高中数学数学文化鉴赏与学习数学与化学教师版

数学与化学数学与科技之数学与化学化学是自然科学的一种，主要在分子、原子层面，研究物质的组成、性质、结构与变化规律，创造新物质（实质是自然界中原来不存在的分子），当然研究的工具离不开数学，如模型构建、数据的计算与处理等.一、好题赏析1．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（

）（参考数据）A．11分钟 B．14分钟C．15分钟 D．20分钟2．碳14是碳的一种具有放射性的同位素．它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中晚14的含量一样且保持稳定，一且生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期）．大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称称为“半衰期”1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国承相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸体内碳14的残余量约占原始含量的（参考数据，，）（

）A．75.42% B．76.28% C．76.74% D．77.19%二、小试牛刀3．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数．经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（

）A．10 B． C．100 D．4．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（

）(参考数据：，)A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.6315．中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（

）A． B． C． D．6．央视人民网报道：2019年7月15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓539座，已发掘墓葬93座．该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的93座墓葬中，有战国时期墓葬32座、两汉时期墓葬56座、唐墓2座、宋墓3座．生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．检测一墓葬女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断为该墓葬属于时期（辅助数据：）参考时间轴：A．战国 B．两汉 C．唐朝 D．宋朝7．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数（，为常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中（单位：克）代表分钟末未溶解糖块的质量，则（

）A． B． C． D．8．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹，现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：h）如下：原料时间工序原料A原料B原料C上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要___________．9．某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.10．甲烷是一种有机化合物，分子式是，它作为燃料广泛应用与民用和工业中，近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加，深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题，甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同，键角相等，请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间的夹角余弦值______.11．如图，是一种由60个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成的凸32面体，则结构中正六边形个数为______.这60个C原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也被称为足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()满足式中α，β，γ，δ分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数.已知C60中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无d，f轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp2.28，它表示参与杂化的s，p轨道数之比为，由此可计算得C60中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为________.12．在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度与析出银的光学密度由公式表示，现测得试验数据如下：0．050．250．100．200．500．101．000．370．791．30（1）写出变换过程，并列出新变量的数据表；（2）求出b与a，并写出对的回归方程．（精确到0.01）（参考数据;Ln0.1-2.30,Ln0.37-0.10,Ln0.79-0.24,Ln1.300.26,,）13．碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567年度碳排放量y（单位：亿吨）2.542.6352.722.802.8853.003.09（1）若h关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？（2）根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程．①根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？哪年能够实现碳中和？参考数据：．参考公式：．14．在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含碳量不断下降.现测得含碳量y(单位:百分比)与熔化时间t(单位:小时)的关系如下表:时间t5.05.25.45.65.86.0含碳量y9.737.466.044.352.742.06时间t6.26.46.66.87.0含碳量y1.480.980.570.410.25求y关于t的拟合函数.15．永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.指标区间来源改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后个数315230263134241572附：成品醋的品质采用指标值进行评价，评价标准如下表所示.一等品二等品三等品合格不合格（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为，求的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润多少（单位：元）与指标值的关系为，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？16．央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料上再结晶做了次试验，成功次；对附着在材料上再结晶做了次试验，成功次.用二列联表判断：是否有的把握认为试验是否成功与材料和材料的选择有关？材料材料成功不成功（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环节不合格需要修复的费用均为元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？附：，其中.参考答案：1．A【分析】由时，求得；由列不等式，通过解不等式来求得需要的时间.【详解】依题意可知时，，即，所以，由，得，两边取以为底的对数得，，所以至少需要分钟.故选：A2．C【分析】由题知生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为，由于至今有年，故代入计算即可，再根据已知参考数据结合对数运算求解即可.【详解】∵每经过5730年衰减为原来的一半，∴生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，由题意可得，．因为，所以．故选：C3．B【分析】将，代入给定的函数关系，解指数方程即得.【详解】当时，，则，，，即，故.故选：B4．C【分析】由题意，代入，解方程即可.【详解】由题意知，，即，所以，解得.故选：C.5．A【分析】依据古典概型的概念以及组合的知识简单计算可得结果.【详解】记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件.依题意得.故选:A.6．B【分析】根据题意得到函数关系式，代入数据计算得到答案.【详解】生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为，对应朝代为汉故选【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力.7．C【分析】利用题干数据代入，待定系数求解即可【详解】由题意，当时，；当时，故选：C8．46【分析】进分析，甲应尽快让乙开始描绘，故甲按A,C,B的顺序上漆即可.【详解】甲应尽快让乙开始描绘，甲先对原料A上漆需要9小时，然后乙用15小时对原料A描绘花纹，其中在这15小时描绘花纹的过程中，甲用10小时对原料C上漆，用5小时对原料B上漆，然后甲再对C进行11小时的上漆，此时乙对原料C描绘花纹11小时，还剩3小时完成原料C的描绘，完成后再对原料B描绘花纹8小时.所以完成这三件原料的描金工作最少需要小时.故答案为：46.9．【解析】记只雌蛙分别为、、、，只雄蛙分别记为、，列举出所有的基本事件，以及事件“选出的只牛蛙中至少有只雄蛙”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】记只雌蛙分别为、、、，只雄蛙分别记为、，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为：、、、、、、、、，共个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.10．.【分析】先作出正四面体ABCD，O为该正四面体的中心，连接DO交面ABC于E，则E为的中心，连接AE交BC于F，则F为线段BC的中点，设出该正四面体的棱长，根据E为的中心求出AE,进而求出DE,设出AO和DO（二者相等）的长度并通过勾股定理解出，最后用余弦定理即可求得.【详解】如图，正四面体ABCD，O为该正四面体的中心，连接DO交面ABC于E，则E为的中心，连接AE交BC于F，则F为线段BC的中点，设正四面体ABCD棱长为1，则易知点E是的中心，∴.在中，由勾股定理：，设，在中，由勾股定理：.∴在中，由余弦定理：.故答案为：.11．

20

【分析】因为s，p轨道数之比为，可得s，p所占比例为：，，又因为α，β，γ，δ分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数，所以可得，，，代入满足的三角函数式中可得余弦值，再由角的取值范围求出其正弦值.【详解】设一个中的凸32面体中共有x个五边形，y个六边形，，故共有20个正六边形，又因为，，，所以，，因为，∴．故答案为：20；.【点睛】关键点睛：本题考查了通过研究化学中的，着重考查分析能力和计算能力，解题关键是读懂新定义以及熟练掌握同角三角函数关系.12．(1);(2).【详解】试题分析：（1）将表达式两边取对数，根据均值的公式求得；（2）根据公式得到，从而得到回归方程.(1)V2041052u-2.300-0.1-0.240.26(2).点睛：这个题目考查了利用最小二乘法求得回归直线方程，注意公式的准确性，计算精准性，回归方程中，样本中心一定在回归方程上，可以将样本中心代入求得未知参数.13．（1）3.3（亿吨），0.21（亿吨）；（2）①；②大约在2026年实现碳达峰，在2055年实现碳中和．【分析】（1）代入回归方程计算可得估计值，再与实际值相减即可；（2）①设，根据已知数据求得，然后计算回归方程的系数得回归方程，即可得结论，再由已知关系求得的回归方程；②由二次函数性质可得碳峰值年，由和可得碳中和年．【详解】解：（1）2017年的估计值：（亿吨），从而估计减少碳排放量为（亿吨）．

（2）①设，则，，∴∴∴，

②∵y的对称轴为，∴大约在2026年实现碳达峰，当时，；当时，，即在2055年实现碳中和．14．【分析】由题意，令,根据题目所给数据转化得到新数据，利用最小二乘法求得回归直线的方程，得到答案.【详解】设z=lny,c=lna.时间t5.05.25.45.65.86.0z=lny2.2752.0101.7981.4701.0080.723时间t6.26.46.66.87.0z=lny0.392-0.020-0.562-0.892-1.386则ti=66,zi=6.816,=400.4,ziti=32.7782,=6,0.6196.∵b=≈