第03讲 余角、补角和对顶角（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年七年级数学上册（苏科版）

第第页第3讲余角、补角和对顶角1、认识并理解余角、补角、对顶角的定义；2、掌握余角、补角、对顶角的性质；3、会用定义和性质进行数学表达，并会利用定义和性质进行简单的推理。知识点1：余角和补角（1）余角：

如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。

∠A+∠C=90°,∠A=90°-∠C,∠C的余角=90°-∠C即:∠A的余角=90°-∠A

（2）补角：

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A+∠C=180°,∠A=180°-∠C,∠C的补角=180°-∠C即:∠A的补角=180°-∠A（3）补角的性质：

同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。

等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

（4）余角的性质：

同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。

等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

注意：

①钝角没有余角；

②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；

③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。知识点2：相交线1.相交线的定义在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。图1图2图32.对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。3.对顶角的性质：对顶角相等。4.邻补角的定义如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°【题型1余角概念及及性质】【典例1】（2023秋•乐亭县期中）若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【答案】A【解答】解：∵∠α与∠β互余，∴∠α+∠β＝90°，∵∠α＝72°30'，∴∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣72°30'＝17°30'．故选：A．【变式1-1】（2023春•禅城区校级期中）已知∠1与∠2互余，若∠1＝25°，则∠2＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】D【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣25°＝65°．故选：D．【变式1-2】（2022秋•宁波期末）已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于（）A．130° B．140° C．150° D．160°【答案】A【解答】解：根据余角的定义，这个角的度数＝90°﹣40°＝50°，根据补角的定义，这个角的补角度数＝180°﹣50°＝130°．故选：A．【变式1-3】（2022秋•南浔区期末）已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【答案】C【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'，∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，故选：C．【题型2补角及性质】【典例2】（2023春•雨城区校级期中）如果一个角的补角是这个角余角的2.5倍，那么这个角的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】A【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为：90°﹣x，补角为180°﹣x，根据题意有：180°﹣x＝2.5（90°﹣x），解得：x＝30°，故选：A．【变式2-1】（2022秋•金平区期末）已知∠1＝50°，则∠1的补角的度数是（）A．130° B．140° C．40° D．60°【答案】A【解答】解：∠1的补角＝180°﹣∠1＝130°．故选：A．【变式2-2】（2023秋•乐亭县期中）若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【答案】D【解答】解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∴∠1＝∠3．故选：D．【变式2-3】（2022秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故这个角的度数为30°．故选：A．【题型3相交线定义和运用】【典例3】（2022秋•梅里斯区期末）两条直线相交可将平面分成四个区域，三条直线相交可将平面最多分成7个区域，四条直线相交最多可将平面分成（）个区域．A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【解答】解：∵1条直线把平面分成1+1＝2个区域；2条直线把平面分成1+1+2＝4个区域；3条直线把平面分成1+1+2+3＝7个区域；∴4条直线把平面分成1+1+2+3+4＝11个区域，故B正确．故选：B．【变式3-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意；B．点M在直线l1上，故本选项不合题意；C．点M在直线l1上，故本选项不合题意；D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．【变式3-2】（2023春•澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【解答】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，故选：A．【变式3-3】（2022秋•长顺县期末）在同一平面内，4条直线相交，则交点的个数最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解答】解：如图所示：故交点个数为1或4或6，个数最多有6个．故选：D．【题型4对顶角性质】【典例4】（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（）A．减少12°27′ B．增大167°33′ C．不变 D．增大12°27′【答案】D【解答】解：∵线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小变化是12°27′，故选：D．【变式4-1】（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．145°【答案】A【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝35°．故选：A【变式4-2】（2023秋•香坊区校级期中）如图，∠1和∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故A不符合题意；B．∠1与∠2没有公共顶点，且两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故B不符合题意；C．∠1与∠2的两边互为反向延长线，且有公共顶点，是对顶角，故C符合题意；D．∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D不符合题意．故选：C．【变式4-3】（2022秋•仁寿县校级期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为（）A．22° B．34° C．56° D．72°【答案】A【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝56°，∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°，∴∠BOD＝∠AOC＝22°．故选：A．【题型5邻补角】【典例5】（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（）A．145° B．150° C．155° D．160°【答案】D【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．故选：D．【变式5-1】（2022秋•新化县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，那么∠BOD的度数等于（）A．30° B．36° C．20° D．40°【答案】B【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．故选：B．【变式5-2】（2022秋•龙华区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（）A．66° B．76° C．90° D．144°【答案】A【解答】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝76°．∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．故选：A．【变式5-3】（2022秋•东方期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠AOD＝130°，则∠EOB度数是（）A．65° B．50° C．25° D．130°【答案】A【解答】解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOC＝130°，∵OE平分∠COB，∴．故选：A．1．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30° B．50° C．60° D．80°【答案】B【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．2．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36° B．44° C．54° D．63°【答案】C【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．3．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．故选：A．4．（2023•兰州）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC，∵∠AOC＝50°，∴∠BOD＝50°故选：B．5．（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】D【解答】解：∵∠AOC＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°．∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝75°﹣25°＝50°．故选：D．6．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，故选：A．7．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝120°．【答案】120．【解答】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120．8．（2021•大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有190个交点．【答案】见试题解答内容【解答】解：2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有1+2＝3个交点，4条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，……n条直线相交最多有个交点，∴20条直线相交最多有190个交点．故答案为190．9．（2021•益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝60度．【答案】60．【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠BOC＝60°，故答案为：60．1．（2023春•鄂州期中）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（）A．B． C．D．【答案】A【解答】解：B、C、D中∠1与∠2不是对顶角，A中∠1与∠2互为对顶角，故选：A．2．（2022秋•永年区期末）如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，BC平分∠DBE，则下列结论不正确的是（）A．∠ABE与∠EBC互余 B．∠ABE与∠DBC互余 C．∠ABD与∠DBC互补 D．图中没有互补的两个角【答案】D【解答】解：A∠ABE与∠EBC互余，说法正确，不符合题意；B∠ABE与∠DBC互余，说法正确，不符合题意；C∠ABD与∠DBC互补，说法正确，不符合题意；D、图中没有互补的两个角，说法错误，符合题意；故选：D．3．（2022秋•苏州期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠1的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．67.5°【答案】D【解答】D解：根据图形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠1的度数是∠2的3倍，即∠1＝3∠2，∴4∠2＝90°，∴∠2＝22.5°，∴∠1＝90°﹣∠2＝67.5°，故选：D．4．（2023春•攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（）A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个【答案】D【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：①三条直线互相平行，有0个交点；②一条直线与两平行线相交，有2个交点；③三条直线都不平行，有1个或3个交点；所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．故选：D．5．（2023春•无为市期中）按下列语句画图：点A在直线m上，也在直线n上，但不在直线c上，且直线m、n、c两两相交，下列图形符合题意的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由点A在直线m上，也在直线n上，可知直线m与直线n交于点A；∴A、C不符合题意；由点A不在直线c上，可知B不符合题意；再由直线m、n、c两两相交，即可确定D符合题意；故选：D．6．（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（）A．55° B．70° C．125° D．145°【答案】C【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠AOE＝55°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．故选：C．7．（2022秋•清苑区期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β一定相等的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【解答】解：图①，根据同角的余角相等，可得∠α＝∠β；图②，∠α＝135°，∠β＝120°；图③，根据等角的补角相等，可得∠α＝∠β；图④，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余．∴∠α与∠β一定相等的是图①和图③．故选：B．8．（2022秋•宛城区期末）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝18°，则∠BOC的大小为（）A．162° B．142° C．172° D．150°【答案】A【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝18°，∴∠COA＝90°﹣18°＝72°，∴∠BOC＝90°+72°＝162°．故选：A．9．（2023春•栖霞市期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故选：C．10．（2022秋•西安期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°．故选：A．11．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；故选：B．12．（2022秋•东洲区期末）已知∠A＝39°43′27″，则∠A的补角等于（）A．39°43′27″ B．150°16′33″ C．140°16′33″ D．60°16′33″【答案】C【解答】解：∵∠A＝39°43′27″，∴它的补角＝180°﹣39°43′27″＝140°16′33″．故选：C．13．（2023春•绥化期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BOD＝∠AOB＝90°．下列判断：①射线O