高考数列试题大全

全国历年高考数列试题大全

2011年高考题

1（天津理4）已知｛""｝为等差数列，其公差为-2,且%是生与%的等比中项，S“为

｛%｝的前〃项和，则Sio的值为

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.（四川理8）数列｛%｝的首项为3,也｝为等差数列且勿=。用一。"（〃£'*）.若则

么=一2,%=12,则4=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

［解析］由已知知或=2〃_8，％+i=2”-8,由叠加法

（出一%）+（%-出）~*---卜（%—%）=—6+—4+—2+0+2+4+6=0=>〃8=。1—3

3.（全国大纲理4）设S"为等差数列｛%｝的前〃项和，若4=1,2差d=2,S/+2-S*=24,

则&=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知数列｛“"｝的前n项和S”满足：S"+S",=5"+“，且q=i.那么"=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空题

5.（湖南理12）设S”是等差数列｛《J（〃eN"）,的前〃项和，且《=1,4=7,

则、9=

【答案】25

6.（重庆理11）在等差数列｛mJ中，%+“7=37,则“2+4+&+“8=

【答案】74

7.（北京理11）在等比数列｛an｝中，al=2,a4=-4,则公比q=；

a+a+...+a=

}2n_____o—2

2"T_1

【答案】2

8.(广东理11)等差数列.」前9项的和等于前4项的和.若4=1，4+4=°,则

k=.

【答案】10

9.江苏13)设14%…期！4”03，。5，。7成公比为4的等比数列，。2，。4，。6

成公差为1的等差数列，则q的最小值是

【答案】、

三、解答题

10.(江苏20)设M部分为正整数组成的集合，数列}的首项q=1,前n项和为S”，

已知对任意整数kCM,当整数〃〉"时，S“+£+S,T=2(S,+S«)都成立

(I)设"={1}，。2=2,求知的值；

⑵设M={3,4},求数列{%}的通项公式

本小题考查数列的通项与前〃项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析

探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：⑴由题设知，当〃22时,S,“|-S“_|=2⑸+S)

即⑸+「S,,)—⑸一S,i)=2£,

从而4+i-%=2%=2,又做当时’n>2,an=a2+2("2)=2"2.

所以的的值为8。

(2)由题设知,当上£用={3,4},且畦位n+k+Sn_k=2Sn+2Sk

且S〃+]+丈+Sn+"k=2S〃+]+2Sk,

+a

两式相减得〃〃+1+&n+\-k=2%,即a〃+]+k-an+]_k=atl+}-an+x_k

所以当n-8时，%-6，an-3，4，4+3，4+6成等差数列，且4-6，4-2，%+2，4+6也成等差数

列

从而当〃28时，2%=an+3+atl_3=an+6+an_6.(*)

且4+6+%-6=4+2+4,-2，所以当畦8,1an=an+2+an_2,

aaafla

gpn+2—n~n~4-2•于T小灯9,d„_3,%_],n+l»n+3成等差数列,

从而%+3+%-3=。川+4』，

故由（*）式知2""=an+\+4-1，即%+1―怎=怎一“"-「

当〃29时，设1=4"_4"+1.

当24机W8时,，"628,从而由（*）式知2限=4+。,向2

故2aM+7=","+i+

从而2（。，"+7-am+6）=am+\~a>n+（4+13-。/»+12）,于是Um+l~4-2d-d-d.

因此，"N一%="对任意〃22都成立，又由S,i+S,T-2s*=2S"e{3,4}）可

知（S,M—S“）—⑸一S〃_*）=2&,故岫=2s31d42s4,

d_

a,=-d,从而a,

解得22

因此，数列仅〃｝为等差数列，由％=1知"=2.

所以数列的通项公式为氏=2〃—L

11.(北京理20)

A

若数列"=.，啊…，“〃22)满足|«n+1-aj=Kk=1,2,...,〃一1),数列An为E数列,

记S(4)=%+。2+…+

(I)写出一个满足6=%=°,且S(A,)〉0的E数列4,；

(II)若4=12,n=2000,证明：E数列4是递增数列的充要条件是%=2011；

(III)对任意给定的整数n(n>2),是否存在首项为0的E数列4，使得，(4,)句？

如果存在，写出一个满足条件的E数列4，；如果不存在，说明理由。

解：(1)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)

(II)必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以％+i-4=1也=1,2,…,1999)

所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2011.

充分性，由于a2000—alOOgl,

a2000—alOOC^l

a2—a1W1

所以a2000—a<19999,即a200CKa1+1999.

又因为al=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

故an+i-an=1〉0(A=1,2,…,1999),即多是递增数列.

综上，结论得证。

(IH)令=ak+\~ak=1>°色=1,2,…、〃-1),则以=±1.

因为%=为+臼+%=%+J+c2

%=%+j+。2+…+%+i，

所以S(4,)=+(n—l)c,+(n—2)C2+(n-3)c3-+----Fcn_1

n(n-1)rz,、

=-~[(1-G)(〃-1)+0-c2)(n-2)+-••+(1-c“_1)].

因为c*=±1,所以1—ck为偶数(k=1,…，〃一1).

所以*1一。)(〃一1)+(1-°2)(〃一2)+3+(1-，")为偶数，

S(A“)=0,必须使他二2

所以要使2为偶数，

即4整除〃(〃—1),亦即〃=4m或〃=4m+l(meN*)

当〃=4m+l(meN*)时,E数列的项满足4==。的=0,*=T%*=1

(女=1,2,…,加)时,有q=O,S(A“)=O;

&软=1伏=12…,加),。伏+1=。吐有q=O,S(A“)=O;

当〃=4加+1(用eN*)时,E数列A,,的项满足，a4i_,=6-=。必皿=T

当〃=4，〃+2或〃=4加+3(加eN)时,〃(m-1)不能被,整除，此时不存在E数列An(

使得。।=O，S(A〃)=O.

12.(广东理20)

an=〃b*-2)

设b>0,数列满足al=b,”,i+2〃—2.

(1)求数列("J的通项公式；

a“V—~+1.

(2)证明：对于一切正整数n,2"

解：

q=b>0,知a“=——0———>0,-=-+2上11

(1)由«„-i+2/J-2anbb%

.n1

4=一，4=~

令生，b,

12

n>2^,A=-+-A_

当nhhnl

122n~22'i

=17+…-I----d-----A.

bb2方h'-'1

122"~22"T

=1-+…H----d----.

bb2尸b"

①当bw2时，

&=20'J",A„=—.

②当2

〃川S-2)

,b^2

«bn-T

2,b=2

n+l।口差八/一2"

nb"(b-2)b+

(2)当力02时，(欲证"”,k+L八而证〃匕_2

h"-T)

//_?n

(2,,+|+bn+i)-~—=(2,,+1+b"+i)(//-+2bn-2+…+2'-')

b-2

+12222nn+i

+2"b'-+---+2"+b"+2b"-'+...+2-'b

=25(二，...+二+工+”+…+2)

bb2b"2"2"T2

>2"b"(2+2+•••+2)=2〃-2nb"=〃•2n+lb"

nb"(b-2)bn+l,

a=---------

〃b"_2n<-2"-【+1.

b=2时,。=2=——-+1.

当“2n+,

综上所述2n+l

13.（湖北理19）

已知数列｛""｝的前"项和为

S"且满足：41=4（。*°）dn+1—rSn(〃N*,

rwR,r工-1)

（I）求数列｛"”｝的通项公式;

（H）若存在k6N*,使得&+i,Sk,5L+2成等差数列，是判断：对于任意的机WN*,

且m22,a,“+i,a,“,成，+2是否成等差数列，并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般

的思想。（满分13分）

解：（I）由已知「+i=rS”,可得。“+2=内向,两式相减可得

4+2一%+1=「(S.+|-S“)='4+],

即氏+2=（r+1）。向，

又出=吗=肛所以时，

数列｛《，｝为：a,0,0,…；

当r#0,rw—l时，由已知aR°5所以％Y0（neN*）

9=r+l(〃eN*)

于是由=(「+可得a

""+2l)4+i，n+i

+…成等比数列,

.•.当必2

n2an=r(r+l)"~a.

综上，数列｛为｝的通项公式为"[r（r+\）"-2a,n>2

（H）对于任意的机eN*,且机22,a,e,%,a,,/成等差数列，证明如下:

a,n-\,

当r=0时，由⑴知，町Q,,〃n一>2“

•••对于任意的加且机成等差数列,

eN*,22,am+l,am,am+2

当rw-l时，

,1+2=Sk+ak+i+"«+2,Sk+｝+ak+].

若存在kwN*,使得1+i，S”Sh2成等差数列，

则

S*+i+S*+2=2Sk,

,-2S*+2a«+]+ak+2=2Sk,E|Jat,+2=-2ak+l,

由⑴知，“2，/，％…的公比r+l=-2,于是

对于任意的且加，从而

meN*,N2,a,“+]=_2aHia,“+2=44“，

a

,,m+l+°M+2=2aM，即4+1，%，%+2成等差数列,

综上，对于任意的mwN*,且“22,%”|,。,“,（+2成等差数列。

14.（辽宁理17）

已知等差数列｛an｝满足a2=0,a6+a8=-10

（I）求数列｛an｝的通项公式；

（II）求数列的前n项和.

q+d=C

*

(D设等差数列的公差为d,由已知条件可得12%+124=-10,

。［二L

解得〔"d一—_1.

故数列他"｝的通项公式为%=2-〃...........§分

⑴)设数列受的前顼和为s■,」/+>••+占，故5=1

&=幺+”+.-+区

2242"

所以，当〃〉1时,

+•••+氏一%4

2"~'2"

12-n

=1)

2-几

1-(1---

2"-'2”

n

'T'

s=JL

所以"2-

n

｛—、｝的前项和

s.2^

综上，数列..........12分

15.(全国大纲理20)

设数列｛"J满足q=o且1一0同

(I)求｛"/的通项公式；

”=上尹,记$阴龙4,

S“<1.

(II)设7n*=i

解：

(I)由题设1—4+1

1

即1一%是公差为1的等差数列。

1,,,1

----=1,故"-----=n.

又l-ql-an

%,=i-L

所以〃

（ii）由（I）得

S“=5）=1-<]•

k=ik=iyfky/k4-1+1.......12分

16.（山东理20）

等比数列｛"J中，％32，。3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且％，/，。3中的任

何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（I）求数列3"｝的通项公式;

（II）若数列也｝满足：2=a"+（T）In%,求数列也｝的前n项和.

解：（I）当％=3时，不合题意;

当q=2时，当且仅当％=6,4=18时，符合题意;

当q=10时，不合题意。

因此％=2,电=6,%=18,

所以公式q=3,

故%=2”

(II)因为"，=%+(T)"lna“

=2.3"T+(_1)"(2-3"T)

=2•3”T+(-I)n[ln2+(n-l)ln3]

=2-3"-'+(-1)"(In2-ln3)+(-l)"nIn3,

所以

2n-12,,,,

S2n=2l(+3+---+3)+[-l+l-l+---+(-l)](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)n]ln3,

所以

。n1-3"〃1c

Sfl—2x-----1—In3

当n为偶数时，1-32

=3"+为3-1;

1-3"n-\

S=2x------(ln2-ln3)+(-——〃)ln3

当n为奇数时，1-32

n—\

=3"--In3-ln2-l.

2

综上所述，

3"+-ln3-l,〃为偶数

S„=2

fl—I

3"—-ln3Tn为有激

2

17.(上海理22)已知数列„和｛—｝的通项公式分别为%=3〃+6,b“=2〃+7

(〃wN*),将集合

｛xIx=%〃eN"｝U｛xIx=6",〃eN*｝中的元素从小到大依次排列，构成数歹ij

C],。2，。3，…，C"，…

(J)求，。2，。3，。4；

(2)求证：在数列｛C，J中.但不在数列｛么｝中的项恰为。2，。4,…，。2"，

(3)求数列忙”｝的通项公式。

解：⑴。=9,。2=12©=13；

⑵①任意九设4〃7=3(2〃_1)+6=6〃+3=%=2%+7,则女=3〃—2,即

i-2

②假设%,=6，?+6=4=2k+7=k=3，L5eN(矛盾)...%把电｝

在数列｛'J中.但不在数列｛也J中的项恰为“2,。4,…，%，…。

⑶4-2=2(34-2)+7=6k+3=々J,

b3k7=6k+5a2k=6k+6b3k=6^+7

・.・6k+3<6氏+5<6氏+6<6k+7

...当&=］时，依次有4=q=q,%=仃2，出=。3，&=。4,......

6k+3(〃=42-3)

6氏+5(〃=4k-2)*

c-<,ksN

n64+6(n=4k—l)

.6k+7(n=4k)

・・1O

18.(天津理20)

,,nL3+(—1)"

已知数列与电｝满足：MU+"“一’"一2,〃eN*,||

%=2,a,=4

(I)求"3M4M5的值；

(II)设C"=%,1+%+”〃6"，证明：｛%｝是等比数列；

*好<"*)

(HI)设&一生+。4H证明：*=146

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综

合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

,3+-1)"...

或=---，〃eN,

(I)解：由2

1,〃为奇数

b.二

2,n为偶数

可得

又々4+《+1+”+1q+2=°，

当n=l时,al+a2+2a3=|^a=冬a招『得a3=-3;

当n=2时,2a2+a3+a4<,Wa4=-5;

当n=3时,a3+a4+2a5<,^>a4=4.

（II）证明：对任意〃eN”,

a2n-\+a2n+2a2"+1=。，①

2a2"+&2"+1+“2"+2=°，②

°2〃+1+a2n+2+2a2.+3=°，③

aa

®~®,得2n=2n+3-④

aa+

将④代入①,可得“2"+1+2n+3=~（2n-l。2"+1）

即明=-c“（〃eN*）

又q=q+4=T,故c“HO,

==-1,所以{%}

因此是等比数列.

（III）证明：由（II）可得%=（一1）”，

于是，对任意女eN*且上22,有

4+〃3=-1,

一（4+%）=T

a5+%=-1,

将以上各式相加，得q+（T）%2I=-（女一1）,

即知-i=（-l）t+l（k+1）,

此式当k=l时也成立.由④式得见人=（-1产（4+3）.

从而S2*=（。2+%）+（%+4）+…+（为"2+%*）=一女，

S

2k-i=S2k~a4k=k+3.

所以，对任意〃eN*,〃N2,

4nc

豆(^4tn-3+^4m-2+

aaa

Ik，〃=14m-34ni-2〃4，H-1

2m+22m-12m+32m、

>(z---------------------+------)

M2m2m+22机+12m+3

y(+-------------)

念2m(2m+1)(2m+2)(2〃?+2)

2。53

2x3占2机(2m+1)(2〃+2)(2〃+3)

153

<—F/-----------1------------

3占(2〃？一1)(2〃？+1)(2〃+2)(2”+3)

15I11I,11、、3

=-+一•[r(----)+(----)+•••+(-------------)1+--------------

3235572n-l2n+l(2n+2)(2n+3)

15513

=—I---------H------------

3622/1+1(2〃+2)(2〃+3)

7

6

对于n=l,不等式显然成立.

所以，对任意”cN*,

a\a2a2n-\。2n

（1一片）+（1一J-------_—)+…+(i--!---------)

4242-(42-1)4"(4"-1)

4124242(42-1)4"4"(4"-1)

1

<n-(—H--)=n——

4123

（浙江理已知公差不为的等差数列的首项为为

19.19）0｛6Ja（4G），设数列的前

J_J_J_

项和为S",且",“2,%成等比数列

(1)求数列的通项公式及S”

1111瓦」+—+...+」1

A.一+—+一+...+—

S.%aaa5,当〃时,试比较

⑵记S[S2S322i22A

与纥的大小.

本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

满分14分。

11

(—)2

(1)解：设等差数列｛q｝的公差为d,由%

%aA

得(%+4)2=«((«]+3J)

an(n+1)

,S"=

因为d/0,所以d=。所以2

1__21

)

(II)解：因为S"an"+1,所以

1111

----1--------1--------F•••4----=-(1-)

4〃

S]S2S3s“a+1

因为％"T=2"，Cl,所以

Y),21

B=+111

-ati4---------F…H---------

a,1a2"

1-----

2

当〃>2时\2"=C：+C：+C：+…+C：>〃+1

1———<1--

即«+12"

所以，当。＞。时,

当。<0时,>Bn.

20.(重庆理21)

设实数数列S"｝的前n项和S”，满足S"+i=%+|S“(〃eN')

(I)若％，§2—24成等比数歹|J,求$2和的；

.一4

k>3W0<ak+l<ak<-

(II)求证：对3

得.=_2邑

(I)解：由题意S=3=。必2,

由S2是等比中项知,2丰。因此S?=-2.

由§2+q=邑=@3§2解得

(II)证法一:由题设条件有S"+4+1=4+3"，

Hl.a且a,=—―S=a',+'.

从而对左23有

aa1[3

r,Li-k-i+=(%-彳)？+彳>0月晨一；0>0

因24,由①得％-U

4a\4

以《一~2-7―T，

要证3,由①只要证ak-i-ak-\+13

即证3a；T<4(。3-为_]+D,即(4_1-2)2>0.

此式明显成立.

4

ak<-(k>3).

因此3

d、

%+1—_7〉心，

最后证%+1-%.若不然/_%+1

ak>0,故驰刍——>1,(4-<0.

a：一。.+1

因此4+i<ak(k>3).

证法二：由题设知s，，+i=s“+=%+R,

故方程炉-SQ+s„+1=。有根和%(可能相同).

因此判别式△=S3-4S“+]>0.

S.+2=S“+]+an+2=。“+25“+I得用*2。1S“+i=

又由%+2—1

之°，即3a3-<0

因此(a,,+2-1)4+2T,

4

0a

-,,+2-T-

解得3

4

0<«.<—(k>3).

因此3

j>0(%23)

SjT

=-------------=---------------su.

s：_-九+i(q_景+1”

因此"《+i4%*—3).

2010年高考题

一、选择题

c

1.(2010浙江理)⑶设S“为等比数列｛《,｝的前〃项和，8%+。5=0,则也=

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通过8%+%=0,设公比为q，将该式转化为8a2+=0,解得q=-2,带入所

求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，

属中档题

2.(2010全国卷2理)⑷.如果等差数列｛《,｝中，%+%+%=12,为陷％+%+...+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】a+a+a=3a=12,a=4,/.a+a-i---+-a=7%=28

34544t27，

3.(2010辽宁文)(3)设S“为等比数列｛&｝的前几项和，已知3s3=%-2,352=a3-2,

则公比q=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

解析：选B.两式相减得,3a3=%-%，%=4%,二q=幺=4.

4.(2010辽宁理)(6)设｛aj是有正数组成的等比数列，S”为其前n项和。已知a2a4=1,S3=7,

则S5=

,、15313317

(A)—(B)—(C)—(D)—

2442

【答案】B

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能

力。

【解析】由a2a4=1可得a"4=],因此q=±,又因为邑=%(1+4+(?2)=7,联力两式

q~

111

有(±+3)(上—2)=0,所以q=L,所以Ss=------1-=」31，故选B。

qq2、J4

2

5.(2010全国卷2文)(6)如果等差数列｛%｝中，％+。4+。5=12,那么。]+〃2+”••••+%二

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本题考查了数列的基础知识。

,I.44+凡+…+d=1x7xm+。7)=7。4=28

12*7

..4+。4+。5=12,.a4=42

6.(2010安徽文)⑸设数列｛《,｝的前n项和S“=n2,则%的值为

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】a8=S8-S7=64-49=15.

［方法技巧】直接根据an=S“—S“_|(〃>2)即可得出结论.

7.(2010浙江文)(5)设s“为等比数列｛4｝的前〃项和，84+%=。则/=

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通过84+/=0,设公比为q,将该式转化为8。2+。2/=0,解得4=2带入所

求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式

8.(2010重庆理)(1)在等比数列｛为｝中，4010=840。7，则公比q的值为

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

解析：%幽=/=8.“=2

〃2007

9.(2010广东理)4.已知｛4｝为等比数列，Sn是它的前〃项和。若。2・。3=2囚，且％与

2%的等差中项为:，则55=

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：设｛｝的公比为q,则由等比数列的性质知，2=。1,g=2。］,即%=2。由4

与2%的等差中项为1知，为+2%=2x；,即%=g(2x1—%)=g(2x；-2)=；.

q3=生=—,即q==qq3=qx=2,即4=］6•

%828

10.(2010广东文)

4.已知数列瓦｝为等比数列，S.是它的前”项和.若gq=的且4与

25的等差中项为：，则邑=

A.35B.33C.31D.29

:

解：a2­a3=qg•axq=2al=4=2

…35142

==-

a4+2qq'=2=>一+4q=-=>9=/"|=16

3一r

,16(1-^-)1

故：S,=-------^—=32(1--)=32-1=31,选C

1132

1----7-

11.(2010山东理)

(9)设｛仇｝是等比数列，则“先<位<先”是数列｛4｝是递噌数列的

(A)充分而不必要条件(B:，必要而不充分条件、

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若已知a1.嵇，则设数列｛aj的公比为q,因为a］〈a2<a3，所以有aiVaiqVa/,解得q>l,

且%>0,所以数列｛aj是递增数列，反之，若数列｛%｝是递增数列，则公比q>l且a-0,所以

2

a1<a1q<a1q>即a［<a2<a3，所以a］〈a2<a3是数列｛aj是递噌数列的充分必要条件.

【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题.

12.(2010重庆文)(2)在等差数列｛4｝中，％+为=1。，则%的值为

(A)5(B)6

(C)8(D)10

【答案】A

解析：由角标性质得q+为=2%，所以。5=5

二、填空题

1.(2010辽宁文)(14)设5“为等差数列｛《,｝的前八项和，若$3=3,56=24,则

「o3x2」c

S,=3a,H-----a=3

312，解得7；

解析：填15./.a()=q+8d=15.

S6—6al+—J=24

2.（2010福建理）11.在等比数列｛aJ中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通

项公式an=

【答案】4n-'

【解析】由题意知q+4q+16q=21,解得q=l,所以通项%=4m。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。

3.（2010江苏卷）8、函数y=x2（x>0）的图像在点3，才）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+l,k

为正整数，fl/=16,则。/+。3+。5=

解析：考查函数的切线方程、数列的通项。

在点处的切线方程为：y-aj=2%（》一4）,当y=0时，解得x=]-,

所以4+]—+%+%—16+4+1—21o

三、解答题

1.（2010上海文）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小

题满分8分。

已知数列｛4.｝的前〃项和为S“，且S“=/i—5a“—85,nwN*

（1）证明:｛与-1｝是等比数列；

（2）求数列｛，｝的通项公式，并求出使得5„+1>S“成立的最小正整数n.

解析：⑴当〃=1时，。尸-14；当后2时，%=S“-S"T=-5a“+5a“.|+l,所以％-1=之5--1）,

6

又知，所以数列｛册-1｝是等比数列；

（2）由⑴知：=,得%=1一15•闭，从而

+〃一90(〃wN*)；

由S"+i>S“，得（工]<—,n>log,—+1«14.9,最小正整数"=15.

⑹5125

2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）

已知｛恁｝是公差不为零的等差数列，田=1,且田，6,劭成等比数列.

（I）求数列｛%｝的通项；（H）求数列｛2""｝的前”项和

解（I）由题设知公差d邦，

由。i=l,a],。3,即成等比数列得匕卫=匕细，

11+2d

解得d=l，d=0（舍去），故｛斯｝的通项斯=1+（72—1）xl=n.

（II）由（I）知2〃"=2〃，由等比数列前n项和公式得

23nn+l

Sm=2+2+2+...+2=却-2）=2-2.

1-2

3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）

已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，且

C/11、,"111、

"l+=2（---1---）,%+=64（---1----1---）

a

qa2%。45

（I）求｛4｝的通项公式；

（n）设a=（%+—）\求数列也,｝的前n项和Tn。

【解析】本题考查了数列通项、前〃项和及方程与方程组的基础知识。

（1）设出公比根据条件列出关于％与d的方程求得可与d,可求得数列的通项公式。

（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分

成两个等比数列分别求和即可求得。

4.（2010江西理）22.（本小题满分14分）

证明以下命题：

（1）对任一正整4都存在整数b,c（b<c）,使得及cZ成等差数列。

（2）存在无穷多个互不相似的三角形△“，其边长b„C,为正整数且a：,b：cj

成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

(1)考虑到结构要证/+，2=2。2,;类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值F,52,72满足等差数列，只需取b=5a,c=7a,对一切正整

数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角

形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当a；,b：c；成等差数列,则以

分解得：(％+%)血-。,)=(%+)(c“一2,)

选取关于n的一个多项式，4〃(〃2—1)做两种途径的分解

4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n2-2n)(2n+2)4n(n2-1)

2

an-n-2n-\

对比目标式，构造，包=〃2+1(n>4),由第一问结论得，等差数列成立，

2

cn=n+2//-1

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m,n,若相似：则三边对应成比例

m2-2m-1_m2+1_m2+2m-1

n2-2n-1n2+1n24-2H-1

由比例的性质得：也■=胆土=m=",与约定不同的值矛盾，故互不相似。

-1n+\

5.(2010安徽文)(21)(本小题满分13分)

设G,。2，…，G,，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴匕且都与直线

y=相切，对每一个正整数〃，圆G都与圆。向相互

外切，以表示G的半径，已知｛/；｝为递增数列.

(I)证明：｛「｝为等比数列；

第(21)题图

n

（II）设4=1,求数列｛3｝的前”项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位和减法求和等基本方法，考察抽象概括

能力以及推理论证能力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设C,,的圆心为（4,,0）,得4,=2/;,同理得

4出=2*1，结合两圆相切得