,

.•.AAFP=ACFD(SAS),

:.ZAPC=ZD=90°,

:.AP±PC；

②AAFP=ACFD,

:.AP=CDf

:.AB=AP,

又BC=CP,AC=AC,

:.AAPC=AABC(SSS),

:.ZACB=ZACP=30°,

:.AC=2AB,BC=mAB=3,

・•.AB=5AC=2。

【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

20.(10分)如图1,在ABCD中，ZABC=60°,AB:AD=7:8,石为CD边上一点，CE=8,连

接AE,BE,且

(1)求证：EB平分ZAEC：

(2)当CE:石0=2:5时，在人。上找一点尸，使PB+PE的和最小，并求出最小值；

DF

(3)如图2,过点石作印，5石交AD于点尸，求——的值.

DE

【分析】（1）利用平行线的性质等腰三角形的性质证明即可.

（2）如图1中，作的E关于4）的对称点直线EM交"）于"，交3c的延长线于T,连接

PM.求出AS,CD,CT,ET,EH,HM,再求出BM&BT?+MT2=《36?+（24扬？=12后,根

据PB+PE=PB+PM..BM,即可解决问题.

（3）如图2中，过点E作由JLA3于H交3c的延长线于T.利用相似三角形的性质解决问题即可.

【解答】（1）证明：如图1中，

四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD,

:.ZABE=ZBEC,

AB=AE,

:.ZABE=ZAEB,

:.ZBEC=ZAEB,

:.BE平分ZAEC.

（2）解：如图1中，作点E关于4）的对称点M,直线EAf交4）于"，交3c的延长线于T,连接

BM,PM.

四边形ABCD是平行四边形，AB:AD=7:8,

CE:DE=2:5,CE=8,

DE=20,

..AB=DC=28f

ZABC=60°,

.\ZD=ZDCT=60°,

:.CE=8,ET=4y/3,

,-.BC=AD=32,EH=EM=104，

.•.37=32+4=36,TM=206+=246,

/.BM=ylBT2+MT2=7362+(24^)2=12^,

PE=PM,

:.PB+PE=PB+PM..BM,

:.PB+PE.A2M,

.•.PB+PE的最小值为12折'.

(3)解：如图2中，过点石作石于〃交5C的延长线于T.

由(2)可知，DE=20fDH=1。，EH=106,ET=4y/3CT=4,5T=36.

ZT=ZEHF=ZBEF=9Q°,

ZBET+ZFEH=90°,NFEH+NEFH=90。，

ZBET=ZEFH,

NBTE^AEHF,

BT_ET

丽一丽’

36_4后

1073-FH'

3

图2

【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压

轴题.

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21.（4分）已知尤+工=7,那么Y+二47.

XX

【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案.

【解答】解：x+-=7,

X

；.（尤+!）2=49,即％2+±+2=49,

XX

则/+4=47,

X

故答案为：47.

【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键.

22.（4分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,过点A作AELCB交CB的延长线于点E,连接

OE.若菱形ABCD的面积等于12,对角线比）=4,则OE的长为3.

【分析】由菱形的性质得出瓦＞=12,由菱形的面积得出AC=9,再由直角三角形斜边上的中线性质

即可得出结果.

【解答】解：四边形ABCD是菱形，

:.BD±AC,

BD=4，S蓑变彩.口形=-2ACXBD=12，

/.AC=6,

AE±BC,

,\ZAEC=90°,

OE=—AC=3,

2

故答案是：3.

【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的

关键.

23.（4分）已知机是不等式组!“一亍3根一1°的正整数解，则分式方程二_=2_有整数解的概率

\JTI<8x—2x+1

为-.

~2~

【分析】先解不等式组求出解集，确定正整数机的值，再解分式方程，得到方程有整数解时机的值，

然后利用概率公式求解即可.

【解答】解：解不等式机-2„3%-10,得机.4,

所以不等式组「一3"-1°的解集为4,,根<8,

[m<8

二.正整数?n=4,5,6,7.

分式方程去分母得：2（x+l）=m（x-2）,

整理，得（加一2）%=2m+2,

当相一2w0即7%w2时，x=2"+2，

m-2

即x=2+-^,

m-2

分式方程有整数解，且无w2,xw-1,

加=4,5,

分式方程二一=」也有整数解的概率为：

x—2x+142

故答案为：

2

【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查了一元

一次不等式组的整数解以及解分式方程.

24.（4分）在边长为4』的正方形ABCD中，点E,尸是AD上两点，且AE=D式，ZBCE=60。，

CE交对角线于G,交BF于点、P,连接AP.则四边形ABG尸的面积为_246-24

【分析】如图，过点P作于〃，过点6作6必，。）于M,过点3作3NLEC于N.解直

角三角形求出PG,B2V即可解决问题.

【解答】解：如图，过点P作于H,过点G作GMLCD于M,过点3作3NLEC于N.

四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=4^3,ZBAF=ZCDE=90°,

AE=DF,

:.AF=DE,

:.ABAF=ACDE(SAS),

:.ZABF=ZCDE,

ZABC=ZDCB=90°,

:.ZPCB=ZPBC^60°,

r.APBC是等边三角形，

：.PB=BC=PC=4陋，

GMLCD,NGZM/=45。，

:.DM=GM,T§1DM=GM=X,

在RtAGCM中,Z.GCM=30°,

:.CM=6GM=«X,CG=2GM=2X,

x+J3x=4A/3,

x=6—25/3,

CG=12-4y/3,PG=PC=CG=4^-(12-473)=873-12,

在RtABCN中，BN=BCsin60°=4A/3=6,

2

ED

在RtAPBH中，PH=PBsin30°=2A/3国幺------------'C

•••^™P=^+5APBG=1-AB-PH+|-PG-JB7V=1X473X273+|X(873-12)X6=2473-24.

方法二：连接AG交B尸于O,证明AGJ_BP.根据四边形的面积=13PAG计算即可.

2

由ABGC=MG4,推出Nfi4G=NBCG=60°,可得NAO3=90°.

故答案为24石—24.

【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

25.(4分)如图，直线>=瓜+2有交y轴于点A,交无轴于点3,点C和点3关于y轴对称，连

接AC,点。是AABC外一点，ZBDC=6QP,点E是皮)上一点，点P是CD上一点，且CF=BE,连接

【分析】根据直线y=6x+2g交y轴于点A,交x轴于点3,可得B(-2,0),A(0,2a)，根据点

C和点3关于y轴对称，可得C(2,0),从而可得AABC是等边三角形，连接AF,证明AABE三AACF,

进而得AA£F是等边三角形，再利用勾股定理即可求出

BF2+EF2的值.

【解答】解：直线y=+交y轴于点A,交X轴于点3,

.­.5(-2,0),4(0,2月，

点C和点3关于y轴对称，

.-.C(2,0),

AB=AC,

:.BC=OB+OC=4,

AB=VOA2+OB2=4,

AB=AC=BCf

「.AABC是等边三角形,

ABAC=60°,

如图，连接AE、AF9

400=60。，

:.ZBDC=ZBAC,

根据三角形的外角，得

ZABD+ZBDC=ZACD+NCAB,

:.ZABD=ZACD,

.•.在AASE和AACF中，

BE=CF

</ABE=ZACF,

AB=AC

:.^ABE=AACF(SAS)f

:.AE=AF,ZBAE=ZCAF,

ZBAE+ZBAF=Z.CAF+ABAF=ABAC=(^P,

/.ZE4F=60°,

.•.A4EF是等边三角形，

ZAFE=60°,AF=EF,

ZBFE=30°,

.\ZBFA=90°,

.•.在RtAABF中，根据勾股定理，得

222

BF+AF=AB=16f

:.BF2+EF2=16.

故答案为：16.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、关于无轴、y轴对称的点的坐标，解

决本题的关键是掌握一次函数的性质.

二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)

26.(8分)今年5月以来，四川多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了A,3两种布偶玩

具，在夜市贩卖，已知每件A布偶比3布偶便宜2元，购买一定数量的布偶A所用资金为3000元，购买

相同数量的布偶6所用资金为3300.

(1)求A,3两种布偶的单价分别是多少元？

(2)该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降〃?％促

销.要使所有布偶销售完后盈利1800元，求机的值.

【分析】(1)设A种布偶的单价是x元，则3种布偶的单价是(x+2)元，根据数量=总价+单价以及

购买布偶A的件数=购买布偶B的件数列出方程，求解即可；

(2)根据利润=售价-进价以及所有布偶销售完后盈利1800元列出方程，求解即可.

【解答】解：(1)设A种布偶的单价是x元，则3种布偶的单价是(x+2)元，

由题意得，陋=曾，

xx+2

解得，x=20,

经检验，元=20是原分式方程的解，

.”+2=22,

答：A种布偶的单价是20元，3种布偶的单价是22元；

(2)购买布偶A的件数=侬=150=购买布偶B的件数.

20

由题意得，30x150+30(1-?//%)x150-(3000+3300)=1800,

4

整理得，1—根％=-，

5

解得m=20.

故所求机的值为20.

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

27.(10分)已知在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,CE>_LAB于D.

(1)如图1,将线段CD绕点C顺时针旋转90。得到CF,连接AF交CD于点G.求证：AG=GF；

(2)如图2,点E是线段上一点(CEvgcB).连接田，将线段绕点E顺时针旋转90。得到EF,

连接AF交于点G.

①求证：AG=GF-,

②若AC=BC=7,CE=2,求Z)G的长.

图1图2

【分析】(1)由旋转的性质得出"CD=90。，CF=CD,证得CF=A£>,可证明AAOG三AFCG(A4S),

则可得结论；

(2)①过点E作EM_LCB交CD于点连接证明ACBD三AMEF(S4S),由全等三角形的性

质得出CD=A/F,ZMEF=NECD=45。,证明AADGMAFMG(AAS),则可得结论；

②由勾股定理求出AB,CD,CM,则可求出答案.

【解答】(1)证明：将线段CD绕点C顺时针旋转90。得到CF,

:.ZFCD=90°,CF=CD,

ZACB=90°,AC=BC,CD_LA3于Z),

:.AD=BD,CF//AD,

CD=AD=BD，

:.CF=AD,

又ZAGD=/CGF,

AADG=AFCG(AAS),

.\AG=GF；

(2)①证明：过点E作EAf_LCB交CD于点M,连接MF,

由(1)知。为AB的中点，

:.ZDCB=45°,CD=AD,

.•.△CEM为等腰直角三角形,

;.CE=ME,

又ZCEM=ZDEF=90°,DE=EF,

:.ZCED=ZMEF,

ACED=AMEF(SAS),

:.CD=MF,ZMEF=ZECD=45°,

:.AD=MF,ZCMF=90°,

又ZADG=90°,

:.ZADG=ZFMG,

ZMGF=ZAGD,

A