第11讲线线线面面面平行的证明（5个知识点5种题型强化训练）原卷版

第11讲线线、线面、面面平行的证明（5个知识点+5种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点一、基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.知识点二、等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识点三、直线与平面平行的判定及性质定理条件结论图形语言符号语言判定如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊄α，,m⊂α，,且l∥m))⇒l∥α性质一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝m))⇒l∥m思考：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？[提示]根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．知识点四、平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．知识点五、平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？[提示]不一定．它们可能异面．知识复习题型1.平行公理、等角定理及其应用一、单选题1．（2122高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2122高二下·湖南·阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2122高一·全国·课后作业）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2122高二上·吉林松原·期末）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（

）A． B． C． D．二、填空题5．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是（填序号）．6．（2122高二·全国·课后作业）若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是．三、解答题7．（2223高一·全国·课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．8．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．题型2.判断和证明线面平行一、单选题1．（2024·浙江·一模）已知直线和平面，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题2．（2324高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

3．（2324高三上·湖南衡阳·期末）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（

）A．重合 B．相交于一点 C．两两平行 D．恰有两条交线平行三、解答题4．（2024高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：平面EAC．(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．6．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.题型3.补全线面平行的条件一、单选题1．（2324高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（

）A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过二、多选题2．（2122高一下·重庆酉阳·阶段练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（

）A． B． C． D．三、填空题3．（2122高一·全国·课时练习）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是．（写出一种即可）四、解答题4．（2021高一下·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，．（1）求正四棱锥的体积；（2）若为三角形的重心，在边上是否存在点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由；5．（2122高一·全国·课时练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．6．（2023高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.题型4.线面平行的性质及应用单选题1．（2023·河南·模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（

）

A． B． C． D．二、填空题2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

3．（2324高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为．三、解答题4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.5．（2223高一·全国·课堂例题）如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与交于点P．求证：P是MN的中点．

6．（2223高一·全国·随堂练习）木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？

7．（2024高三上·全国·专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.8．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.题型5.面面平行的证明一、单选题1．（2223高三上·江苏泰州·阶段练习）设是两个不重合的平面，下列选项中，是“”的充要条件的是（

）A．内存在无数条直线与平行 B．存在直线与所成的角相等C．存在平面，满足且 D．内存在不共线的三个点到的距离相等2．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（

）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面二、填空题3．（2223高二下·河南信阳·阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于.4．（2324高三下·北京·开学考试）正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，若正方体的棱长是2，则线段的最小值.

三、解答题5．（2024高三·全国·专题练习）如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面.6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论.7．已知平面平面，平面平面．求证：平面平面．8．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．强化训练一、单选题1．（2324高二上·上海奉贤·期中）下列命题中，是真命题的选项为（

）A．平行于同一条直线的两个平面平行B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行C．分别在两个平行平面上的两条直线平行D．与两条异面直线都平行的两个平面平行．2．（2022高三·全国·专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（

）A．与是异面直线，且平面B．与是相交直线，且平面C．与是异面直线，且平面D．与是相交直线，且平面3．（2324高三上·河北保定·阶段练习）已知是异面直线，是两个平面，，设且；，则（

）A．是的充分条件但不是必要条件 B．是的必要条件但不是充分条件C．是的充要条件 D．既不是的充分条件也不是的必要条件4．（2324高三下·广东深圳·阶段练习）在三棱柱中，分别为棱的中点，为重心，则下列结论错误的是（

）A．平面 B．平面 C．为异面直线 D．为异面直线5．（2024·江西赣州·一模）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·模拟预测）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：①直线平面；

②直线平面；③直线平面；

④直线平面CDE.其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2324高二上·浙江绍兴·期末）正方体中，分别是的中点，点是线段（含端点）上的动点，当由点运动到点时，三棱锥的体积（

）A．先变大后变小 B．先变小后变大C．不变 D．无法判断8．（2024·贵州毕节·一模）已知平面：在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，与不平行，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题9．（2024·安徽黄山·一模）如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（

）A．与共面 B．平面平面C． D．平面10．（2324高三上·湖北襄阳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．到平面的距离是C．异面直线所成角的余弦值为D．平面将正方体分成两部分的体积比为11．（2324高三上·辽宁·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，则（

）A．直线与直线异面B．直线与平面平行C．三棱锥的体积是正方体体积的D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形三、填空题12．（2324高二上·湖南·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为.13．（2122高二上·云南临沧·期末）如图，已知圆锥，底面圆内接正方形，若平面平面．现有以下三个结论：①平面；②；③若为钝角，是底面圆周上的动点，则的最大面积大于的面积．其中所有正确结论的序号是．14．（2024·陕西西安·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则三棱锥的体积为.四、解答题15．（2223高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

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