（挑战压轴）专项28.2 锐角三角函数实际应用-母子型（解析版）

（挑战压轴）专项28.2锐角三角函数实际应用-母子型【方法技巧】通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高1．（2022•武昌区模拟）如图，某河段的两岸平行，小明在一侧河岸的A点观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小刚在距离A点80米的B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算出河宽为米（≈1.414，≈1.732，精确到个位）．【答案】109【解答】解：过点C作CE⊥DB，垂足为E，设CE＝x米，在Rt△CEA中，∠CAE＝45°，∴AE＝＝＝x（米），∵AB＝80米，∴BE＝AE+AB＝（x+80）米，在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x≈109，经检验：x≈109是原方程的根，∴河宽约为109米，故答案为：109．2．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7【答案】B【解答】解：设BC＝xm，∵AB＝2m，∴AC＝（x+2）m，∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°∴tan∠OBC＝tan67°≈，tan∠OAC＝tan37°≈，∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈（x+2），∴x＝（x+2），解得：x＝，∴OC≈x＝≈2.2m，故选：B．3.（2022•湖北）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732）【解答】解：过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，设DG＝x米，则AG＝（20+x）米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan60°＝，解得EG＝x，在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，tan30°＝＝，解得x＝10，经检验，x＝10是所列分式方程的解，∴EG＝10米，∴EF＝EG+FG≈18.9米．∴旗杆EF的高度约为18.9米．4.（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：由题意得：BB′＝DD′＝CC′＝1.2米，D′C′＝DC＝60米，∵∠AC′B′是△AD′C′的一个外角，∴∠D′AC′＝∠AC′B′﹣∠AD′B′＝30°，∴∠AD′C′＝∠D′AC′＝30°，∴D′C′＝AC′＝60米，在Rt△AC′B′中，∠AC′B′＝60°，∴AB′＝AC′•sin60°＝60×＝30（米），∴AB＝AB′+BB′＝30+1.2≈53.2（米），∴烟囱AB的高度约为53.2米．5.（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．【解答】解：延长EF交DC于点H，由题意得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH•tan45°＝x（米），在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝＝≈0.67，∴x≈30.5，经检验：x≈30.5是原方程的根，∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），∴拂云阁DC的高度约为32米．6．如图，学校数学兴趣小组同学计划测量建筑物AB的高度，先在D处测得该建筑物顶端A的仰角为28°，然后从D处前进40m到达C处，在C处测得该建筑物顶端A的仰角为60°，点B，C，D在同一条直线上，且AB⊥CD．求建筑物AB的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，≈1.73）【解答】解：设BC＝x米，∵AB⊥CD，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴AB＝BC•tan60°＝x（米），∵CD＝40米，∴BD＝BC+CD＝（x+40）米，在Rt△ABD中，∠D＝28°，∴tan28°＝＝≈0.53，∴x≈17.67，经检验：x＝17.67是原方程的根，∴AB＝x≈30.6（米），∴建筑物AB的高度约为30.6米．7．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．（Ⅰ）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）；（Ⅱ）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．【解答】解：（1）过点A作AE⊥MP，交MP的延长线于点E，连接BC并延长，交AE于点D．则CD⊥AE，BM＝CN＝DE＝1.6m，BC＝MN＝16m，∠ABC＝22°，∠ACD＝45°，设AD＝xm，则CD＝xm，BD＝（16+x）m，在Rt△ABD中，tan22°＝≈0.40，∴x≈10.7m，∴AE＝AD+DE＝10.7+1.6＝12.3（m）．即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．（2）12.6﹣12.3＝0.3（m）．∴本次测量结果的误差为0.3m．8．“测温门”用于检测体温．某测温门截面如图所示，小明站在地面M处时测温门开始显示额头温度，此时在离地1.6米的B处测得门顶A的仰角为30°；当他向前走到N处时，测温门停止显示额头温度，此时在同样高度的点C处测得门顶A的仰角为45°．已知测温门顶部A处距地面的高度AD为2.6米，对小明来说，有效测温区间MN的长度约为多少米？（结果保留一位小数）【解答】解：设AD与直线BC交于点E，由题意得：MN＝BC，DE＝CN＝BM＝1.6米，∠AEB＝90°，∵AD＝2.6米，∴AE＝AD﹣DE＝2.6﹣1.6＝1（米），在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，∴EC＝＝1（米），在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴BE＝＝＝≈1.73（米），∴MN＝BC＝BE﹣CE＝1.73﹣1≈0.7（米），∴有效测温区间MN的长度约为0.7米．9．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新传送带AC的长度为8m；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），∵4＜5，∴货物MNQP需要挪走．10．如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡角为a的山坡300米到达B点，再从B点爬坡角为30°的山坡200米到达山顶的C点（点B，C和直线AM在同一铅垂平面上），已知tanα＝．（1）求点B到直线AM的距离；（2）求这座山的高度．【解答】解：（1）过点B作BD⊥AM于点D，∵tanα＝，AB＝300米，∴设BD＝x米，则AD＝3x米，故x2+（3x）2＝3002，解得：x＝30，答：点B到直线AM的距离为30米；（2）过点C作CN⊥AM于点N，交BG于点F∵BC＝200米，∠CBF＝30°，∴CF＝BC＝100（米），则CN＝（100+30）米，答：这座山的高度为（100+30）米．11．如图，学校一幢教学楼AB的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC，小同在M点用测倾器测得宣传牌的底部A点的仰角为31°，他向教学楼前进7米到达N点，测得宣传牌顶部C点的仰角为45°，已知广告牌AC的高度为3米，测倾器DM＝EN＝1.5米，点B、M、N在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.61）【解答】解：连接DE并延长交AB于F，∵DM⊥MB，EN⊥MB，∴DM∥EN，∵DM＝EN，∴四边形DENM是矩形，∴DE∥MN，∴DE⊥BC，设AF＝xm，∴CF＝1.5+x，在Rt△FCE中，∵∠CEF＝45°，∴FE＝CF＝1.5+x，∴DF＝7+3+x＝10+x，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝＝≈0.61，∴x≈15.6，∴AB＝AF+FB＝15.6+1.5≈17，答：教学楼AB的高度是17米．12．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头