微积分下册期末考试试卷

微积分下册期末考试试卷

考生姓名：学号：专业：

一、填空题(每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

1.点"(1,一1,2)至U平面x-2y+2z—l=0的距离d=.

2.已知W=2,卜，=3,a=3,则,+@=.

3.设/(〃/)可微，z=/(%-'；/),则dz=.

4.设/(%)在［0,1］上连续，且/(x)>0,a与b为常

数.”小E。“卬叫喘詈”.

5.设/(x,y)为连续函数，交换二次积分次序"/(x,y)d)，=

JoJo

二、选择题(每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题

目要求的，把所选字母填入题后的括号内)

x—1v—5z+5|x—y=6

6.直线九二二二7=二与直线，的夹角为()

1-21⑵+Z=3

(A)-4.(B)7-t.(C)7-T.(D)7-1.

2346

f—pcos。

7.设/(x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分［2d(9f/(rcose,rsin6)rdr可

JOJ0

以写成直角坐标中的二次积分为()

(A)f(x,y)dx(B)f(x,y)dx

(C)J；dx£^/(x,y)dy(D)*/(x,y)dy

0<x<-

2

8.设/(x)=S(x)为/(x)的以2为周期的余弦级数，则

S(-1)=()

1133

(A)—.(B)--.(C)—.(D)--.

2244

[厂:,(x,y)工(0,0),

9.设/(x,y)=JJ/+y4则/(x,y)在点0(0,0)处()

|o,(x,y)=(0,0),

(A)偏导数存在，函数不连续(B)偏导数不存在，函数连续

(C)偏导数存在，函数连续(D)偏导数不存在，函数不连续

三、解答题

(2x2+3v2+z2=9

10.(本题满分10分)求曲线Z：《，在其上点历(1,-1,2)处的

|/=3/+/

切线方程与法平面方程.

11.(本题满分10分)设尸可微，z是由尸(x—y,^-2,2-3)=0确定的可微函数,

并设居TF；，求生+生.

3dxdy

12.(本题满分10分)设〃是由曲线y=》3与直线y=x围成的两块有界闭区域

的并集，求JJ[e'+sin(x+y)]dcr.

D

2

元2+9丫2_Q7-n

13.(本题满分10分)求空间曲线£：1­上的点到X。)，平面的距离

x+3y+3z=5

最大值与最小值.

14.(本题满分10分)设平面区域/?={(x,y)|0<x<l,0<y<l},计算二重积分

ff|x2+/-l|da.

D

15.(本题满分5分)设当y>0时〃(x,y)可微，且已知

VX

du(x,y)=(―^-7+肛2)dx+(一一；——r+Vy+2y)dy.求w(x,y)・

厂+yr+y

微积分下册期末考试试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，共25分）

1+2+4-

1.2.

3

2.BB卜+5）・（6+5）=，同2+问I+25•5=「4+9+6=JT5.

y}x>，xx

3.dz=(//・yx~+/2>lny\lx+(/；-xlnx+f^xy-)dy

4.

2/=Jj(a+b)d(y=a+b,I-—(a+0).

D2

5-J：dxJ；2/(x,y)dy="［忧/(x,y)dx

-J：力1d/(X，y)dx=^=-J：力£累〃x，y)dx.

二、选择题（每小题5分，共20分）

6.选（B）.Z的方向向量（1-2,1},4的方向向量{-1-1,2）,

2事华士L」,

6=三

V6V6623

7.选（D）.枳分区域。=卜,）*+/4x,y»o},化成直角坐标后故知选（D）.

8.选(C).S(—g)=S(—f=5弓)=3(/(；—0)+/§+0))=；(；+1)=：

0-0

9.选(A).月(0,0)=理三=0,4(0,0)=0,偏导数存在.

取y=H,lim/(x,kx)=lim「=/%

Xf°Z°jl1+%k4Vl+Jt4

随左而异，所以不连续.

三、解答题（10〜14每题10分，15题5分，共55分）

10.由L,视x为自变量，有

6小2

+y十z

区

4X=0,

立

6X+2y2z

一=0.

Jx

以（x,y,z）=（1,一1,2）代入并解出半，半，得

axax

dy_5dz_7

瓦―"瓦一W’

所以切线方程为

x-1y+1z-2

---------------------=------------9

157

48

法平面方程为

57

(x-l)+-(y+l)+-(z-2)=0,即8x+10y+7z-12=0.

48

dz_F；_F；-F；dz_F；_F\'+F；©z/z_F；—F；

dxF；-F；+F；dyF[-F；+F；dxdyF；-F；

12.〃在第一象限中的一块记为几〃在第三象限中的一块记为圆

+sin(x+y)}/cr=JJe'Jcr+^exda+J|sin(x+y)d<y+|Jsin(x+y)da.

DZ)|I)2。2

0

上db+JJJd”£dxj/dy+J]dxJexdy

AD2

a-

dx+dx=j一工卜厂dx

2g-liult

°edu-£uedu=e-l-(ue-e")|'}=e-l-l=e-2

|jsin(x+y)c/cr+JJsin(x+y)c/b=£Jxj?sin(x+y)Jy4-1sin(x+y)dy

D2

cos(x+x)-cos(x+%3)]dx-J〔COS(x+丁)-COS(

0

cos(x+x)-cos(x+%3)]dx+j[cos(x+『)-cos(x+=0

0

所以，原式二e—2.

13.£上的点到平面xoy的距离为忖，它的最大值点，最小值点与F的一致，用拉格

朗日乘数法，设尸(x,y,z,%〃)=z?+4卜2+9)”-2z2)+〃(x+3y+3z-5),

求偏导数，并令其为零有：

苏

=2Ax+//=0,--=18/ly+3//=0,

axdx

竺dFo?

及=2z-4/lz+3〃=0,£=f+9y2-2z=0,

dx

"

=x+3y+3z-5=0.

加

解之得两组解(x,y,z)i=(1,；,1)；(x,y,z)2=(-5,-1,5).所以当x=l,y=；时,

忖=1最小；当x=-5,y=-§忖，|z|=5最大.

14.将分成如图的两块，,的圆记为4,另一块记为@

4

jj|x24-y2=jj(l-x2-y2)d(r+JJ(x2+y2-\)d(j

DD|D2

=|j(l-x2-y2ko■+jj(x2+y2-\\l(y-jj(x2+y2-\\l(y

DiDD1

=2-y2”b+jj(x2+y2-ijjcr

D|D

2d0

=FJ；0i)"+J；办[：(/+

VX

15.由du(x,y]=(—^~-+xy2)rfx+(——-------+x2y+2y)dy,有

x+yx+y

史=/2+孙2，从而知u(x,y)=a